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1、量子力学 第十一章本讲稿第一页，共三十八页运动是没有原因的，但运动的改变是有原因的粒子的状态变化否？如何变化?一、问题的提出 粒子Hamiltonian 定态波函数设粒子处于定态 粒子受到微扰 的作用，二、状态变化与跃迁 时，要知道系统的状态，需求解含时间的薛定谔方程：本讲稿第二页，共三十八页完备一般不能通过时空变量分离来求解可见，在微扰作用下，粒子从纯态 变化到叠加态，即粒子在t 时刻处于 ，粒子在t时刻可能处于态 ，或 ，或 对应的几率 ，或者说，粒子从 跃迁到 ，跃迁几率 ，瞬时本征值和本征态本讲稿第三页，共三十八页将 的展开式代入 方程 Schr dinger三、解Schr dinge
2、r方程转化为求 方程左乘 后做全空间积分其中记 本讲稿第四页，共三十八页与薛定谔方程等价 采用微扰法的思想逐次逼近来求解。四、的近似求解1.零级近似零级近似是 的本征解。为后面叙述方便，称其为方程(A)本讲稿第五页，共三十八页2.一级近似将零级近似 代入(A)的右边 的一级近似：其中一级修正为：本讲稿第六页，共三十八页3.二级近似得二级近似：其中二级修正：将一级近似 代入(A)的右边本讲稿第七页，共三十八页五、跃迁几率与跃迁速率一级近似下 在 作用下，粒子由纯态 变化为 其中处于 的几率 。跃迁几率：跃迁速率:本讲稿第八页，共三十八页11.2 常微扰 黄金规则一、常微扰作用下的跃迁几率和跃迁速
3、率跃迁几率常微扰本讲稿第九页，共三十八页随着t的增大，曲线迅速变窄增高，疑似函数本讲稿第十页，共三十八页在常微扰作用下，只有当末态能量 (初态能量)的情况下，才有可观的跃迁发生。跃迁速率具有连续能谱的粒子的弹性散射属于这种情况。是常微扰作用下体系能量守恒的反映。本讲稿第十一页，共三十八页二、费米黄金规则隔为 内的末态的跃迁速率：初态时受常微扰作用跃迁到能量间总的跃迁速率 态密度：单位能量间隔内的状态数费米黄金规则 跃迁几率与态密度成正比。本讲稿第十二页，共三十八页11.3周期微扰 共振吸收与共振发射一、周期微扰例如跃迁几率 比如单色光本讲稿第十三页，共三十八页1.共振吸收（受激吸收）2.共振发
4、射（受激发射）二、共振跃迁 时，。若 ，则末态能量大于初态能量 时，。若 ，则末态能量小于初态能量本讲稿第十四页，共三十八页3.共振跃迁速率对于共振跃迁 ，共振吸收和共振发射几率相等。+：共振发射-：共振吸收微扰频率合适，可引起共振吸收或发射。本讲稿第十五页，共三十八页1.单色线偏振光入射三、光照引起的原子跃迁入射方向：z，偏振方向：x，光频：电场强度：于是 ，其中i.微扰哈密顿的电偶极近似本讲稿第十六页，共三十八页入射方向：z，偏振方向：x，内的光引起的跃迁几率ii.共振跃迁速率能量密度:2.光谱强度为 的多色线偏光入射连续频谱的光本讲稿第十七页，共三十八页 若偏振方向在空间各个方向上出现的
5、机会相等3.光谱强度为 的多色非偏光入射跃迁快慢与入射光中角频率为 的光强度 成正比。若无此频率成分，则不能发生跃迁本讲稿第十八页，共三十八页1.宇称选择定则四、选择定则 跃迁几率还与矩阵元 成正比。若此矩阵元为零，则 的跃迁几率为零,。是不可能发生的跃迁，称为禁戒跃迁。由于原子的定态波函数中包含球谐函数，所以 取决于下列积分 的条件电偶极近似的选择定则.?因为 是奇宇称算符，所以跃迁前后宇称改变。初态：末态：本讲稿第十九页，共三十八页2.角动量选择定则利用 和得 的条件：利用 和得 ，的条件：所以，的条件为本讲稿第二十页，共三十八页1.细致平衡原理一、细致平衡原理与玻尔兹曼分布11.4 原子
6、的自发辐射 黑体辐射系统a.腔壁原子b.辐射场可分为两个子系统：原子通过吸收发射光子与辐射场交换能量。本讲稿第二十一页，共三十八页吸收光子的原子数目=发射光子的原子数目2.玻尔兹曼分布 原子系统与辐射场达到动态平衡。：玻尔兹曼常数本讲稿第二十二页，共三十八页1.受激发射系数和受激吸收系数 二、自发辐射的爱因斯坦理论设 为高能级，为低能级。在光谱强度为 的光照射下受激发射速率：受激吸收速率：定义受激发射系数受激吸收系数本讲稿第二十三页，共三十八页2.受激发射原子数小于受激吸收原子数3.自发辐射(自发发射)爱因斯坦认为：原子存在一种自发的从上能级到下能级的跃迁机制，称为自发辐射。按细致平衡原理，两
