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1、,2010年部分省市中考数学试题分类汇编 压轴题(四)23(安徽省)如图，已知，相似比为k（k1），且的三边长分别为a、b、c（abc），的三边长分别为、.（1）若c=a1，求证：a=kc；证（2）若c=a1，试给出符合条件的一对，使得a、b、c和、都是正整数，并加以说明；解（3）若b=a1，c=b1，是否存在使得k=2？请说明理由.解第23题图解:（1）证：，且相似比为又（3分）（2）解：取（8分）此时且（10分）注：本题也是开放型的，只要给出的和符合要求就相应赋分.（3）解：不存在这样的和.理由如下：若则又，（12分），而故不存在这样的和，使得（14分）注：本题不要求学生严格按反证法的证明
2、格式推理，只要能说明在题设要求下的情况不可能即可.24（芜湖市 本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为A（0，1）、B（3，1）、C（3，0）、O（0，0）将此矩形沿着过E（，1）、F（，0）的直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B、C（1）求折痕所在直线EF的解析式；（2）一抛物线经过B、E、B三点，求此二次函数解析式；（3）能否在直线EF上求一点P，使得PBC周长最小？如能，求出点P的坐标；若不能，说明理由解：（2）设矩形沿直线向右下方翻折后，、的对应点为.，.此时需说明.6分设二次函数解析式为：抛物线经过、.得到解得.9分（3）能，可以在直线上找到点
3、，连接.由于、在一条直线上，故的和最小，由于为定长，所以满足周长最小.10分设直线的解析式为：.12分.14分注：对于以上各大题的不同解法，解答正确可参照评分！26.( 重庆市綦江县) 已知：抛物线y=ax2+bx+c(a0)的图象经过点B(12,0)和C(0，-6），对称轴为x=2.(1)求该抛物线的解析式；(2)点D在线段AB上且AD=AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；(3)在（2）的结
4、论下，直线x=1上是否存在点M，使MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在请说明理由.解：方法一：抛物线过C(0,-6)c=6, 即y=ax2+bx6由 解得：a= ,b=该抛物线的解析式为y=x2x6 -3分方法二：A、B关于x=2对称A（8，0） 设y=a(x8)(x12) C在抛物线上 6=a8(12) 即a=该抛物线的解析式为：y=x2x6 -3分（2）存在，设直线CD垂直平分PQ, 在RtAOC中，AC=10=AD点D在对称轴上，连结DQ 显然PDC=QDC，-4分由已知PDC=ACDQDC=ACD DQAC -5分DB=ABAD=20-10=10DQ为ABC的中位
5、线 DQ=AC=5 -6分AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5t=51=5(秒) 存在t=5(秒)时，线段PQ被直线CD垂直平分-7分在RtBOC中, BC=6 CQ=3 点Q的运动速度为每秒单位长度.-8分（3）存在 过点Q作QHx轴于H，则QH=3，PH=9在RtPQH中，PQ=3 -9分当MP=MQ，即M为顶点，设直线CD的直线方程为：y=kx+b(k0),则： 解得：y=3x-6当x=1时，y=3 M1(1, 3) -10分当PQ为等腰MPQ的腰时，且P为顶点.设直线x=1上存在点M(1,y) ,由勾股定理得：42+y2=90 即y=M2（1，） M3（1，） -11分当PQ为等
6、腰MPQ的腰时，且Q为顶点.过点Q作QEy轴于E，交直线x=1于F，则F(1, 3)设直线x=1存在点M(1,y), 由勾股定理得：(y3)2+52=90 即y=3M4(1, 3) M5(1, 3) -12分综上所述：存在这样的五点：M1(1, 3), M2（1，）, M3（1，）, M4(1, 3),M5(1, 3).25（山东省滨州市 本题满分l0分）如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0，），以点C为顶点的抛物线恰好经过轴上A、B两点（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（3）若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并
7、指出平移了多少个单位?解：由抛物线的对称性可知AM=BM在RtAOD和RtBMC中，OD=MC，AD=BC，AODBMCOA=MB=MAl分设菱形的边长为2m，在RtAOD中，解得m=1 DC=2，OA=1，OB=3A、B、C三点的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（2，） 4分设抛物线的解析式为y=（2）2+ 代入A点坐标可得=抛物线的解析式为y=（2）2+7分设抛物线的解析式为y=（一2）2+k代入D（0，）可得k=5 所以平移后的抛物线的解析式为y=（一2）2+59分平移了5一=4个单位l0分 26.（山东省烟台市 本题满分14分）如图，已知抛物线y=x2+bx3a过点A（1，0），B（
8、0，3），与x轴交于另一点C.（1）求抛物线的解析式；（2）若在第三象限的抛物线上存在点P，使PBC为以点B为直角顶点的直角三角形，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点Q，使以P，Q，B，C为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）把A（1，0），B（0，3）代入y=x2+bx3a中，得1+b3a=0 3a=3 a=1解得b=2抛物线的解析式为y=x2+2x34分（2）令y=0，得x2+2x3=0，解得x1=3，x2=1点C（3，0）5分B（0，3）BOC为等腰直角三角形.CBO=456分过点P作PDy轴，垂足为D，PBBC，P
