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1、第五章几何变换第五章几何变换第1页，共87页，编辑于2022年，星期三5.1 基本变换基本变换l几何变换的定义：几何变换的定义：改变对象坐标描述的变换称为几何变换，改变对象坐标描述的变换称为几何变换，例如改变对象的方向、尺寸和形状例如改变对象的方向、尺寸和形状在坐标系不变的情况下，由对象的几何位在坐标系不变的情况下，由对象的几何位置或比例改变等引起的变换置或比例改变等引起的变换第2页，共87页，编辑于2022年，星期三几何变换的基本原理几何变换的基本原理l几何变换：几何变换：变换图形就是要变换图形的几何关系，变换图形就是要变换图形的几何关系，同时保持图形的原拓扑关系同时保持图形的原拓扑关系第3
2、页，共87页，编辑于2022年，星期三5.1 二维基本变换二维基本变换l基本几何变换的基本几何变换的类型类型平移平移旋转旋转变比变比第4页，共87页，编辑于2022年，星期三5.1.1 平移平移l平移平移定义：定义：对象沿直线运动产生的变换对象沿直线运动产生的变换平移是一种不产生变形而移动物体的刚体变平移是一种不产生变形而移动物体的刚体变换，物体的大小、方向、形状和位置不变换，物体的大小、方向、形状和位置不变参数：平移向量参数：平移向量(Tx,Ty)公式：公式：x=x+Txy=y+Ty第5页，共87页，编辑于2022年，星期三2D平移平移 举例举例5010050100(-20，20)30807
3、0120 xyxy平移向量平移向量第6页，共87页，编辑于2022年，星期三5.1.2 旋转旋转l旋转旋转定义：对象沿圆弧路径运动产生的变换定义：对象沿圆弧路径运动产生的变换参数参数:v 旋转角旋转角，约定：逆时针为正，约定：逆时针为正v 旋转点旋转点(基准点基准点)：(x(xr r，y yr r)旋转变换也是一种刚体变换。物体的大小、形旋转变换也是一种刚体变换。物体的大小、形状不变，但方向和位置要改变状不变，但方向和位置要改变第7页，共87页，编辑于2022年，星期三针对针对坐标原点坐标原点旋转公式旋转公式:x=x*cos -y*sin y=x*sin +y*cos5.1.2 旋转旋转x x
4、y yP PPP 第8页，共87页，编辑于2022年，星期三5.1.2 旋转旋转x=rcos(+)=rcoscos-rsinsiny=rsin(+)=rsincos+rcossin因为：因为：x=rcos y=rsin 则：上两个方程组可得到则：上两个方程组可得到 x=xcos-ysin y=xsin+ycos 第9页，共87页，编辑于2022年，星期三l针对针对任意点任意点（xr,yr）旋转旋转 x=xr+(x-xr)*cos-(y-yr)*sin y=yr+(x-xr)*sin+(y-yr)*cosl旋转变换的计算效率旋转变换的计算效率l改进：小角近似改进：小角近似5.1.2 旋转旋转第1
5、0页，共87页，编辑于2022年，星期三l变比变比定义：定义：改变对象尺寸的变换改变对象尺寸的变换参数：缩放系数参数：缩放系数(Sx,Sy)，固定点，固定点(Xf,Yf)公式公式:针对坐标原点缩放针对坐标原点缩放x=x*Sxy=y*Sy 5.1.3 2D 缩放缩放(变比，比例变换变比，比例变换)第11页，共87页，编辑于2022年，星期三2D缩放缩放 举例举例11缩放变换缩放变换(2(2，1)1)12xyxy1oo第12页，共87页，编辑于2022年，星期三2D缩放讨论缩放讨论l如如果果|Sx|或或|Sy|大大于于1，则则表表示示图图形形在在X轴轴方方向向或或Y轴轴方向放大；方向放大；l如如果
