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1、高中数学圆锥曲线问题解题技巧本讲稿第一页，共四十七页 (2004全国东北理科卷全国东北理科卷)设双曲线的焦点在设双曲线的焦点在x轴上轴上,两条渐近线为两条渐近线为y=x，则该双曲线的离心率，则该双曲线的离心率e=()A.5 B.C.D.=1+k2.其中其中k为双曲线渐近线的斜率为双曲线渐近线的斜率.C e2=5/4.本讲稿第二页，共四十七页 (2005全国全国卷文科卷文科)已知双曲线已知双曲线 的的一条准线为一条准线为 ，则该双曲线的离心率为，则该双曲线的离心率为 ()A B C D x y oF1F2 ba将将k2=e2-1代入上式代入上式,整理得整理得9e4-9e2-4=0e2=4/3.D
2、本讲稿第三页，共四十七页 已知已知F1、F2为双曲线为双曲线 (a 0,b 0)的焦点，过的焦点，过F2作垂直于作垂直于 x 轴的直线交轴的直线交双曲线于双曲线于P,且且PF1F230(如图如图),求双求双曲线的渐近线方程曲线的渐近线方程.xyoPF1F24本讲稿第四页，共四十七页即即 ec 3a,e23,已知已知F1、F2为双曲线为双曲线 (a 0,b 0)的焦点，过的焦点，过F2作垂直于作垂直于 x 轴的直线交双曲线轴的直线交双曲线于于P,且且PF1F230(如图如图),求双曲线的渐近线方求双曲线的渐近线方程程.xyoPF1F2|PF1|2|PF2|，exP+a=2(exP-a)，exP3
3、a,k2=e2-1=2.y=x.本讲稿第五页，共四十七页 (2005福建理科福建理科)已知已知F1、F2是双曲线是双曲线 -=1(a0,b0)的两焦点的两焦点,以线段以线段F1F2为边作正为边作正三角形三角形MF1F2,若边若边MF1的中点在双曲线上，则的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是双曲线的离心率是 ()A.4+2 B.-1 C.D.+1 x y oF1F2MA30 x1由已知由已知,|AF1|=c,|AF2|=c,即即 ex1-a=c,ex1+a=c,两式相减：两式相减：2a=(-1)c,两边同除以两边同除以a得得 e=本讲稿第六页，共四十七页(2005福建理科福建理科)已知已知F1、
4、F2是双曲线是双曲线 (a 0,b 0)的两个焦点，以线段的两个焦点，以线段F1F2为边作为边作正三正三角形角形MF1F2,若边若边MF1的的中点中点在双曲线上在双曲线上,则双则双曲线的离心率是曲线的离心率是()A.4+2 B.-1 C.D.+1因为因为|NF1|=exN-a=c,即即exN+a=c y x oMF2NF1又又|NF2|=|NF1|,D 2exN=(+1)c将将xN=c/2代入即得代入即得.本讲稿第七页，共四十七页 要点提炼：设双曲线的离心率为设双曲线的离心率为e,一条有较小一条有较小倾斜角倾斜角 的渐近线的斜率为的渐近线的斜率为k,则双曲线的如下性质则双曲线的如下性质在解题时
5、十分有用：在解题时十分有用：过焦点作一条渐近线的垂线过焦点作一条渐近线的垂线,垂足在双曲线的准线垂足在双曲线的准线上上,垂线段的长等于半虚轴长；垂线段的长等于半虚轴长；arccos(1/e)；e2k21.此外此外,双曲线的焦半径公式：双曲线的焦半径公式：r1|ex0a|，r2|ex0a|在处理涉及双曲线的焦半径在处理涉及双曲线的焦半径问题时是十分有用的问题时是十分有用的,必须要学生熟记它必须要学生熟记它.本讲稿第八页，共四十七页设设 设而不求 (1994全国全国)设设F1,F2为双曲线为双曲线 的两的两个焦点，点个焦点，点P在双曲线上，且在双曲线上，且F1PF2=90则则 F1PF2的面积是的
