解析几何的诞生精选文档.ppt

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1、解析几何的诞生本讲稿第一页，共三十三页欧几里得与他的欧几里得与他的几何原本几何原本阿波罗尼奥斯与阿波罗尼奥斯与圆锥曲线圆锥曲线从常量数学到变量数学从常量数学到变量数学初等数学初等数学 研究对象为研究对象为以静止观点研究问题以静止观点研究问题.常量常量,高等数学高等数学 研究对象为研究对象为运动和辩证法进入了数学运动和辩证法进入了数学.变量变量,阿波罗尼奥斯阿波罗尼奥斯特点：静态几何特点：静态几何没有把圆锥曲线看成运动轨迹，更没有给它以一般的方没有把圆锥曲线看成运动轨迹，更没有给它以一般的方法表示法表示.本讲稿第二页，共三十三页阿波罗尼奥斯的圆锥曲线论阿波罗尼奥斯的圆锥曲线论:圆圆椭圆椭圆抛物线

2、抛物线双曲线双曲线直角圆锥截线锐角圆锥截线钝角圆锥截线（抛物线）（椭圆）（等轴双曲线）希腊学者梅内赫莫斯希腊学者梅内赫莫斯(阿波罗尼奥斯之前阿波罗尼奥斯之前):本讲稿第三页，共三十三页变量数学的早期形式变量数学的早期形式1 1）阿喀琉斯问题阿喀琉斯问题阿喀琉斯与一只领先的乌龟，不论阿喀琉斯跑的多么阿喀琉斯与一只领先的乌龟，不论阿喀琉斯跑的多么快，他永远也追不上那只乌龟。快，他永远也追不上那只乌龟。2 2）二分说）二分说“一个人从一个人从A点走到点走到B点，要先走完路程的点，要先走完路程的1/2，再走完剩，再走完剩下总路程的下总路程的1/2，再走完剩下的，再走完剩下的1/2”如此循环下去，如此循

3、环下去，永远不能到终点。永远不能到终点。3 3）刘徽的）刘徽的“割圆术割圆术”本讲稿第四页，共三十三页6.1 6.1 解析几何产生的背景解析几何产生的背景16-1716-17世纪，一系列重大的发明为数学和科学的发展世纪，一系列重大的发明为数学和科学的发展扫清了障碍，数学思想进入了一个新阶段扫清了障碍，数学思想进入了一个新阶段.首先首先，从印度，从印度阿拉伯数码的产生，到系统的采用阿拉伯数码的产生，到系统的采用数学符号，以及代数和分析等学科的发展，为解析数学符号，以及代数和分析等学科的发展，为解析几何产生创造了条件；几何产生创造了条件；(例如：三次、四次方程的求解与符号代数是两个主例如：三次、四

4、次方程的求解与符号代数是两个主要的成就要的成就)本讲稿第五页，共三十三页6.1 6.1 解析几何产生的背景解析几何产生的背景其次其次，数学家对圆锥曲线的认识，从最初看作是从不同，数学家对圆锥曲线的认识，从最初看作是从不同角度截圆锥体而得到的曲线，到把曲线看成是物体运动角度截圆锥体而得到的曲线，到把曲线看成是物体运动的轨迹的轨迹.例如：开普勒提出了行星运动三大规律例如：开普勒提出了行星运动三大规律椭圆定律椭圆定律：所有行星绕太阳的轨道都是：所有行星绕太阳的轨道都是椭圆椭圆，太阳在椭，太阳在椭圆的一个焦点上圆的一个焦点上.伽利略明确指出各抛射物体的运动轨迹是伽利略明确指出各抛射物体的运动轨迹是抛物

5、线抛物线.本讲稿第六页，共三十三页6.2 6.2 笛卡尔和他的几何学笛卡尔和他的几何学法国科学家、哲学家法国科学家、哲学家,数学家数学家.15961596年年3 3月月1313日，生于法国西部的日，生于法国西部的希列塔尼半岛上的图朗城，希列塔尼半岛上的图朗城，3 3天后，天后，母亲去世，从小便失去母亲的笛卡母亲去世，从小便失去母亲的笛卡儿一直体弱多病。儿一直体弱多病。16491649年年1010月，勒月，勒内内.笛卡儿应瑞典女王克里斯蒂娜笛卡儿应瑞典女王克里斯蒂娜的邀请来到瑞典首都斯德哥尔摩，的邀请来到瑞典首都斯德哥尔摩，为这位为这位1919岁的姑娘讲授哲学和数学，岁的姑娘讲授哲学和数学，很遗