6、果|Sx|或或|Sy|小小于于1，则则表表示示图图形形在在X轴轴方方向向或或Y轴方向缩小；轴方向缩小；l如果如果|Sx|=|Sy|，则表示均匀缩放；，则表示均匀缩放；l如果如果|Sx|Sy|，则表示差值缩放；，则表示差值缩放；l如如果果|Sx|或或|Sy|等等于于1，则则表表示示图图形形在在X轴轴方方向向或或Y轴方向不变；轴方向不变；l如如果果Sx或或Sy小小于于零零，则则表表示示图图形形在在X轴轴方方向向或或Y轴轴方向作镜面变换。方向作镜面变换。第13页，共87页，编辑于2022年，星期三2D缩放讨论缩放讨论l缩放变换后，对象可能被重定位缩放变换后，对象可能被重定位11缩放变换缩放变换(2(
7、2，1)1)12xyxy1第14页，共87页，编辑于2022年，星期三2D变换的矩阵表示变换的矩阵表示 l对于平移、旋转和缩放变换，每个基本的对于平移、旋转和缩放变换，每个基本的变换都可表示为普通距阵形式：变换都可表示为普通距阵形式：P=M1*P+M2 P、P表示变换前后两个点的坐标的列向表示变换前后两个点的坐标的列向量量M1是一个包含乘法系数的是一个包含乘法系数的22距阵距阵M2是一个包含平移项的两元素列距阵是一个包含平移项的两元素列距阵第15页，共87页，编辑于2022年，星期三2D变换的矩阵表示变换的矩阵表示 l平移：平移：M M1 1是单位距阵；是单位距阵；l旋转或缩放：包含与基准点或
8、缩放固定点旋转或缩放：包含与基准点或缩放固定点相关的平移项。相关的平移项。l为了利用这个方程实现先缩放、再旋转后为了利用这个方程实现先缩放、再旋转后平移这样的变换顺序，必须每次一步一步平移这样的变换顺序，必须每次一步一步地计算点在变换后的坐标。地计算点在变换后的坐标。l有效方法是最后坐标位置能从初始坐标位有效方法是最后坐标位置能从初始坐标位置得到，这就消除了中间坐标值的计算。置得到，这就消除了中间坐标值的计算。l引入齐次坐标技术对点的坐标重新表示引入齐次坐标技术对点的坐标重新表示 第16页，共87页，编辑于2022年，星期三2D变换的矩阵表示变换的矩阵表示 齐次坐标齐次坐标：Maxwell.E
9、.A在在1946年从几何的角度提出来年从几何的角度提出来的的基本思想是把一个基本思想是把一个n维空间的几何问题转换到维空间的几何问题转换到n+1维空间中去维空间中去从形式上来说，就是用一个从形式上来说，就是用一个n+1维的向量表示维的向量表示一个一个n维向量的方法，即维向量的方法，即n+1维向量表示维向量表示n维空维空间中的点。间中的点。第17页，共87页，编辑于2022年，星期三2D变换的矩阵表示变换的矩阵表示 如：二维空间中点的坐标如：二维空间中点的坐标(x,y)的齐次坐的齐次坐标表示为标表示为(h*x，h*y，h)(h0的任意的任意实数实数)。只要给定一个点的齐次坐标表示只要给定一个点的
10、齐次坐标表示(xh，yh，h)，就能得到唯一的笛卡儿坐标，就能得到唯一的笛卡儿坐标(x,y)x=xh/h ，y=yh/h 第18页，共87页，编辑于2022年，星期三2D变换的矩阵表示变换的矩阵表示 l一个笛卡儿坐标表示的点，用齐次坐标表一个笛卡儿坐标表示的点，用齐次坐标表示时，是无穷的，但一个齐次坐标表示的示时，是无穷的，但一个齐次坐标表示的点，用笛卡儿坐标表示时，是唯一的点，用笛卡儿坐标表示时，是唯一的l齐次坐标表示不是唯一的，通常当齐次坐标表示不是唯一的，通常当h=1是是时，称为规格化齐次坐标时，称为规格化齐次坐标l用齐次坐标技术，可改写平移变换、缩放用齐次坐标技术，可改写平移变换、缩放
11、变换和旋转变换为统一的乘积形式变换和旋转变换为统一的乘积形式第19页，共87页，编辑于2022年，星期三l平移变换平移变换 x 1 0 tx x y =0 1 ty y 1 0 0 1 1 P=T(tx,ty)*P 2D变换的矩阵表示变换的矩阵表示 第20页，共87页，编辑于2022年，星期三l旋转变换旋转变换 x cos -sin 0 x y =sin cos 0 y 1 0 0 1 1 P=R()*P2D变换的矩阵表示变换的矩阵表示 第21页，共87页，编辑于2022年，星期三l变比变换变比变换 x sx 0 0 x y =0 sy 0 y 1 0 0 1 1 P=S(sx,sy)*P2D