6、面积是 ()A.1 B.C.2 D.=1.A本讲稿第九页，共四十七页 x y oF1F2P 以以F1F2为直径的圆为直径的圆的方程是：的方程是：x2+y2=5,本讲稿第十页，共四十七页 (2005全国全国卷卷)已知双曲线已知双曲线 的焦的焦点为点为F1、F2,点点M在双曲线上且在双曲线上且MF1MF2=0,则则点点M到到 x轴的距离为轴的距离为()A B C D x y oF1F2Mx2+y2=3MF1MF2=0MF1MF2x2+y2=3,2x2-y2=2 y =平几知识的应用C本讲稿第十一页，共四十七页 已知已知F1、F2为双曲线为双曲线 (a 0,b 0)的焦点，的焦点，M为双曲线上的点为
7、双曲线上的点,若若F1MF290,则则F1MF2的面积等于的面积等于_.x y oF1F2M一般化x2+y2=c2,b2x2-a2y2=a2b2 c2y2=b2(c2-a2)=b4 y=b2/c SF1MF2=b2.本讲稿第十二页，共四十七页 (2005全国全国卷卷)已知双曲线已知双曲线 的焦的焦点为点为F1、F2,点点M在双曲线上且在双曲线上且MF1MF2=0,则则点点M到到 x 轴的距离为轴的距离为()A B C D x y oF1F2MCSF1MF2=b2=2设点设点M到到 x 轴的距离为轴的距离为d,则则 cd=S d=本讲稿第十三页，共四十七页 将直角坐标系中的曲线平移将直角坐标系中
8、的曲线平移(或平移或平移坐标轴坐标轴)，曲线上任意两点之间的距离，曲线上任意两点之间的距离（弦长）、两条定弦之间的夹角、以及（弦长）、两条定弦之间的夹角、以及曲线上任一点处的切线的斜率，都是平曲线上任一点处的切线的斜率，都是平移变换下的移变换下的不变量不变量.本讲稿第十四页，共四十七页 (1995全国全国)直线直线l过抛物线过抛物线y2a(x+1)(a0)的焦点的焦点,并且与并且与x轴垂直轴垂直,若若l被抛物被抛物线截得的线段长为线截得的线段长为4,则则a .直线直线l过抛物线过抛物线 y24(x+1)的焦点的焦点,并并且与且与x轴垂直轴垂直,若若 l 被抛物线截得的线段长被抛物线截得的线段长
9、为为 .4 4 y2a(x-3)本讲稿第十五页，共四十七页（2003 新课程卷）设新课程卷）设a0，f(x)=ax2+bx+c,曲线曲线 y=f(x)在点在点 P(x0,f(x0)处的切线的倾斜角处的切线的倾斜角的取值范围为的取值范围为 ，则点，则点P到曲线到曲线y=f(x)对称对称轴距离的取值范围为轴距离的取值范围为()A.B.C.D.曲线曲线 y=f(x)在点在点 P(x0,f(x0)处的处的切线的斜率切线的斜率 k=2ax0.依题意依题意,0k1,1,即即 002ax01.1.B f(x)=2ax,本讲稿第十六页，共四十七页 x y oFP y=ax2 y=-y=2ax,y|=1.证明：
10、点证明：点P处的切线斜率为处的切线斜率为1本讲稿第十七页，共四十七页 x y oFP 证明：点证明：点P处的切线斜率为处的切线斜率为1 法一法一：由由 y2=2px 2yy=2p,法二法二：由由本讲稿第十八页，共四十七页F 回回 顾顾 y2=2px PF=p x y oA本讲稿第十九页，共四十七页x=-命题命题1 设抛物线设抛物线y2=2px(p0)的通径为的通径为PQ，则抛则抛物线在点物线在点P、Q处的切线的斜率分别为处的切线的斜率分别为1和和-1,且切线且切线通过抛物线的准线与通过抛物线的准线与x轴的交点轴的交点.xyOPQFx=-M本讲稿第二十页，共四十七页 x y oFP (2004