6、憾由于笛卡儿对女王的生活习很遗憾由于笛卡儿对女王的生活习惯不适应，加上严寒冬天的威胁，惯不适应，加上严寒冬天的威胁，这位伟大的数学家、物理学家和哲这位伟大的数学家、物理学家和哲学家病倒了。学家病倒了。16501650年年2 2月月1111日，这日，这位科学巨人与世长辞了。位科学巨人与世长辞了。笛卡儿笛卡儿(1596-1650)本讲稿第七页，共三十三页 著作：著作：16371637年发表方法论，并附有一篇几何学的年发表方法论，并附有一篇几何学的附录附录.几何学所阐述的思想，被弥尔称作几何学所阐述的思想，被弥尔称作“精密科学进精密科学进步中最伟大的一步步中最伟大的一步”笛卡儿的理论以两个观念为基础

7、：笛卡儿的理论以两个观念为基础：坐标观念坐标观念和和利用坐标方法把带有两个未知数的任意代利用坐标方法把带有两个未知数的任意代数方程看成平面上的一条曲线数方程看成平面上的一条曲线本讲稿第八页，共三十三页作出作出的图像的图像.本讲稿第九页，共三十三页 笛卡尔的几何学共分三个部分：笛卡尔的几何学共分三个部分：第一部分包括对一些代数式作几何的原则解释，第一部分包括对一些代数式作几何的原则解释，在这一部分中，笛卡儿把在这一部分中，笛卡儿把几何算术化几何算术化了：了：在一条给定直线上标出在一条给定直线上标出x，在与该轴成固定角的线上标出在与该轴成固定角的线上标出y，并作出满足对应关系式的点并作出满足对应关

8、系式的点.相当于建立坐标系（斜坐标系、没有相当于建立坐标系（斜坐标系、没有y轴和负数）轴和负数）本讲稿第十页，共三十三页 第二部分讨论了第二部分讨论了帕普斯问题帕普斯问题：设给定的线段是设给定的线段是AG、GH、EF和和AD.从点从点P引四条线与已知线交于已知角，引四条线与已知线交于已知角，且且 ，求，求P的轨迹的轨迹.由几何意义得：由几何意义得：已知量已知量任取一个任取一个x,对应一个对应一个y,所以该方程对应所以该方程对应P点的轨迹点的轨迹.意义：意义：通过建立斜坐标系，通过建立斜坐标系，把几何曲线表示成代把几何曲线表示成代数方程，数方程，然后通过研究代数方程然后通过研究代数方程来揭示曲线

9、的性质来揭示曲线的性质.本讲稿第十一页，共三十三页 第三部分涉及高于二次方程的解法，指出了第三部分涉及高于二次方程的解法，指出了方程可能有方程可能有和它的次数一样多的根和它的次数一样多的根.在他的几何学中第一次出现在他的几何学中第一次出现变量变量与与函数函数的思想的思想笛卡儿所谓的变量，是指笛卡儿所谓的变量，是指具有变化长度而不变方向的线段具有变化长度而不变方向的线段，还指还指连续经过坐标轴上所有点的数字变量连续经过坐标轴上所有点的数字变量笛卡儿的功绩笛卡儿的功绩是把数学中两个研究对象是把数学中两个研究对象“形形”与与“数数”统统一起来，并在数学中引入一起来，并在数学中引入“变量变量”，完成了

10、数学史上一项划时，完成了数学史上一项划时代的变革代的变革.本讲稿第十二页，共三十三页6.2 6.2 费马费马和他的解析几何和他的解析几何费马是法国数学家，费马是法国数学家，1601 1601 年年8 8 月出生于月出生于生活在富裕舒适的环境中费马小时候生活在富裕舒适的环境中费马小时候受教于他的叔叔皮埃尔，受到了良好的受教于他的叔叔皮埃尔，受到了良好的启蒙教育，培养了他广泛的兴趣和爱好，启蒙教育，培养了他广泛的兴趣和爱好，对他的性格也产生了重要的影响直到对他的性格也产生了重要的影响直到1414岁时，费马才入校学习，毕业后先后岁时，费马才入校学习，毕业后先后在奥尔良大学和图卢兹大学学习法律在奥尔良

11、大学和图卢兹大学学习法律.在数学方面，在数学方面，数学论集数学论集是是费马去世后费马去世后由其长子将其由其长子将其笔记、批注及书信整理成书而出版的费马的数学研究笔记、批注及书信整理成书而出版的费马的数学研究成果不及时发表，得不到传播和发展，并不完全是个人成果不及时发表，得不到传播和发展，并不完全是个人的名誉损失，而是影响了那个时代数学前进的步伐的名誉损失，而是影响了那个时代数学前进的步伐.本讲稿第十三页，共三十三页费马关于曲线的工作费马关于曲线的工作16291629年以前，费马便着手年以前，费马便着手重写重写公元前三世纪古希腊几公元前三世纪古希腊几何学家阿波罗尼奥斯的著作圆锥曲线论，何学家阿波

