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1、第六章常微分方程数值第六章常微分方程数值解欧拉方法解欧拉方法第1页，共22页，编辑于2022年，星期三引子引子n n人口模型（看书上）n n人口理论n n一阶常微分方程的初值问题n n数值解：离散点上的近似值第2页，共22页，编辑于2022年，星期三一阶线性常微分方程初值问题一阶线性常微分方程初值问题 数值方法的基本思想数值方法的基本思想 在解的存在区间上取在解的存在区间上取n+1个节点个节点 利用数值计算方法寻求利用数值计算方法寻求y(x)在节点上的近似值：在节点上的近似值：y0,y1,.yn连续连续 离散离散 第3页，共22页，编辑于2022年，星期三一阶线性常微分方程初值问题一阶线性常微
2、分方程初值问题 x0 x1x2xixi+1xn6.1 欧拉方法与欧拉方法与Runge-Kutta法法一、欧拉一、欧拉(Euler)方法方法xn=x0+nh，h为步长第4页，共22页，编辑于2022年，星期三一一.欧拉方法欧拉方法n n差分和差商用差商代替导数用差商代替导数,将微分方程离散化将微分方程离散化,得到递推公式得到递推公式1.差分方法差分方法第5页，共22页，编辑于2022年，星期三几何意义：几何意义：用折线近似曲线y=y(x),欧拉法又称为折线法折线法已知初值y0,依据递推公式逐步算出y1,y2,yn,yn+1,递推公式又称为差分格式或差分方程，它与常微方程的误差称为截断误差第6页，
3、共22页，编辑于2022年，星期三2.数值积分方法（也可导出欧拉公式）数值积分方法（也可导出欧拉公式）第7页，共22页，编辑于2022年，星期三（1）显式差分格式）显式差分格式（单步）显式格式（单步）显式格式左矩形公式左矩形公式第8页，共22页，编辑于2022年，星期三（2）隐式差分格式）隐式差分格式由右矩形公式由右矩形公式由右矩形公式由右矩形公式想求（近似的）想求（近似的）想求（近似的）想求（近似的）yy，但等式的等号左右都有：隐式，但等式的等号左右都有：隐式，但等式的等号左右都有：隐式，但等式的等号左右都有：隐式如如如如第9页，共22页，编辑于2022年，星期三还有一种隐式：积分用梯形公式
4、还有一种隐式：积分用梯形公式也是隐式也是隐式第10页，共22页，编辑于2022年，星期三思索思索n n显式的欧拉公式，好用，粗糙n n隐式的梯形公式，通常具有较好的数值稳定性，每次计算得求解方程n n组合之？n n组合：预报-校正第11页，共22页，编辑于2022年，星期三预测预测-校正公式校正公式也叫预报也叫预报-校正公式校正公式改进的欧拉公式改进的欧拉公式第12页，共22页，编辑于2022年，星期三例例6.1 欧拉公式求解欧拉公式求解n nf(0,0)f(0,0)的处理（也可以理的处理（也可以理解为一种近似）解为一种近似）n n表6-1n n图6-1n n本身有解析解，可与数值本身有解析解
5、，可与数值解比较解比较第13页，共22页，编辑于2022年，星期三二、欧拉方法的局部截断误差与精度二、欧拉方法的局部截断误差与精度前提：一个假前提：一个假设（重要！即设（重要！即所谓的局部）所谓的局部）一阶精度，看书上一阶精度，看书上泰勒公式：泰勒公式：泰勒公式：泰勒公式：第14页，共22页，编辑于2022年，星期三关于精度关于精度:n n常微分方程数值方法理论中n n同阶无穷小同阶无穷小n n精度：p阶阶第15页，共22页，编辑于2022年，星期三类似地，梯形公式类似地，梯形公式/改进的欧拉公式改进的欧拉公式-局部局部截断误差截断误差有二阶精度有二阶精度参考第参考第5章章5.1节节P66页页
6、第16页，共22页，编辑于2022年，星期三第17页，共22页，编辑于2022年，星期三三、几种差分格式的数值稳定性比较三、几种差分格式的数值稳定性比较例例6.2 n n三种方法的比较n n注意：取最大误差（有多个点，有多个误差）n n有精确解，一起比较n n看教材第18页，共22页，编辑于2022年，星期三例例 用欧拉法求初值问题 补例子：欧拉补例子：欧拉(Euler)方法方法当当h=0.02时在区间时在区间0,0.10上的数值解上的数值解 第19页，共22页，编辑于2022年，星期三欧拉欧拉(Euler)方法方法n nx xn ny yn ny y(x xn n)n n=y=y(x xn
7、n)-y yn n0 00 01.00001.00001.00001.00000 01 10.020.020.98200.98200.98250.98250.00050.00052 20.040.040.96500.96500.96600.96600.00050.00053 30.060.060.94890.94890.95030.95030.00140.00144 40.080.080.93360.93360.93540.93540.00180.00185 50.100.100.91920.91920.9230.9230.00210.0021第20页，共22页，编辑于2022年，星期三再补例子：再补例子：例例 在区间在区间0,1.5上，取上，取h=0.1。（1）用欧拉法计算公式如下：）用欧拉法计算公式如下：（2）用改进欧拉法计算公式如下：）用改进欧拉法计算公式如下：第21页，共22页，编辑于2022年，星期三计算要点计算要点n n步长n n区间n n改进欧拉法（两步走）n n前提：欧拉法、梯形法第22页，共22页，编辑于2022年，星期三