9、BD=45PD=BD8分所以可设点P（x，3+x）则有3+x=x2+2x3，x=1，所以P点坐标为（1，4）10分（3）由（2）知，BCBP当BP为直角梯形一底时，由图象可知点Q不可能在抛物线上.若BC为直角梯形一底，BP为直角梯形腰时，B（0，3），C（3，0），直线BC的解析式为y=x311分直线PQBC，且P（1，4），直线PQ的解析式为y=（x+1）31即y=x512分 y=x5联立方程组得 y=x2+2x3解得x1=1，x2=213分x=2，y=3，即点Q（2，3）符合条件的点Q的坐标为（2，3）14分28(四川省成都市)在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交
10、于点，点的坐标为，若将经过两点的直线沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线（1）求直线及抛物线的函数表达式；（2）如果P是线段上一点，设、的面积分别为、，且，求点P的坐标；（3）设的半径为l，圆心在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由并探究：若设Q的半径为，圆心在抛物线上运动，则当取何值时，Q与两坐轴同时相切？解：（1）沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点， ，。 将 代入，得。解得。 直线AC的函数表达式为。 抛物线的对称轴是直线解得抛物线的函数表达式为。（2）如图，过点B作BDAC于点D。 ， 。过点P作PE
11、x轴于点E，PECO，APEACO，解得点P的坐标为（3）（）假设Q在运动过程中，存在与坐标轴相切的情况。 设点Q的坐标为。 当Q与y轴相切时，有，即。当时，得，当时，得， 当Q与x轴相切时，有，即当时，得，即，解得，当时，得，即，解得，。综上所述，存在符合条件的Q，其圆心Q的坐标分别为，。（）设点Q的坐标为。当Q与两坐标轴同时相切时，有。由，得，即，=此方程无解。由，得，即，解得当Q的半径时，Q与两坐标轴同时相切。8(四川省泸州市本题满分l2分) 已二次函数及一次函数. (l)求该二次函数图象的顶点坐标以及它与轴的交点坐标； (2)将该二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部
12、分不变，得到一个新图象，请你在图10中画出这个新图象，并求出新图象与直线有三个不同公共点时的值： (3)当时，函数的图象与轴有两个不同公共点，求的取值范围解：（1）二次函数图象的顶点坐标为，与轴的交点坐标为 (2)当直线位于时，此时过点, ，即。当直线位于时，此时与函数的图象有一个公共点。方程有一根，即当时，满足，由知，或。（3）当时，函数的图象与x轴有两个不同交点，应同时满足下列三方面的条件：方程的判别式=，抛物线的对称轴满足，当时，函数值，当时，函数值即，解得。当时，函数图象（）的图象与轴有两个不同公共点26(重庆市江津区)如图，抛物线与轴交于两点A（1，0），B（1，0），与轴交于点C(
13、1)求抛物线的解析式；(2)过点B作BDCA与抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积；(3)在轴下方的抛物线上是否存在一点M，过M作MN轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）把A B代入得：解得：3分（2）令，得 4分OA=OB=OC= BAC=ACO=BCO=ABC =BDCA， ABD=BAC 过点D作DE轴于E，则BDE为等腰直角三角形令 ，则 点D在抛物线上 解得，（不合题意，舍去） DE=(说明：先求出直线BD的解析式，再用两个解析式联立求解得到点D的坐标也可)四边形ACBD的面积=ABOC +ABDE7分（说明：
14、也可直接求直角梯形ACBD的面积为4）(3)存在这样的点M8分ABC=ABD= DBC=MN轴于点N， ANM=DBC =在RtBOC中，OB=OC= 有BC=在RtDBE中，BE=DE= 有BD= 设M点的横坐标为，则M 点M在轴左侧时，则() 当AMN CDB时，有即 解得：（舍去） 则() 当AMN DCB时，有即 解得（舍去） （舍去）10分 点M在轴右侧时，则 () 当AMN DCB时，有 解得（舍去） () 当AMN CDB时，有 即 解得：（舍去） M点的坐标为12分25（黄冈市15分）已知抛物线顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，连F
15、M（如图）.（1）求字母a，b，c的值；（2）在直线x1上有一点，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时PFM为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PMPN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由.解：（1）a1，b2，c0（2）过P作直线x=1的垂线，可求P的纵坐标为，横坐标为.此时，MPMFPF1，故MPF为正三角形.（3）不存在.因为当t，x1时，PM与PN不可能相等，同理，当t，x1时，PM与PN不可能相等.26.( 湖南常德市)如图10，若四边形ABCD、四边形CFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AGCE.(1)当正方形GF
