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1、高数导数与微分的计高数导数与微分的计算方法洛比塔法则算方法洛比塔法则本讲稿第一页，共六十页1 四则运算四则运算（一）和、差、积、商的求导法则（一）和、差、积、商的求导法则定理定理本讲稿第二页，共六十页推论推论本讲稿第三页，共六十页（二）例题分析（二）例题分析例例1 1解解例例2 2解解本讲稿第四页，共六十页例例3 3解解同理可得同理可得本讲稿第五页，共六十页例例4 4解解同理可得同理可得例例5 5解解同理可得同理可得本讲稿第六页，共六十页例例6 6解解本讲稿第七页，共六十页本讲稿第八页，共六十页（三）小结（三）小结注意注意:分段函数分段函数求导时求导时,分界点导数用左右导数求分界点导数用左右导
2、数求.本讲稿第九页，共六十页2 反函数、复合函数的导数反函数、复合函数的导数定理定理即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.本讲稿第十页，共六十页例例1 1解解同理可得同理可得本讲稿第十一页，共六十页例例2 2解解特别地特别地本讲稿第十二页，共六十页二、复合函数的求导法则二、复合函数的求导法则定理定理即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求等于因变量对中间变量求导导,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则)本讲稿第十三页，共六十页推广推广例例3 3解解本讲稿第十四页，共六十页例例4 4解解例例5 5
3、解解本讲稿第十五页，共六十页例例6 6解解例例7 7解解本讲稿第十六页，共六十页三、小结三、小结反函数的求导法则反函数的求导法则（注意成立条件）（注意成立条件）;复合函数的求导法则复合函数的求导法则（注意函数的复合过程（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链导法）合理分解正确使用链导法）;已能求导的函数已能求导的函数:可分解成基本初等函数可分解成基本初等函数,或常数或常数与基本初等函数的和、差、积、商与基本初等函数的和、差、积、商.本讲稿第十七页，共六十页四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题1.常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式本讲稿第十八页，共六十页2.函数的和
4、、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则设设)(),(xvvxuu=可导，则可导，则（1）vuvu =)(,（2）uccu=)(（3）vuvuuv+=)(,（4）)0()(2 -=vvvuvuvu.(是常数是常数)本讲稿第十九页，共六十页隐函数的导数隐函数的导数 对数求导法对数求导法参数方程所确定函数的导数参数方程所确定函数的导数一、隐函数的导数一、隐函数的导数定义定义:隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.本讲稿第二
5、十页，共六十页例例1 1解解解得解得本讲稿第二十一页，共六十页例例2 2解解所求切线方程为所求切线方程为显然通过原点显然通过原点.本讲稿第二十二页，共六十页例例3 3解解本讲稿第二十三页，共六十页二、对数求导法二、对数求导法观察函数观察函数方法方法:先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方然后利用隐函数的求导方法求出导数法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围:本讲稿第二十四页，共六十页例例4 4解解等式两边取对数得等式两边取对数得本讲稿第二十五页，共六十页例例5 5解解等式两边取对数得等式两边取对数得本讲稿第二十六页，共六十页一般地一般地本讲稿第二十七页，共六十
6、页三、由参数方程所确定的函数的导数三、由参数方程所确定的函数的导数例如例如消去参数消去参数问题问题:消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?本讲稿第二十八页，共六十页由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得本讲稿第二十九页，共六十页本讲稿第三十页，共六十页例例6 6解解本讲稿第三十一页，共六十页 所求切线方程为所求切线方程为本讲稿第三十二页，共六十页例例8 8解解本讲稿第三十三页，共六十页五、小结五、小结隐函数求导法则隐函数求导法则:直接对方程两边求导直接对方程两边求导;对数求导法对数求导法:对方程两边取对数对方程两边取对数,按隐函数的求导按隐函数的求导法则求
7、导法则求导;参数方程求导参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则实质上是利用复合函数求导法则;本讲稿第三十四页，共六十页思考题思考题本讲稿第三十五页，共六十页思考题解答思考题解答不对不对本讲稿第三十六页，共六十页本讲稿第三十七页，共六十页6 高阶导数高阶导数定义定义记作记作本讲稿第三十八页，共六十页三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,本讲稿第三十九页，共六十页二、二、高阶导数求法举例高阶导数求法举例例例1 1解解由高阶导数的定义逐步求高阶导数由高阶导数
8、的定义逐步求高阶导数.本讲稿第四十页，共六十页例例2 2解解本讲稿第四十一页，共六十页例例3 3解解注意注意:求求n阶导数时阶导数时,求出求出1-3或或4阶后阶后,不要急于合并不要急于合并,分析结果的规律性分析结果的规律性,写出写出n阶导数阶导数.(数学归纳法证明数学归纳法证明)本讲稿第四十二页，共六十页例例4 4解解同理可得同理可得本讲稿第四十三页，共六十页例例7 7解解本讲稿第四十四页，共六十页例例8 8解解本讲稿第四十五页，共六十页思考题思考题设设 连续，且连续，且 ，求求 .本讲稿第四十六页，共六十页思考题解答思考题解答可导可导不一定存在不一定存在故用定义求故用定义求本讲稿第四十七页，
9、共六十页定义定义例如例如,本讲稿第四十八页，共六十页定理定理定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.本讲稿第四十九页，共六十页证证定义辅助函数定义辅助函数则有则有本讲稿第五十页，共六十页例例1 1解解例例2 2解解本讲稿第五十一页，共六十页例例3 3解解例例4 4解解本讲稿第五十二页，共六十页例例5 5解解本讲稿第五十三页，共六十页注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好其它求极限方法结合使用，效果更好.例例6 6解解本讲稿第五十四页，共六十页例例7 7解解关键关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型型 .步骤步骤:本讲稿第五十五页，共六十页例例8 8解解步骤步骤:本讲稿第五十六页，共六十页步骤步骤:例例9 9解解本讲稿第五十七页，共六十页例例1010解解例例1111解解本讲稿第五十八页，共六十页例例1212解解极限不存在极限不存在洛必达法则失效。洛必达法则失效。注意：注意：洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件本讲稿第五十九页，共六十页三、小结三、小结洛必达法则洛必达法则本讲稿第六十页，共六十页