12、罗尼奥斯的著作圆锥曲线论，他用他用代数方法代数方法对该书的证明作了补充，对古希腊几何学，尤对该书的证明作了补充，对古希腊几何学，尤其是阿波罗尼奥斯圆锥曲线论进行了总结和整理其是阿波罗尼奥斯圆锥曲线论进行了总结和整理.并于并于16291629年用拉丁文撰写了仅有八页的论文年用拉丁文撰写了仅有八页的论文平面平面与立体轨迹引论与立体轨迹引论（即研究（即研究“点点”在在平面平面和和立体空间立体空间中运动划出的中运动划出的“轨迹轨迹”，主要指直线和各种曲线，主要指直线和各种曲线.费费尔马又是尔马又是用代数方法用代数方法研究的，与笛卡尔的类似研究的，与笛卡尔的类似.本讲稿第十五页，共三十三页曲线和它上面的

13、任意点曲线和它上面的任意点I（I通过通过AE确定），确定），A是从是从原点原点O沿底线到沿底线到J的距离，的距离，E是是J到到I的距离，的距离，费马给出直线方程为费马给出直线方程为：d x=b y，圆方程为：圆方程为：双曲线方程为：双曲线方程为：抛物线方程为抛物线方程为：斜坐标、没有斜坐标、没有y y轴和负数轴和负数本讲稿第十六页，共三十三页 6.4解析几何的进一步完善和发展解析几何的进一步完善和发展牛顿在牛顿在1704 1704 年，对于二次和三年，对于二次和三次曲线理论进行了比较系统的次曲线理论进行了比较系统的研究特别是，得到了研究特别是，得到了“直径直径”的一般理论的一般理论例如，例如，

14、二次曲线的平行弦中点二次曲线的平行弦中点的轨迹是直线的轨迹是直线，这个结论，对，这个结论，对于椭圆、双曲线、抛物线都是于椭圆、双曲线、抛物线都是正确的对于这个早已熟知的正确的对于这个早已熟知的命题，要用综合几何的方法来命题，要用综合几何的方法来论证是非常困难的，但用解析论证是非常困难的，但用解析几何的方法很容易就证明了几何的方法很容易就证明了这也显示了解析几何的作用这也显示了解析几何的作用本讲稿第十七页，共三十三页雅各布雅各布伯努利伯努利伯努利家族代表人物之一，瑞士数伯努利家族代表人物之一，瑞士数学家。被公认的概率论的先驱之一。学家。被公认的概率论的先驱之一。他是最早使用他是最早使用“积分积分

15、”这个术语的这个术语的人，也是较早使用人，也是较早使用极坐标系极坐标系的数的数学家之一。还较早阐明随着试验学家之一。还较早阐明随着试验次数的增加，频率稳定在概率附次数的增加，频率稳定在概率附近。他还研究了悬链线，还确定近。他还研究了悬链线，还确定了等时曲线的方程。了等时曲线的方程。(16541705)本讲稿第十八页，共三十三页 1748 1748 年，著名数学家欧拉在他的年，著名数学家欧拉在他的分析分析引论引论著作中论述并发展了解析几著作中论述并发展了解析几何，他不仅对二次曲线进行了详细何，他不仅对二次曲线进行了详细讨论，而且还研究了高阶曲线讨论，而且还研究了高阶曲线他讨论了他讨论了坐标的平移

16、和旋转坐标的平移和旋转，并且得，并且得出在坐标变换下，方程的次数不会改变出在坐标变换下，方程的次数不会改变同时，欧拉还在他的书中详细讨论了同时，欧拉还在他的书中详细讨论了带两个变量的二次方程总可以化成带两个变量的二次方程总可以化成9 9 种种标准形式中的一种也就是对标准形式中的一种也就是对平面曲线平面曲线作了分类作了分类.（17071783）欧拉欧拉本讲稿第十九页，共三十三页 拉格朗日在拉格朗日在17881788年表的著作年表的著作解析力解析力学学中把力、速度、加速度中把力、速度、加速度“算术化算术化”了他把力、速度、加速度表示为了他把力、速度、加速度表示为有向线段有向线段有向线段沿坐标的分解