12、变换的矩阵表示变换的矩阵表示 第22页，共87页，编辑于2022年，星期三5.3 复合变换复合变换 l利用距阵表示，就可通过计算单个变换的利用距阵表示，就可通过计算单个变换的距阵乘积，将任意顺序变换的距阵建立为距阵乘积，将任意顺序变换的距阵建立为组合变换距阵组合变换距阵。l形成变换距阵的乘积被称为距阵的合并或形成变换距阵的乘积被称为距阵的合并或组合组合 第23页，共87页，编辑于2022年，星期三5.3 复合变换复合变换 l连续平移连续平移l连续旋转连续旋转l连续变比连续变比l针对任意点的变换针对任意点的变换l针对任意方向的变换针对任意方向的变换l实现实现第24页，共87页，编辑于2022年，
13、星期三5.3.1 连续平移连续平移 l两个连续的平移向量两个连续的平移向量(tx1,ty1)和和(tx2,ty2)被被用于点用于点P，那么最后的点坐标可计算为，那么最后的点坐标可计算为 P=T(tx2,ty2)T(tx1,ty1)P =T(tx2,ty2)T(tx1,ty1)P l计算时，可先计算两个平移变换距阵的乘计算时，可先计算两个平移变换距阵的乘积积 T(tx2,ty2)T(tx1,ty1)=T(tx2+tx1,ty2+ty1)l这表明：两个连续平移变换是相加的这表明：两个连续平移变换是相加的 第25页，共87页，编辑于2022年，星期三5.3.2 连续旋转连续旋转 l应用于点应用于点P
14、的两个连续旋转，得到的点的两个连续旋转，得到的点P的的坐标可计算为坐标可计算为 P=R(2)R(1)P =R(2)R(1)P l可以证明：两个连续旋转是相加的可以证明：两个连续旋转是相加的 R(2)R(1)=R(1+2)则则P的坐标可计算为的坐标可计算为 P=R(1+2)P 第26页，共87页，编辑于2022年，星期三5.3.3 连续变比连续变比 l两个连续缩放操作的变换距阵连接，产生两个连续缩放操作的变换距阵连接，产生的组合变换距阵的组合变换距阵S(sx2,sy2)S(sx1,sy1)=S(sx1 sx2,sy1 sy1)l表明：连续缩放操作是相乘的，非叠加的表明：连续缩放操作是相乘的，非叠
15、加的 第27页，共87页，编辑于2022年，星期三5.3.4 针对任意点变换针对任意点变换l对于绕任意基准点对于绕任意基准点(xr,yr)的旋转，通过的旋转，通过平移旋转平移变换这样的序列变换平移旋转平移变换这样的序列变换操作来完成操作来完成l方法方法平移对象使基准点移动到坐标原点平移对象使基准点移动到坐标原点针对原点做指定变换针对原点做指定变换反向平移对象使基准点回到原位置反向平移对象使基准点回到原位置第28页，共87页，编辑于2022年，星期三(1)针对固定点缩放针对固定点缩放 1 0 xf 0 1 yf 0 0 1 sx 0 0 0 sy 0 0 0 1 1 0-xf 0 1-yf 0
16、0 1l举例举例 sx 0 xf(1-sx)0 sy yf(1-sy)0 0 1=第29页，共87页，编辑于2022年，星期三(1)针对固定点缩放针对固定点缩放xy(xf,yf)yxxyxy第30页，共87页，编辑于2022年，星期三(2)针对固定点旋转针对固定点旋转 l利用距阵连接可得到这个变换序列的组合利用距阵连接可得到这个变换序列的组合变换距阵变换距阵R=T(xr,yr)R()T(-xr,-yr)其中：其中：T(-xr,-yr)=T-1(xr,yr)第31页，共87页，编辑于2022年，星期三(2)针对固定点旋转针对固定点旋转 1 0 xr 0 1 yr 0 0 1 cos-sin 0