7、者应相等！显然 自发辐射的跃迁速率 (又叫自发辐射系数)不依赖于外界辐射场。本讲稿第二十四页，共三十八页利用玻尔兹曼分布与黑体辐射公式 比较本讲稿第二十五页，共三十八页3.自发辐射与受激跃迁有同样的选择定则。1.自发辐射不依赖于外场。4.非平衡时，爱因斯坦系数间的关系仍成立。三、讨论5.在初等量子力学中无法解释自发辐射现象。如无外界作用，处于定态的原子不会跃迁到低能级。2.处于激发态的粒子具有一定寿命。本讲稿第二十六页，共三十八页 不同原子的自发辐射之间无关联，辐射光之间也没有确定的位相关系，因此普通光源发出的光不相干。自发辐射速率远大于受激发射速率！6.普通光源发出的光主要来自于自发辐射。太
8、阳：不妨取 ，本讲稿第二十七页，共三十八页 若有许多原子都处于某一激发能级，则某一原子的自发辐射放出的光子，可以促使其它原子发生受激辐射，而放出相同的光子。8.辐射的受激发射光放大(Laser)7.受激发射光子是入射光子的克隆。受激发射产生的光与外界激励光具有完全相同的性质，包括频率、偏振方向和相位。Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation 这一过程以连锁反应方式在很短时间内完成。可以得到大量同一状态的光子出射，产生单色性和相干性都很好的高强度光。本讲稿第二十八页，共三十八页11.5 能量时间不确定关系此关系的含义：若两力学
9、量算符不对易，则该两力学量不会同时有确定值。一、一个关系式的推导及其分析1.力学量的不确定度关系 此关系对任意两力学量在任何态下都成立。本讲稿第二十九页，共三十八页这就是能量时间不确定关系。由不确定度关系得：2.取 ,可导出Schr dinger方程，对于任意状态波函数都成立于是想：为什么？本讲稿第三十页，共三十八页 尽管上述推导得出了量子力学中的一个重要关系，但推导的根据有错误！i.时间t 是力学量？3.上述推导过程的分析 若时间t是力学量，那末任一确定时刻测量力学量t，不一定能够得到确定值，可能的测值是 任一确定时刻测量力学量A，不一定能够得到确定值，可能的测值是 逻辑上矛盾。时间t不是力
10、学量！本讲稿第三十一页，共三十八页薛定谔方程是描述状态演化的动力学规律。ii.？任何状态波函数的演化，必须满足薛定谔方程。而对于任意的函数，薛定谔方程并不一定成立。在2的推导中，是根据薛定谔方程得出 但薛定谔方程不是恒等式，不能得出 而两算符相等是指这个算符作用在任意函数的结果相同。本讲稿第三十二页，共三十八页1.几个特例二、能量时间不确定关系i.粒子处于状态非定态其中 ，随时间周期变化，其它力学量也有同样的变化周期，。记是能量不确定度本讲稿第三十三页，共三十八页ii.设自由粒子状态用一个波包来描述，波包宽度 ,群速度为v,相应于经典粒子的运动速度。波包掠过空间某点所需时间 此波包所描述粒子的
11、 ，因此，能量不确定度所以，iii.处于激发态的原子，通过自发辐射跃迁到基态，寿命为 ，其能量不确定度 ，称为能级宽度。本讲稿第三十四页，共三十八页测量自发辐射光子能量可得激发态能量。因而，光子能量(E=cp)的不确定度，自发辐射光子相应的辐射波列的长度光子的动量不确定度 ，iv.光照作用下氢原子的电离从束缚基态跃迁到自由粒子态，跃迁几率本讲稿第三十五页，共三十八页以 为中心左右宽度为 的范围内。末态能量 集中在末态能量不确定度t为微扰时间，改用 表示本讲稿第三十六页，共三十八页2.能量-时间不确定度关系的普遍描述设体系Hamiltonian为 ，A为另一力学量，则有 及于是 或 令 则得 改变 所需的时间在该给定状态下，每个力学量A都有一个 ，取 ，有本讲稿第三十七页，共三十八页状态性质有明显改变所需要的时间间隔，或变化的周期 状态能量的不确定度 该状态的特征时间或写成本讲稿第三十八页，共三十八页