11、全国东部卷全国东部卷)设抛物线设抛物线y2=8x的准线与的准线与x轴交于点轴交于点Q，若过点，若过点Q的直线的直线l与抛物线有公共点，与抛物线有公共点，则直线则直线l的斜率的取值范围是的斜率的取值范围是()A.B.-2,2 C.-1,1 D.-4,4 y2=18x y2=8(x-6)C本讲稿第二十一页，共四十七页 已知已知F为抛物线为抛物线C：y24x的焦点，的焦点，P为为C上的上的任一点，过点任一点，过点F且斜率为且斜率为1的直线与的直线与C交于交于A、B两点，若两点，若 PAB的面积为的面积为4 ，则这样的点，则这样的点P有有()(A)1个个 (B)2个个 (C)3个个 (D)4个个 AB
12、：x-y-1=0 求得求得|AB|=8；取点取点M(1,2)MAB的面积为的面积为4C 点点M到直线到直线AB的距离为的距离为 x y oABFM本讲稿第二十二页，共四十七页 引申引申1 1椭圆通径一个端点处切线的斜率椭圆通径一个端点处切线的斜率 x y oF1P由由得得 引申引申2 2 双曲线通径端点处切线的斜率为双曲线通径端点处切线的斜率为 e.本讲稿第二十三页，共四十七页 引申引申3 3 过椭圆过椭圆 上一点上一点 P(x0,y0)的切线方程为：的切线方程为：引申引申4 4 过双曲线过双曲线 上一点上一点 P(x0,y0)的切线方程为：的切线方程为：本讲稿第二十四页，共四十七页 引申引申
13、5 5 过抛物线过抛物线y2=2px上一点上一点P(x0,y0)的的切线方程为：切线方程为：y0y=p(x+x0)y0y=p(x+x0)k切切=本讲稿第二十五页，共四十七页 命题命题2 若若PQ为焦点在为焦点在x轴上的圆锥曲线的通轴上的圆锥曲线的通径，则曲线在点径，则曲线在点P、Q处的切线的斜率为处的切线的斜率为e和和-e，且切线通过相应准线与，且切线通过相应准线与x轴的交点轴的交点.或表述为：过焦点在或表述为：过焦点在x轴上的圆锥曲线的准轴上的圆锥曲线的准线与线与x轴的交点，且斜率为轴的交点，且斜率为e(或或-e)的直线，与的直线，与圆锥曲线相切，且切点为圆锥曲线一条通径的圆锥曲线相切，且切
14、点为圆锥曲线一条通径的端点端点.本讲稿第二十六页，共四十七页 x y o作离心率为作离心率为1/2的椭圆的椭圆本讲稿第二十七页，共四十七页 x y oFAB|OF|c,|FA|b,|OA|a.c|AB|2ab|AB|作离心率为作离心率为2的双曲线的双曲线本讲稿第二十八页，共四十七页(2004湖南理科卷湖南理科卷)如图，过抛物线如图，过抛物线x2=4y的对称轴的对称轴上任一点上任一点P(0,m)(m0)作直线与抛物线交于作直线与抛物线交于A，B两点，点两点，点Q是点是点P关于原点的对称点关于原点的对称点.(I)设点设点P分有向线段分有向线段AB所成的比为所成的比为，证明，证明QP(QA-QB)；
15、(II)设直线设直线AB的方程是的方程是x-2y+12=0，过过A、B两点两点的圆的圆C与抛物线在点与抛物线在点A处有处有共同的切线，求圆共同的切线，求圆C的方程的方程.x y oAPBQ本讲稿第二十九页，共四十七页 x y oAPBQ(0,-m)(x1,y1)(x2,y2)AP=(-x1,m-y1),PB=(x2,y2-m),由已知由已知,x1=-x2,y1-m=-(y2-m).即即因为因为A、P、B共线共线,且且AP=PB.QP=QA+QB=(QA+QB).欲证欲证QP(QA-QB),只须证只须证QP(QA-QB)=0,即证即证|QA|2-2|QB|2=0.而而|QA|2-2|QB|2=+