17、sin cos 0 0 0 1 1 0-xr 0 1-yr 0 0 1 cos-sin xr(1-cos)+yr sin sin cos yr(1-cos)+xr sin 0 0 1=第32页，共87页，编辑于2022年，星期三(2)针对固定点旋转针对固定点旋转 xy(xf,yf)yxxyxy第33页，共87页，编辑于2022年，星期三(3)针对任意方向变换针对任意方向变换l方法方法旋转对象使指定方向与坐标轴方向重旋转对象使指定方向与坐标轴方向重合合针对坐标轴方向做指定变换针对坐标轴方向做指定变换反向旋转使方向回到原方向反向旋转使方向回到原方向l例例第34页，共87页，编辑于2022年，星期三
18、例例:沿指定方向缩放沿指定方向缩放 xyS2S1第35页，共87页，编辑于2022年，星期三例例:沿指定方向缩放沿指定方向缩放 cos-sin-0sin-cos-0 0 0 1 Sx 0 0 0 Sy 0 0 0 1cos-sin 0sin cos 0 0 0 1s1cos2+s2 sin2 (s2-s1)cossin 0(s2-s1)cossin s1sin2+s2 cos2 0 0 0 1=第36页，共87页，编辑于2022年，星期三例例cos-45-sin-45 0sin-45 cos-45 0 0 0 1 1 0 0 0 2 0 0 0 1S1=1,S2=2=45(0.5,1.5)co
19、s45-sin45 0sin45 cos45 0 0 0 1 1.5 0.5 0 0.5 1.5 0 0 0 1T=xy(2,2)(1.5,0.5)xy11(1,1)第37页，共87页，编辑于2022年，星期三l通用变换矩阵通用变换矩阵 x rsxx rsxy trsx x y =rsyx rsyy trsy y 1 0 0 1 1 rsij是变换中（仅包含旋转角和缩是变换中（仅包含旋转角和缩放系数）的多重旋转放系数）的多重旋转-缩放项缩放项 trsx、trsy是平移项是平移项 l计算效率计算效率 2D变换的矩阵表示变换的矩阵表示 第38页，共87页，编辑于2022年，星期三5.3.6实现实现
20、P154 P155第39页，共87页，编辑于2022年，星期三5.4 2D 其他变换其他变换 l反射：产生对象的镜像反射：产生对象的镜像沿沿X轴反射轴反射沿沿Y轴反射轴反射沿原点反射沿原点反射沿沿y=x 反射反射l错切错切:使对象发生形变使对象发生形变沿沿X方向错切方向错切沿沿Y方向错切方向错切第40页，共87页，编辑于2022年，星期三5.4.1 反射反射沿沿x轴反射轴反射 1 0 0 0 -1 0 0 0 1 123231xy第41页，共87页，编辑于2022年，星期三沿沿y轴反射轴反射 -1 0 0 0 1 0 0 0 1 123132xy5.4.1 反射反射第42页，共87页，编辑于2
21、022年，星期三 沿沿(0,0)反射反射 -1 0 0 0 -1 0 0 0 1 123132xy5.4.1 反射反射第43页，共87页，编辑于2022年，星期三沿直线沿直线y=xy=x反射反射cos-45-sin-45 0sin-45 cos-45 0 0 0 1 1 0 0 0 -1 0 0 0 1cos45-sin45 0sin45 cos45 0 0 0 1xyS1y=x 0 1 0 1 0 0 0 0 1第44页，共87页，编辑于2022年，星期三0 1 01 0 00 0 1沿直线沿直线 y=xy=x反射反射y=x1212xy33第45页，共87页，编辑于2022年，星期三0 -1
22、 0-1 0 00 0 1 沿直线沿直线 y=-xy=-x反射反射y=-x1212xy33第46页，共87页，编辑于2022年，星期三5.4.2 错切错切错切：是一种使对象形状发生变化的变换错切：是一种使对象形状发生变化的变换参数：错切系数参数：错切系数yxyx第47页，共87页，编辑于2022年，星期三5.4.2 沿沿x轴方向错切轴方向错切公式：公式：x=x+y shx(shx0)y=yshx为错切系数为错切系数yxyx1 shx 00 1 00 0 1 第48页，共87页，编辑于2022年，星期三沿沿x x轴方向错切轴方向错切 1 shx 0 0 1 0 0 0 1 xy112 3(2,1