16、ED绕D旋转到如图11的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.(2)当正方形GFED绕D旋转到如图12的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M.求证：AGCH;当AD=4，DG=时，求CH的长。ABCDEF图10GAD图11FEBCGADBCEFHM图12ABCDEFG图11解：（1）成立四边形、四边形是正方形，1分. 90-.2分BACDEFG12图12HPM. .3分 （2）类似（1）可得， 124分 又. . 即5分 解法一: 过作于,由题意有,，则1.6分而12，21.，即.7分在Rt中，,8分 而, 即,.9分再连接，显然有,. 所求的长为.10分BA
17、CDEFG12图12HPM解法二：研究四边形ACDG的面积过作于, 由题意有,.8分而以CD为底边的三角形CDG的高=PD=1,41+44=CH+4 1.=.10分注：本题算法较多，请参照此标准给分.25(上海市)如图9，在RtABC中，ACB90.半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.（1）当B30时，连结AP，若AEP与BDP相似，求CE的长；（2）若CE=2，BD=BC，求BPD的正切值；（3）若，设CE=x，ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.图9 图10(备用) 图11(备用)解：（1）B30ACB90BAC60AD=
18、AE AED60=CEPEPC30三角形BDP为等腰三角形AEP与BDP相似EAP=EPA=DBP=DPB=30AE=EP=1在RTECP中，EC=EP=（2）过点D作DQAC于点Q，且设AQ=a，BD=xAE=1,EC=2QC=3aACB90ADQ与ABC相似即，在RTADQ中解之得x=4，即BC=4过点C作CF/DPADE与AFC相似， ，即AF=AC，即DF=EC=2, BF=DF=2BFC与BDP相似，即：BC=CP=4tanBPD=(3)过D点作DQAC于点Q，则DQE与PCE相似,设AQ=a，则QE=1a且在RtADQ中，据勾股定理得：即：，解之得ADQ与ABC相似三角形ABC的周
19、长即：，其中x022.（福州市 满分14分）如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线上，过点B作轴的垂线，垂足为A，OA=5。若抛物线过点O、A两点。（1）求该抛物线的解析式；（2）若A点关于直线的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，O1是以BC为直径的圆。过原点O作O1的切线OP，P为切点（P与点C不重合），抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与O1相切？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由。解：（1）把、分别代入，得 解得 3分该抛物线的解析式为 4分（2）点在该抛物线上 5分理由：过点作轴于点,连结，设与相交于点点在直线上，点、
20、关于直线对称， ,，,又轴，由勾股定理得， ，又， , 8分当时，点在抛物线上 9分（3）抛物线上存在点，使得以为直径的圆与相切过点作轴于点；连结；过点作轴于点，点是的中点，由平行线分线段成比例定理得，同理可得：点的坐标为 10分，为的切线又为的切线，四边形为正方形又，,12分设直线的解析式为把、分别代入，得 解得， 直线的解析式为 若以为直径的圆与相切，则点为直线与抛物线的交点可设点的坐标为 ，则有，整理得，解得点的横坐标为或14分24(日照市 本题满分10分)如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交AC与E，交BC与D求证：（1）D是BC的中点；（2）BECADC；（3）BC2=2
21、ABCE解：（1）证明：AB是O的直径，ADB=90 ，即AD是底边BC上的高 1分又AB=AC，ABC是等腰三角形， D是BC的中点； 3分 (2) 证明：CBE与CAD是同弧所对的圆周角， CBE=CAD5分 又 BCE=ACD， BECADC；6分（3）证明：由BECADC，知，即CDBC=ACCE 8分D是BC的中点，CD=BC 又 AB=AC，CDBC=ACCE=BC BC=ABCE即BC=2ABCE10分27(四川省凉山州)已知：抛物线，顶点C（1，-4），与x轴交于A、B两点，A（-1，0） （1）求这条抛物线的解析式； （2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线的
22、对称轴交于E，依次连接A、D、B、E，点Q为AB上一个动点（Q与A、B两点不重合），过点Q作QFAE于F，QGDB于G，请判断 是否为定值，若是，请求出此定值，若不是，请说明理由； （3）在（2）的条件下，若点H是线段EQ上一点，过点H作MNEQ，MN分别与边AE、BE相交于M、N（M与A、E不重合，N与E、B不重合），请判断 是否成立，若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由（第27题）解：（1）设抛物线解析式为 1分 将A（-1，0）带入 得 2分即3分 （2） 是定值14分 AB是直径 AEB=90 QFAEQFBE 同理可得 5分 为固定值1.6分 （3） 成立7分直线EC为抛物线对称轴 EC垂直平分AB AE=EB FAQ=45 AF=FQ8分QFBE 9分MNEQQEF=MNE又QFE=MEN=90 QEFMNE 10分 11分