16、(y1+m)2-2 +(y2+m)2本讲稿第三十页，共四十七页光 的 反 射基本原理:()光的传播遵循光的传播遵循“光行最速原理光行最速原理”;()光的反射应满足：光的反射应满足：“入射角入射角=反射角反射角”;由此推得由此推得 入射线与反射线关于入射线与反射线关于法线法线对称对称;投影线为水平线时投影线为水平线时,k入射线入射线+k反射线反射线=0.本讲稿第三十一页，共四十七页光 的 反 射基本技巧:始始点点终终点点 入射线入射线;始始点点终终点的对称点点的对称点反射线反射线.始始点的对称点点的对称点终终点点本讲稿第三十二页，共四十七页 (1989全国全国)自点自点A(-3,3)发出的光线发
17、出的光线 l 射到射到x轴上被轴上被 x 轴反射，其反射光线所在直线与圆轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切相切,求光线求光线 l 所在直线的方所在直线的方程程.(x-2)2+(y-2)2=1 x1 y o1-1.A.A始点的对称点始点的对称点终终点点 -反射线反射线；终终点的对称点点的对称点始始点点 -入射线入射线.本讲稿第三十三页，共四十七页 (2005江苏江苏)点点P(-3,1)在椭圆在椭圆 的左准线上的左准线上,过点过点P且方向为且方向为a=(2,-5)的光线的光线,经经直线直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆则这个椭圆的离心
18、率为的离心率为()A.B.C.D.本讲稿第三十四页，共四十七页 x y o P(-3,1)F(-c,0)MNl解法一：依题意依题意,入射线方程为入射线方程为y-1=-(x+3)令令y=-2,得得M(-,-2);令令y=0,得得N(-,0).F(-1,0)a2=3本讲稿第三十五页，共四十七页 x y o P(-3,1)F(-c,0)MNl解法二：点点F关于直线关于直线y=-2的对的对称点为称点为Q(-c,-4).c=1 a2=3 依题意依题意,kPQ=-,Q本讲稿第三十六页，共四十七页要点提炼：光反射的理论依据，是物理学中的光反射的理论依据，是物理学中的光行最速原光行最速原理理；数学中处理这类问
19、题的基本方法是运用平面几何；数学中处理这类问题的基本方法是运用平面几何中的中的对称性对称性，这就是，这就是“通法通法”.只有把握住只有把握住“通法通法”，不论题目如何变化，你才能在解题时得心应手，不论题目如何变化，你才能在解题时得心应手，游刃有余游刃有余.本讲稿第三十七页，共四十七页 (2004江苏卷江苏卷)已知椭圆的中心在原点，离心已知椭圆的中心在原点，离心率为率为 ，一个焦点是，一个焦点是F(-m,0)(m是大于零的常数是大于零的常数).()求椭圆方程；求椭圆方程；()设设Q是椭圆上的一点，且过点是椭圆上的一点，且过点F，Q的直线的直线l与与y轴交于点轴交于点M，若，若|MQ|=2|QF|
20、，求直线，求直线l的斜的斜率率.()本讲稿第三十八页，共四十七页()x y oMQF|MQ|=2|QF|()分析：由题设，由题设，|xM-xQ|=2|xQ-xF|，即即|xQ|=2|xQ+m|，即即xQ=-2m 或或 xQ=-m.3x2+4y2=12m2,y=k(x+m)(3+4k2)x2+8k2mx+4k2m2-12m2=0令令x=-2m，得，得k=0；令令x=-m，得，得k=2 .本讲稿第三十九页，共四十七页(2004东北理科卷东北理科卷)给定抛物线给定抛物线C：y2=4x，F是是C的焦点，过点的焦点，过点F的直线的直线l与与C相交于相交于A、B两两点点.()设设l的斜率为的斜率为1，求，