23、)(3,1)shx=2xy11(1,1)第49页，共87页，编辑于2022年，星期三1 0 0shy 1 00 0 1 5.4.2 沿沿y轴方向错切轴方向错切shy=2xy11(1,1)xy11232(1,3)(1,2)第50页，共87页，编辑于2022年，星期三5.5 5.5 坐标系间的变换坐标系间的变换x xy yXYx x0 0y y0 0从从xy坐标变换到坐标变换到xy坐标坐标=平移平移:(x0,y0)到到(0,0)=旋转旋转:使使x轴与轴与x轴重合轴重合M=R(-)T(-x0,-y0)第51页，共87页，编辑于2022年，星期三光栅系统的特殊能力为变换物体提供另一种方法。光栅系统的特
24、殊能力为变换物体提供另一种方法。l光栅系统将图像信息作为像素样式存储在帧缓冲器光栅系统将图像信息作为像素样式存储在帧缓冲器中。一些简单的变换可通过简单地将储存的像素值中。一些简单的变换可通过简单地将储存的像素值的长方形数组在帧缓冲器内从一个位置移到另一个的长方形数组在帧缓冲器内从一个位置移到另一个位置而快速地执行，仅需很少的算术操作，因此像位置而快速地执行，仅需很少的算术操作，因此像素变换特别有效素变换特别有效 l操纵长方形像素数组的光栅功能通常称为光栅操作，操纵长方形像素数组的光栅功能通常称为光栅操作，将一块像素从一个位置移到另一位置称为像素的块将一块像素从一个位置移到另一位置称为像素的块移
25、动。在二值系统中，这个操作称为位块移动移动。在二值系统中，这个操作称为位块移动 5.8 变换的光栅变换的光栅方法方法第52页，共87页，编辑于2022年，星期三5.8 变换的光栅变换的光栅方法方法l从指定光栅矩形区域中将像素亮度从指定光栅矩形区域中将像素亮度读入到另一个数组，而后将数组复读入到另一个数组，而后将数组复制回到光栅新的位置。制回到光栅新的位置。l原始物体可通过用背景亮度来填充原始物体可通过用背景亮度来填充其矩形区域而删除其矩形区域而删除平移平移的块移动：所有在矩形区域显示的位作的块移动：所有在矩形区域显示的位作为一块复制到光栅的另一部分。为一块复制到光栅的另一部分。第53页，共87
26、页，编辑于2022年，星期三=旋转旋转用块移动可完成用块移动可完成90度的倍数的旋转。度的倍数的旋转。u将阵列的每一行的像素值颠倒，而后交换其行和将阵列的每一行的像素值颠倒，而后交换其行和列来将物体逆时针旋转列来将物体逆时针旋转90度；度；u将阵列的每一行中元素的次序颠倒，而后将行的将阵列的每一行中元素的次序颠倒，而后将行的次序颠倒来得到次序颠倒来得到180度的旋转度的旋转对于不是对于不是90度倍数的阵列旋转，需要完成更度倍数的阵列旋转，需要完成更多的计算。多的计算。变换的光栅方法变换的光栅方法第54页，共87页，编辑于2022年，星期三3 6 9 122 5 8 111 4 7 10R(90
27、)12 11 109 8 76 5 43 2 1R(180)变换的光栅方法变换的光栅方法初始阵列初始阵列1 2 34 5 67 8 910 11 12=旋转旋转第55页，共87页，编辑于2022年，星期三=缩放缩放 通过缩放原始像素区通过缩放原始像素区域并映射到一组目标像域并映射到一组目标像素区域上，然后根据两素区域上，然后根据两个区域的重叠情况设置个区域的重叠情况设置目标像素的亮度目标像素的亮度86 Sx=Sy=0.5变换的光栅方法变换的光栅方法第56页，共87页，编辑于2022年，星期三5.9 三维几何变换三维几何变换l基本变换：平移、缩放、旋转基本变换：平移、缩放、旋转l矩阵表示法矩阵表
28、示法l特殊变换：反射、错移变换特殊变换：反射、错移变换l组合变换组合变换第57页，共87页，编辑于2022年，星期三5.9.1 平移平移l平移平移定义：定义：参数：参数：平移矢量平移矢量(tx,ty,tz)公式：公式：1 0 0 tx0 1 0 ty0 0 1 tz0 0 0 1xyz1xyz1=第58页，共87页，编辑于2022年，星期三5.9.2 旋转旋转l旋转旋转定义：定义：参数参数:旋转轴，旋转角旋转轴，旋转角，方向，方向公式公式:;绕绕z z轴旋转轴旋转cos -sin 0cos -sin 0 0 0sin cos 0 0sin cos 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0