17、系有向线段沿坐标的分解系数或有向线段在轴上的射影是一组数数或有向线段在轴上的射影是一组数这样有向线段就可以和数组对应起这样有向线段就可以和数组对应起来，也就是所谓的来，也就是所谓的“算术化算术化”.”.由于由于数学和物理在电学的影响下，广泛地数学和物理在电学的影响下，广泛地讨论和使用有向线段的理论，因此后讨论和使用有向线段的理论，因此后来就被称为来就被称为向量向量向量理论现己成为向量理论现己成为解析几何的主要组成部分解析几何的主要组成部分本讲稿第二十页，共三十三页表示法表示法:向量及其线性运算向量及其线性运算向量向量:(又称又称矢量矢量).既有既有大小大小,又有又有方向方向的量称为向量的量称为

18、向量有向线段有向线段 M1 M2,或或 a,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 本讲稿第二十一页，共三十三页1.向量的加法向量的加法三角形法则三角形法则:平行四边形法则平行四边形法则:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 本讲稿第二十二页，共三十三页2.向量的减法向量的减法机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第二十三页，共三十三页 在在18 18 世纪前半期，法国的世纪前半期，法国的克莱洛克莱洛（1713171317651765）和）和拉盖尔拉盖尔（1834188618341886）把解析几）把解析几何在空间展开何在空间展开他们把他们把空间的

19、点与三数组对应起来空间的点与三数组对应起来含三个变量的方程表示曲面；每个含三个变量含三个变量的方程表示曲面；每个含三个变量的一次方程表示一个平面；直线可作为两个平的一次方程表示一个平面；直线可作为两个平面的交线，面的交线，含有三个变量的一般二次方程可经含有三个变量的一般二次方程可经过坐标轴的平移和旋转化简成过坐标轴的平移和旋转化简成17 17 种标准方程，种标准方程，它们表示根本不同的它们表示根本不同的17 17 种类型的曲面种类型的曲面：有两：有两种椭圆面（实的和虚的），两种双曲面（单叶种椭圆面（实的和虚的），两种双曲面（单叶的和双叶的），两种抛物面（椭圆的和双曲的）的和双叶的），两种抛物面

20、（椭圆的和双曲的），两种二阶锥面（实的和虚的）以及，两种二阶锥面（实的和虚的）以及9 9 种柱面种柱面所有这些曲面，在力学、物理学和科学技术所有这些曲面，在力学、物理学和科学技术中都有它们的用场中都有它们的用场本讲稿第二十四页，共三十三页数形结合思想在解析几何中的应用数形结合思想在解析几何中的应用数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使来，使抽象思维抽象思维与与形象思维形象思维结合起来结合起来.数（式）数（式）形形“几何意义几何意义”观察形的变观察形的变化得出结论化得出结论本讲稿第二十五页，共三十三页横轴横轴纵轴纵轴竖轴竖轴

21、定点定点空间直角坐标系空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手三个坐标轴的正方向符合右手系系.空间直角坐标系空间直角坐标系本讲稿第二十六页，共三十三页面面面面面面空间直角坐标系共有八个卦限空间直角坐标系共有八个卦限本讲稿第二十七页，共三十三页坐标轴坐标轴:坐标面坐标面:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 本讲稿第二十八页，共三十三页空间两点间的距离空间两点间的距离本讲稿第二十九页，共三十三页球面方程为球面方程为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 本讲稿第三十页，共三十三页旋转曲面旋转曲面例如例如:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回

22、结束结束 本讲稿第三十一页，共三十三页 表示表示抛物柱面抛物柱面.椭圆柱面椭圆柱面.本讲稿第三十二页，共三十三页总结：总结：解析几何解析几何：近代数学本质上可以说是变量数学。：近代数学本质上可以说是变量数学。16世纪，世纪，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题。变量数对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题。变量数学的第一个里程碑就是解析几何的发明，其基本思想是在学的第一个里程碑就是解析几何的发明，其基本思想是在平面上引进平面上引进“坐标坐标”运算，点与实数对对应，方程与曲线运算，点与实数对对应，方程与曲线对应，将几何问题化为代数问题。解析几何的前驱是法国对应，将几何问题化为代数问题。解析几何的前驱是法国数学家奥雷斯姆（数学家奥雷斯姆（13231382），论形态幅度，解），论形态幅度，解析几何的真正发明者还要归功于法国另外两位数学家笛卡析几何的真正发明者还要归功于法国另外两位数学家笛卡儿合费马，他们出发点不同，但殊途同归。儿合费马，他们出发点不同，但殊途同归。本讲稿第三十三页，共三十三页