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1、高等数学第十二章高等数学第十二章 微分方程微分方程1本讲稿第一页，共三十七页微分方程的基本概念 第一节第一节2本讲稿第二页，共三十七页引例引例1.一曲线通过点一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的在该曲线上任意点处的解解:设所求曲线方程为设所求曲线方程为 y=y(x),则有如下关系式则有如下关系式:(C为任意常数为任意常数)由由 得得 C=1,因此所求曲线方程为因此所求曲线方程为由由 得得切线斜率为切线斜率为 2x,求该曲线的方程求该曲线的方程.一、问题的提出一、问题的提出3本讲稿第三页，共三十七页引例引例2 2 在推广某项技术时，若该项技术需要推广在推广某项技术时，若该项技术需要推广的
2、总人数为的总人数为N N，t t时刻已掌握技术的人数为时刻已掌握技术的人数为P P（t t），），则新技术推广的速度与已推广人数和尚待推广人数则新技术推广的速度与已推广人数和尚待推广人数成正比，即有方程成正比，即有方程4本讲稿第四页，共三十七页微分方程微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例例实质实质:联系联系自变量自变量,未知函数未知函数以及以及未知函数的某些未知函数的某些导数导数(或微分或微分)之间的关系式之间的关系式.二、微分方程的定义二、微分方程的定义5本讲稿第五页，共三十七页微分方程的阶微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的
3、最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之高阶导数的阶数称之.分类分类1 1:常微分方程常微分方程,偏微分方程偏微分方程.一阶微分方程一阶微分方程高阶高阶(n n)微分方程微分方程分类分类2:2:微分方程的分类微分方程的分类6本讲稿第六页，共三十七页分类分类3:3:线性与非线性微分方程线性与非线性微分方程.分类分类4 4:单个微分方程与微分方程组单个微分方程与微分方程组.未知函数以及各阶导数都是一次的未知函数以及各阶导数都是一次的,线性微分方程线性微分方程7本讲稿第七页，共三十七页微分方程的解微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.
4、微分方程的解的分类：微分方程的解的分类：三、主要问题-求方程的解(1)(1)通解通解:微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数,且任意且任意常数的个数与微分方程的阶数相同常数的个数与微分方程的阶数相同.8本讲稿第八页，共三十七页(2)(2)特解特解:确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解.解的图象解的图象:微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线.通解的图象通解的图象:积分曲线族积分曲线族.初始条件初始条件:用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件.9本讲稿第九页，共三十七页过定点的积分曲线过定点的积分曲线;一阶一阶:二阶二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积
5、分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题.10本讲稿第十页，共三十七页解解11本讲稿第十一页，共三十七页所求特解为所求特解为12本讲稿第十二页，共三十七页微分方程微分方程;微分方程的阶微分方程的阶;微分方程的解微分方程的解;通解通解;初始条件初始条件;特解特解;初值问题初值问题;积分曲线积分曲线;四、小结13本讲稿第十三页，共三十七页转化 可分离变量微分方程 第二节第二节可分离变量方程可分离变量方程 可分离变量方程可分离变量方程 14本讲稿第十四页，共三十七页可分离变量方程的解法可分离变量方程的解法:两
6、边积分两边积分,得得 15本讲稿第十五页，共三十七页例1.求微分方程求微分方程的通解的通解.解解:分离变量得分离变量得两边积分两边积分得得即即(C 为任意常数为任意常数)或说明说明:在求解过程中每在求解过程中每一步不一定是同解变形一步不一定是同解变形,因此可能增因此可能增、减解减解.(此式含分离变量时丢失的解此式含分离变量时丢失的解 y=0)17本讲稿第十七页，共三十七页分离变量分离变量两边积分两边积分得到得到即为所求的通解。即为所求的通解。18本讲稿第十八页，共三十七页分离变量分离变量两边积分两边积分得到得到即为所求的通解。即为所求的通解。19本讲稿第十九页，共三十七页通解为通解为解解20本
7、讲稿第二十页，共三十七页解：解：例例5：求解逻辑斯谛方程求解逻辑斯谛方程 的通解，以及的通解，以及分离变量有分离变量有积分得积分得整理得整理得代入初始条件得代入初始条件得C=1/3，所求解为，所求解为21本讲稿第二十一页，共三十七页例例6.解初值问题解初值问题解解:分离变量得分离变量得两边积分得两边积分得即即由初始条件得由初始条件得 C=1,(C 为任意常数为任意常数)故所求特解为故所求特解为22本讲稿第二十二页，共三十七页例7.求下述微分方程的通解求下述微分方程的通解:解解:令令 则则故有故有即即解得解得(C 为任意常数为任意常数)所求通解所求通解:23本讲稿第二十三页，共三十七页求满足求满
8、足 的特解的特解25本讲稿第二十五页，共三十七页作业作业P 269 1(1),(3),(7),(10);2(3),(4);628本讲稿第二十八页，共三十七页齐次方程 第三节第三节29本讲稿第二十九页，共三十七页一、齐次方程、齐次方程形如形如的方程叫做的方程叫做齐次方程齐次方程.为同次齐次函数为同次齐次函数(同次齐次函数同次齐次函数:若函数若函数 满足满足则称此函数为则称此函数为K K次齐次函数次齐次函数)如如:30本讲稿第三十页，共三十七页31本讲稿第三十一页，共三十七页令令代入原方程得代入原方程得两边积分两边积分,得得积分后再用积分后再用代替代替 u,便得原方程的通解便得原方程的通解.解法解
9、法:分离变量分离变量:32本讲稿第三十二页，共三十七页例1.解微分方程解微分方程解解:代入原方程得代入原方程得分离变量分离变量两边积分两边积分得得故原方程的通解为故原方程的通解为(当当 C=0 时时,y=0 也是方程的解也是方程的解)(C 为任意常数为任意常数)33本讲稿第三十三页，共三十七页例2.解微分方程解微分方程解解:则有则有分离变量分离变量积分得积分得代回原变量得通解代回原变量得通解即说明说明:显然显然 x=0,y=0,y=x 也是原方程的解也是原方程的解,但在但在(C 为任意常数为任意常数)求解过程中丢失了求解过程中丢失了.34本讲稿第三十四页，共三十七页例例 3 3 解微分方程解微分方程微分方程的解为微分方程的解为解解35本讲稿第三十五页，共三十七页例例 4 4 求解微分方程求解微分方程解解：分离变量得分离变量得即即积分有积分有36本讲稿第三十六页，共三十七页作业作业 P276 1(1),(4),(6);2(2),(3);37本讲稿第三十七页，共三十七页