29、 0 0 10 0 1第59页，共87页，编辑于2022年，星期三5.9.2 旋转旋转l绕绕x轴旋转轴旋转1 1 0 0 0 0 0 00 0 cos-sin 0cos-sin 00 sin cos 00 sin cos 00 0 0 0 0 0 1 1第60页，共87页，编辑于2022年，星期三5.9.2 旋转旋转=绕绕y y轴旋转轴旋转cos 0 sin00 1 00-sin 0 cos0 0 0 01第61页，共87页，编辑于2022年，星期三5.9.2.1 一般三维旋转一般三维旋转l旋转轴平行于某坐标轴旋转轴平行于某坐标轴平移物体使其旋转轴与平行于该轴的一平移物体使其旋转轴与平行于该轴
30、的一个坐标轴重合个坐标轴重合完成指定的旋转完成指定的旋转 反向平移物体使其旋转轴回到原来的反向平移物体使其旋转轴回到原来的位置位置第62页，共87页，编辑于2022年，星期三5.9.2.1 一般三维旋转一般三维旋转l举例举例旋转轴平行于旋转轴平行于X X轴轴xyzL复合变换矩阵复合变换矩阵 M=TM=T-1-1 R RX X()T()T第63页，共87页，编辑于2022年，星期三5.9.2.1 一般三维旋转一般三维旋转l旋转轴不平行于任何坐标轴旋转轴不平行于任何坐标轴平移物体，使旋转轴通过原点平移物体，使旋转轴通过原点 旋转物体使旋转轴与某一坐标轴重合旋转物体使旋转轴与某一坐标轴重合完成指定旋
31、转完成指定旋转反向旋转使旋转轴回到原始方向反向旋转使旋转轴回到原始方向反向平移使旋转轴回到原始位置反向平移使旋转轴回到原始位置第64页，共87页，编辑于2022年，星期三5.9.2.1 一般三维旋转一般三维旋转l旋转轴由两个坐标点确定旋转轴由两个坐标点确定 P1(x1,y1,z1)P2(x2,y2,z2)l旋转轴矢量旋转轴矢量V=P2P1=(Vx,Vy,Vz)l沿旋转轴的沿旋转轴的单位向量单位向量u=V/|V|=(a,b,c)a=(x2-x1)/|V|、b=(y2-y1)/|V|c=(z2-z1)/|V|V|=sqrt(Vx2+Vy2+Vz2)P1P2xzyu第65页，共87页，编辑于2022
32、年，星期三第一步：平移物体，使旋转轴通过原点第一步：平移物体，使旋转轴通过原点 l平移矢量平移矢量T1=T(tx,ty,tz)=T(-x1,-y1,-z1)=xzyP1P2100-x1010-y1001-z1000 1第66页，共87页，编辑于2022年，星期三第二步第二步:旋转物体使旋转轴与旋转物体使旋转轴与z轴重合轴重合l旋转物体使旋转轴与旋转物体使旋转轴与z轴重合轴重合分两步分两步将向量将向量U绕绕x轴旋转到轴旋转到xz平面上平面上:Rx()将向量将向量U绕绕y轴旋转到轴旋转到z轴上轴上:Ry()xzyu(a,b,c)xzyu(a,0,d)u(a,0,d)uz(0,0,1)第67页，共8
33、7页，编辑于2022年，星期三第二步第二步:旋转物体使旋转轴与旋转物体使旋转轴与z轴重合轴重合l第二步的第一小步第二步的第一小步将向量将向量U绕绕x轴旋转到轴旋转到xz平面上平面上:Rx()u为为u在在yz平面上的投影平面上的投影u(0,b,c)xzyu(a,b,c)u(a,0,d)uz(0,0,1)第68页，共87页，编辑于2022年，星期三将向量将向量U U绕绕x x轴旋转到轴旋转到xzxz平面上平面上:R:Rx x()()lcos()，sin()求解求解l利用向量的点乘运算确定余弦项利用向量的点乘运算确定余弦项 cos()=u.uz/(|u|.|uz|)=c/d|uz|=1 及及|u|=
