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1、集合与简易逻辑复习课本讲稿第一页，共十六页内容提要内容提要集合的基本概念及运算集合的基本概念及运算简易逻辑及充要条件简易逻辑及充要条件绝对值不等式及一元二次不等式的解法绝对值不等式及一元二次不等式的解法反证法反证法本讲稿第二页，共十六页 的真假判断方法的真假判断方法知识知识知识知识提要提要提要提要集集集集合合合合与与与与简简简简易易易易逻逻逻逻辑辑辑辑集集合合不不等等式式简简易易逻逻辑辑概念性质运算把一些确定的对象集在一起，就成为集合把一些确定的对象集在一起，就成为集合集合中元素具有确定性、互异性、无序性集合中元素具有确定性、互异性、无序性子集交集并集补集对任意元素对任意元素xA，有，有xB，
2、则，则CUA=结结结结论论论论(3)CU(AB)=CUACUB二次不等式绝对值不等式 b|f(x)|a|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)注意先将二次系数化为正注意先将二次系数化为正;并注意数形结合、分类讨论并注意数形结合、分类讨论.反证法逻辑联结词四种命题充要条件或、且、非或、且、非p、q中至少有一个为真时，中至少有一个为真时，命题命题p或或q为真，否则为为真，否则为假假.p且且q、非非pp或或q、p、q中两个均为真时，中两个均为真时，命题命题p且且q为真，否则为真，否则为假为假.p为真时，非为真时，非p为假；为假；p为假时，非为假时，非p为真为真.则A是B的充分条件，B是A的必要条件；
3、则A是B的充要条件或B是A的充要条件.步步步步骤骤骤骤 反设：假设命题的结论不成立；反设：假设命题的结论不成立；归谬：从假设出发，推理，得出矛盾归谬：从假设出发，推理，得出矛盾;结论：判断假设不正确结论：判断假设不正确,肯定原命题成立肯定原命题成立.下下一一张张判断判断方法方法小结小结本讲稿第三页，共十六页返回返回二次不等式解法注意先将二次系数化为正注意先将二次系数化为正;并注意数形结合、分类讨论并注意数形结合、分类讨论.不等式不等式ax+bx+c0恒恒成立成立(解集为解集为R)本讲稿第四页，共十六页四种命题四种命题原命题若若p则则q逆命题若若q则则p互互互互 逆逆逆逆否命题若若p则则q互互互
4、互否否否否逆否命题若若q则则p互为互为互为互为 逆否逆否逆否逆否互互互互 逆逆逆逆互互互互否否否否互为互为互为互为 逆否逆否逆否逆否注：注：1、常见关键词的否定、常见关键词的否定且且存在存在至少有两个至少有两个一个也没有一个也没有()()不都是不都是(全是全是)不是不是否否否否 定定定定或或任意任意至多有一个至多有一个至少有一个至少有一个()都是都是(全是）全是）是是关关关关键词键词键词键词返回返回返回返回注：注：2、充要条件判断方法、充要条件判断方法定义法定义法等价法等价法利用命题的逆否命题利用命题的逆否命题利用命题的逆否命题利用命题的逆否命题集合法集合法则则则则A A A A是是是是B B
5、 B B充分条件充分条件充分条件充分条件;则则则则B B B B是是是是A A A A必要条件必要条件必要条件必要条件.则则则则A A A A、B B B B互为充要条件互为充要条件互为充要条件互为充要条件.本讲稿第五页，共十六页几个需要说明的问题弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：符号：符号：符号：、的区别；的区别；的区别；的区别；a a
6、与与与与 a a 的关系；的关系；的关系；的关系；集合集合集合集合A=A=x x|y=xy=x2 2,B B=y y|y=xy=x2 2,C C=(=(x,yx,y)|)|y=xy=x2 2 的区别的区别的区别的区别.求解集合问题基本思想方法：求解集合问题基本思想方法：求解集合问题基本思想方法：求解集合问题基本思想方法：不等式问题利用数轴，注意实心和空心，以及端点的选取不等式问题利用数轴，注意实心和空心，以及端点的选取不等式问题利用数轴，注意实心和空心，以及端点的选取不等式问题利用数轴，注意实心和空心，以及端点的选取.求解集合问题时，切不可忽略了求解集合问题时，切不可忽略了 .A B A B或