21、求OA与与OB的夹角；的夹角；()设设BF=FA,若若 4,9，求，求l在在y轴上截轴上截距的变化范围距的变化范围.x y oABF ()由对称性，我们只须研由对称性，我们只须研究如图的情况究如图的情况.本讲稿第四十页，共四十七页 x y oABF(1)当当yB=-4yA时，时，yA=1m=.令令x=0，得，得y1=(2)当当yB=-9yA时，同理可得时，同理可得y2=m 本讲稿第四十一页，共四十七页CDABE (2000新课程卷新课程卷)如图如图,已知梯形已知梯形ABCD中中,|AB|=2|CD|,点点E分有向线段分有向线段AC所成的比为所成的比为，双，双曲线过曲线过C、D、E三点，且以三点
22、，且以A、B为焦点为焦点.当当 时，求双曲线离心率时，求双曲线离心率e的取值范围的取值范围.由由|AE|=|EC|,xy设设|AB|=2c,则则A(-c,0),C(,yC),又设又设E(x0,y0),得得 x0+c=(-x0),x0=|EC|=(exC+a)-(-ex0-a)=2a+e(xC+x0),因为因为|EC|=|AC|-|AE|本讲稿第四十二页，共四十七页因为因为|EC|=(exC+a)-(-ex0-a)=2a+e(xC+x0),|AE|=|EC|,x0=所以所以-ex0-a=2a+e(+x0)t=-2et-2=4+e(e+2t)2e(+1)t=-(e2+4+2)将将代入代入两边同乘以
23、两边同乘以 e2(-2)=-(e2+4+2)e2=因为因为所以所以 7 e210,得得本讲稿第四十三页，共四十七页 (2004天津理科卷天津理科卷)椭圆的中心是原点椭圆的中心是原点O，它的短轴，它的短轴长为长为2 ，相应于焦点，相应于焦点F(c,0)的准线的准线l与与x轴相交于轴相交于点点A，|OF|=2|FA|.过点过点A的直线与椭圆相交于的直线与椭圆相交于P、Q两点两点.()求椭圆的方程及离心率；求椭圆的方程及离心率；()若若OPOQ=0，求直线，求直线 PQ的方程；的方程；()设设AP=AQ(1).过点过点P且平行于且平行于l的直线与椭的直线与椭圆相交于另一点圆相交于另一点M.证明：证明
24、：FM=-FQ.MAPQOFxye=x y-3=0本讲稿第四十四页，共四十七页MAPQOFxy()设设AP=AQ(1).过点过点P且且平行于平行于l的直线与椭圆相交于另的直线与椭圆相交于另一点一点M.证明：证明：FM=-FQ.？分析分析 设设P(x1,y1),Q(x2,y2),则则M(x1,-y1).又又F(2,0),由已知由已知x1-3=(x2-3),y1=y2.=-(3-x2-,y2),FM=(x1-2,-y1)=(x2-3)+1,-y1)FQ=(x2-2,y2).欲证欲证FM=-FQ，只须证，只须证或或本讲稿第四十五页，共四十七页MAPQOFxyAP=AQ(1).目标：目标：条件：条件：(3,0)x1-3=(x2-3),y1=y2,x +3y =6,x +3y =6.-2:将将式代入上式，整理得：式代入上式，整理得：x20本讲稿第四十六页，共四十七页MAPQOFxy()设设AP=AQ(1).过点过点P且且平行于平行于l的直线与椭圆相交于另一的直线与椭圆相交于另一点点M.证明：证明：FM=-FQ.？还须证：还须证：M、F、Q 三点共线三点共线.本讲稿第四十七页，共四十七页