34、d=sqrt(b2+c2)l利用向量的叉乘运算确定正弦项利用向量的叉乘运算确定正弦项uuz=ux|u|.|uz|sin()=b.uxsin()=b/d第69页，共87页，编辑于2022年，星期三将向量将向量U U绕绕x x轴旋转到轴旋转到xzxz平面上：平面上：R Rx x()()Rx()=10000 c/d -b/d00 b/d c/d000 01第70页，共87页，编辑于2022年，星期三第二步：旋转物体使旋转轴与第二步：旋转物体使旋转轴与z轴重合轴重合l第二步的第二小步第二步的第二小步将向量将向量U绕绕y轴旋转到轴旋转到z轴上轴上:Ry()xzyu(a,0,d)uz(0,0,1)第71页
35、，共87页，编辑于2022年，星期三将向量将向量U绕绕y轴旋转到轴旋转到z轴上：轴上：Ry()lcos()，sin()求解求解l利用向量的点乘运算确定余弦项利用向量的点乘运算确定余弦项cos()=u.uz/(|u|.|uz|)=d|uz|=1 及及|u|=sqrt(d2+a2)=|u|=1l利用向量的叉乘运算确定正弦项利用向量的叉乘运算确定正弦项uuz=uy|u|uz|sin()=-a.uysin()=-a第72页，共87页，编辑于2022年，星期三将向量将向量U绕绕y轴旋转到轴旋转到z轴上：轴上：Ry()Ry()=d0-a00100a0d00001第73页，共87页，编辑于2022年，星期三
36、第三步：完成指定旋转第三步：完成指定旋转 Rz()Rz()=cos -sin00sin cos000 0100 001第74页，共87页，编辑于2022年，星期三第四步：反向旋转使旋转轴回到第四步：反向旋转使旋转轴回到原始方向原始方向Ry(-)=Ry-1()Rx(-)=Rx-1()第75页，共87页，编辑于2022年，星期三第五步：反向平移使旋转轴回到第五步：反向平移使旋转轴回到原始位置原始位置T2=1 0 0 x10 1 0 y10 0 1 z10 0 0 1=T1-1第76页，共87页，编辑于2022年，星期三相对于任意轴旋转的复合矩阵相对于任意轴旋转的复合矩阵R()=T-1.Rx-1()
37、.Ry-1().Rz().Ry().Rx().T第77页，共87页，编辑于2022年，星期三5.9.3 缩放缩放l缩放缩放定义：定义：参数：缩放系数参数：缩放系数(Sx,Sy,Sz)公式公式:针对坐标原点针对坐标原点x=x*Sxy=y*Sy z=z*Sz第78页，共87页，编辑于2022年，星期三5.9.3 缩放缩放Sx 0 0 00 Sy 0 00 0 Sz 00 0 0 1xyz1xyz1=第79页，共87页，编辑于2022年，星期三5.9.4 其他变换其他变换l反射反射关于关于 xy平面反射平面反射关于关于xz平面反射平面反射关于关于yz平面反射平面反射l错切错切产生产生X轴错切轴错切产
38、生产生y轴错切轴错切产生产生z轴错切轴错切第80页，共87页，编辑于2022年，星期三相对于相对于xy平面反射平面反射1000010000-100001第81页，共87页，编辑于2022年，星期三相对于相对于xz平面反射平面反射10000-10000100001第82页，共87页，编辑于2022年，星期三相对于相对于yz平面反射平面反射-1000010000100001第83页，共87页，编辑于2022年，星期三1AB001000010000111.4.2 3D错切错切第84页，共87页，编辑于2022年，星期三产生产生y轴错移轴错移1000A1B000100001第85页，共87页，编辑于2022年，星期三产生产生z轴错移轴错移10000100AB100001第86页，共87页，编辑于2022年，星期三5.9.5 复合变换复合变换 l连续变换连续变换平移平移缩放缩放旋转旋转l组合变换组合变换变换的分解和矩阵的级连变换的分解和矩阵的级连绕任意轴方向旋转绕任意轴方向旋转l实现实现(P329P331)第87页，共87页，编辑于2022年，星期三