7、或A BA B均含有均含有A=A=的情形的情形 AB=AB=含有含有A A或或B B为为 的情形的情形利用文氏图求解利用文氏图求解.UAB(CUB)A(CUA)BCU(AB)或CUACUB绝对值不等式的解法：绝对值不等式的解法：绝对值不等式的解法：绝对值不等式的解法：关键在于去绝对值关键在于去绝对值关键在于去绝对值关键在于去绝对值 a a.由绝对值的由绝对值的由绝对值的由绝对值的 求解不等式；求解不等式；求解不等式；求解不等式；b b.由绝对值的由绝对值的由绝对值的由绝对值的 去绝对值符号，从而求出不等式的解。去绝对值符号，从而求出不等式的解。去绝对值符号，从而求出不等式的解。去绝对值符号，从
8、而求出不等式的解。几何意义几何意义几何意义几何意义.代数意义代数意义代数意义代数意义|a|表示数轴上a到原点0的距离；|a-b|表示数轴上点a到b的距离.|a|=本讲稿第六页，共十六页几个需要说明的问题一元二次不等式的类型：一元二次不等式的类型：一元二次不等式的类型：一元二次不等式的类型：常系数的一元二次不等式；常系数的一元二次不等式；常系数的一元二次不等式；常系数的一元二次不等式；含字母系数的一元二次不等式大致分为两类：含字母系数的一元二次不等式大致分为两类：含字母系数的一元二次不等式大致分为两类：含字母系数的一元二次不等式大致分为两类：（）的符号不确定，讨论的大小；的符号不确定，讨论的大小
9、；的符号不确定，讨论的大小；的符号不确定，讨论的大小；（）通过因式分解（或求根公式）得出两根，则讨论根的大小。）通过因式分解（或求根公式）得出两根，则讨论根的大小。）通过因式分解（或求根公式）得出两根，则讨论根的大小。）通过因式分解（或求根公式）得出两根，则讨论根的大小。一元二次不等式的应用：一元二次不等式的应用：一元二次不等式的应用：一元二次不等式的应用：已知一个不等式的解集，求另一个不等式的解集；已知一个不等式的解集，求另一个不等式的解集；已知一个不等式的解集，求另一个不等式的解集；已知一个不等式的解集，求另一个不等式的解集；恒成立问题：通常可结合恒成立问题：通常可结合恒成立问题：通常可结
10、合恒成立问题：通常可结合 来考虑来考虑来考虑来考虑。二次函数图象二次函数图象二次函数图象二次函数图象（1）二次不等式二次不等式a x2+bx+c 0恒成立恒成立（3）二次不等式二次不等式a x2+bx+c 0恒成立恒成立（2）二次不等式二次不等式a x2+bx+c 0恒成立恒成立（4）二次不等式二次不等式a x2+bx+c 0恒成立恒成立本讲稿第七页，共十六页基础训练基础训练1.1.1.1.有有有有n n个元素的集合个元素的集合个元素的集合个元素的集合 a a1 1,a a2 2 ,a an n 有有有有_个子集，真子集个子集，真子集个子集，真子集个子集，真子集_个，非空真子集个，非空真子集个
11、，非空真子集个，非空真子集_个个个个.2.2.2.2.设全集设全集设全集设全集U U U U=R=R，集合，集合，集合，集合P=P=x x|x x 11，集合，集合，集合，集合Q Q Q Q=x x|0|0 x x55，则，则，则，则(C CU U U UP P)Q Q Q Q=_ 3.3.3.3.已知集合已知集合已知集合已知集合A=A=x x|x x2 2-5 5x+x+4 40 0 0 0，B=B=x x|x xa a，若，若，若，若A A B=AB=A ，则，则，则，则a a 范围为范围为范围为范围为_._._._.4.4.4.4.不等式不等式不等式不等式1 1 1 1|2 2x x-5
12、 5|9 9 9 9解为解为解为解为_;_;_;_;不等式不等式不等式不等式 解集为解集为解集为解集为_._._._.5.5.5.5.若若若若B B是是是是A A的充分不必要条件，则的充分不必要条件，则的充分不必要条件，则的充分不必要条件，则A A是是是是B B的的的的_条件，条件，条件，条件，B B是是是是A A的的的的_条件条件条件条件.6.6.6.6.若若若若p p：,q q:|3 3x x-4 4|2 2 2 2，则则则则 p p是是是是q q 的的的的()()A.A.充分不必要条件充分不必要条件充分不必要条件充分不必要条件 B.B.必要不充分条件必要不充分条件必要不充分条件必要不充分
13、条件 C.C.充要条件充要条件充要条件充要条件 D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 答答答答 案案案案2 2n n2 2n n-1-1-1-12 2n n-2-2-2-2x|0 x1a|a4x|3x7x|3x7或或或或-2x2-2x2x|0 x1x|0 x00),若若若若 p p是是是是q q的充分非必要条件的充分非必要条件的充分非必要条件的充分非必要条件,求求求求m m 范围范围范围范围.解析解析解析解析由由得得所以所以“p”:x-2 或或 x 10又由又由x2-2x+1-m 20(0(m 0),故不等式解为故不等式解为所以所以“q”:因
14、为因为 p是是q的充分非必要条件的充分非必要条件,设设 p组成集合组成集合A;q 的组成集合的组成集合B.即即 p q且且q p.则则A B.如右图有如右图有:-2101-m1+mm 0m 0综上：综上：B B B BA A A A本讲稿第十一页，共十六页针对训练针对训练解析解析解析解析 练习练习练习练习1 1 1 1：已知关于已知关于已知关于已知关于x x的不等式的不等式的不等式的不等式 axax2 2-2 2axax+a a2 2-2 20 0 0 0，（1 1 1 1）不等式的解集为）不等式的解集为）不等式的解集为）不等式的解集为R R,试求试求试求试求a a 的取值范围；（的取值范围；
15、（的取值范围；（的取值范围；（2 2 2 2）若解集为）若解集为）若解集为）若解集为 ,试求试求试求试求a a的取值范围的取值范围的取值范围的取值范围.（1 1）由不等式的解集为）由不等式的解集为R,由题知由题知当当a=0 0时时,即为即为-20 0,不满足条件不满足条件.故故a 0,0,此时，原题等价于此时，原题等价于:故故:（2 2）由不等式的解集为）由不等式的解集为 知知:不等式不等式 ax2-2ax+a2-20 0恒成立恒成立当当a=0 0时时,即为即为-20 0,满足满足条件条件.当当a 0 0时，原题等价于时，原题等价于:故故:本讲稿第十二页，共十六页针对训练针对训练练习练习练习练
16、习2 2 2 2：解不等式解不等式解不等式解不等式|x|x-1|+|1|+|x x+1|1|4 4解析解析解析解析1 1利用绝对值的代数意义利用绝对值的代数意义找出绝对值零值点找出绝对值零值点-1、1,分三段去绝对值分三段去绝对值当当x-1时，原不等式等价于时，原不等式等价于:-(x-1)-(x+1)4即-2x4则x-2.此时应取x-2当当-1x1时，原不等式等价于时，原不等式等价于:-(x-1)+(x+1)4即24不成立此时无解当当x1时，原不等式等价于时，原不等式等价于:x-1+x+14即2x4则x2.此时应取x2综上综上:x|x-2或或x2解析解析解析解析2 2利用绝对值的几何意义求解利
17、用绝对值的几何意义求解|a|表示数轴上表示数轴上a对应的点到原点对应的点到原点0的距离的距离题中题中|x-1|+|x+1|表示表示:x到到-1与与1距离之和距离之和如图：如图：-1 1当当x-1时时,x|x-1|x+1|2由题先求使由题先求使|x-1|+|x+1|4的点x,易得易得x-2,此时不等式解为x-2如图如图:当当-1x1时时,如图如图:2x当当x1时时,如图如图:x|x+1|x-1|由题先求使由题先求使|x-1|+|x+1|4的点x,易得易得x2,此时不等式解为x2综上综上:x|x-2或或x2此时无解解析解析解析解析3 3本讲稿第十三页，共十六页针对训练针对训练练习练习练习练习2 2
18、 2 2：解不等式解不等式解不等式解不等式|x|x-1|+|1|+|x x+1|1|4 4原不等式变形为：原不等式变形为：|x-1|4-|x+1|解析解析解析解析3 3等价于：等价于：x-14-|x+1|或 x-1-(4-|x+1|)即有：即有：|x+1|5-x 或或|x+1|x+3等价于：等价于：x+1 5-x 或 x+1-(5-x)或或 x+1 x+3或或x+1-(x+3)即有：即有：x 2 或 1 -5 或或 1 3或或x-2综上综上:x|x-2或或x2本讲稿第十四页，共十六页本课小结本课小结 集合的基本概念及运算集合的基本概念及运算集合的基本概念及运算集合的基本概念及运算 简易逻辑及充要条件简易逻辑及充要条件简易逻辑及充要条件简易逻辑及充要条件 绝对值不等式及一元二次不等式的解法绝对值不等式及一元二次不等式的解法绝对值不等式及一元二次不等式的解法绝对值不等式及一元二次不等式的解法 反证法反证法反证法反证法本讲稿第十五页，共十六页本专题结束本专题结束再再 见见20032003年年年年1010月月月月再再 见见再再 见见本讲稿第十六页，共十六页