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1、第五章一阶电路的瞬态分析第1页，共116页，编辑于2022年，星期三（2 2）对于存在电容和电感的电路，电容元件的电压对于存在电容和电感的电路，电容元件的电压（电荷）和电感元件的电流（磁链）变化一般需要时（电荷）和电感元件的电流（磁链）变化一般需要时间。（过渡过程时间）。间。（过渡过程时间）。例例：如如果果电电容容原原来来不不带带电电，在在开开关关闭闭合合时时，电电容容电电压压从从0 0变为变为 。电容电流。电容电流若电容电压能若电容电压能“瞬间瞬间”从从0 0升到升到 ，则必需有，则必需有:电容电压上升需要时间！电容电压上升需要时间！第2页，共116页，编辑于2022年，星期三例：原来电感例
2、：原来电感，K K闭合稳态时闭合稳态时若电感电流若电感电流能能“瞬时瞬时”从从0 0升到升到则需一个无穷大端电压。则需一个无穷大端电压。电感电流上升需要时间！电感电流上升需要时间！第3页，共116页，编辑于2022年，星期三过渡过程分析方法：过渡过程分析方法：1.1.经典法经典法2.2.拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法3.3.状态变量法状态变量法4.4.积分法积分法第4页，共116页，编辑于2022年，星期三由由KCLKCL、KVLKVL及元件电压电流关系（及元件电压电流关系（）列出电路方程，然后解出微分方程。）列出电路方程，然后解出微分方程。例：例：经典法解过渡过程经典法解过渡过程一阶微分方程一
3、阶微分方程若若Us(t)=UsUs(t)=Us第5页，共116页，编辑于2022年，星期三从方程解出电容电压从方程解出电容电压的一般解的一般解(一阶微分方程解一阶微分方程解)再由初始条件确定各系数。再由初始条件确定各系数。第6页，共116页，编辑于2022年，星期三第二节第二节 换路定则与初始条件换路定则与初始条件 1.1.换路法则：（一般情况）换路法则：（一般情况）（1 1）电容电压在换路前后的值不变）电容电压在换路前后的值不变由由 当当 ，而，而 为有限值，则有为有限值，则有 第7页，共116页，编辑于2022年，星期三（2 2）电感电流在换路前后的值不变）电感电流在换路前后的值不变由由当
4、当 而而 为有限值时，则有为有限值时，则有 。第8页，共116页，编辑于2022年，星期三例例：图示电路，开关闭合已久。求开：图示电路，开关闭合已久。求开关关打开瞬间打开瞬间电容电压电流电容电压电流电感电压电流电感电压电流，电阻电压电阻电压。由换路定则，由换路定则，解：开关闭合时的电容电压解：开关闭合时的电容电压与电感电流与电感电流为为利用换路定则计算换路后利用换路定则计算换路后瞬间电路状态瞬间电路状态第9页，共116页，编辑于2022年，星期三等效电路如图，等效电路如图，得：得：电感等效于一电流源电感等效于一电流源 因此计算因此计算电路时，电容等效于一电压源电路时，电容等效于一电压源，第10
5、页，共116页，编辑于2022年，星期三例例：图示电路图示电路，开关闭合已久，开关闭合已久，求开关打开瞬间电阻求开关打开瞬间电阻R1上的电流上的电流解：开关闭合时有解：开关闭合时有开关打开后等效电路如图开关打开后等效电路如图由换路定可知：由换路定可知：第11页，共116页，编辑于2022年，星期三可以看到：可以看到：换路前后瞬间换路前后瞬间连续；连续；和和和和不连续不连续。的导数和的导数和在换路前后都是在换路前后都是不连续的不连续的的导数的导数因此：因此：第12页，共116页，编辑于2022年，星期三第三节第三节 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应零输入响应：当换路后的电路无外加激励源，
6、仅由储能元件的初始储能引起的响应利用一阶微分方程描述的电路称为一阶电路第13页，共116页，编辑于2022年，星期三开关合向右边后，电路方程建开关合向右边后，电路方程建立：（立：（KVL）得：得：电路为一阶微分方程，故又称为一阶电路，初始条件：电路为一阶微分方程，故又称为一阶电路，初始条件：一、一、RCRC电路零输入响应电路零输入响应特征方程：特征方程：RCS+1=0一阶线性常系数齐次微分方程一阶线性常系数齐次微分方程第14页，共116页，编辑于2022年，星期三电路方程解：电路方程解：式中：式中：为电路时间常数，单位为秒。为电路时间常数，单位为秒。由初始条件由初始条件得得电容电压响应（变化规
7、律）：电容电压响应（变化规律）：电压波形为电压波形为第15页，共116页，编辑于2022年，星期三负号表示实际的电容放电电流方向与假设的参考方向相负号表示实际的电容放电电流方向与假设的参考方向相反反响应与电源（激励）无关响应与电源（激励）无关，又叫又叫自由响应（自由响应（natural response)暂态响应（暂态响应（transient response）第16页，共116页，编辑于2022年，星期三零输入响应特点：零输入响应特点：（a）零输入响应是初始值的线性函数，满足零输入响应是初始值的线性函数，满足齐次性，可加性齐次性，可加性U0：KU0：U01+U02：第17页，共116页，编辑
8、于2022年，星期三（b)b)能量传输能量传输 t=0 t=0 电容能量：电容能量：电阻消耗能量：电阻消耗能量：电容上的能量完全被电阻消耗掉电容上的能量完全被电阻消耗掉第18页，共116页，编辑于2022年，星期三反映了电容电压下降为反映了电容电压下降为原值原值0.368时所需时间。时所需时间。（c）时间常数时间常数（Time constantTime constant）反映电路达到稳态所需要的时间反映电路达到稳态所需要的时间 t 0+2 3 4 5 uC U0 0.368U0 0.135U0 0.050U0 0.018U0 0.007U0 04 5 时间，电路达到稳定时间，电路达到稳定.改变
9、电阻会改变电容电压的下降速度改变电阻会改变电容电压的下降速度利用利用RCRC电路可做成简易延时电路电路可做成简易延时电路第19页，共116页，编辑于2022年，星期三（d d）时间常数的计算：）时间常数的计算：确定时间常数需简化电路为确定时间常数需简化电路为R-CR-C形式。形式。电容以外的电路电容以外的电路去掉独立电源后去掉独立电源后简化为一个等效电简化为一个等效电阻。阻。（无源网络简化）（无源网络简化）=ReqCeqReq=R1+R2/R3 Ceq=C1/(C2+C3)第20页，共116页，编辑于2022年，星期三 u1(t1)=uC(t1)次切线法次切线法tangent at P第21页
10、，共116页，编辑于2022年，星期三例例1：如如图图所示所示为换为换路后的路后的电电路，其中路，其中 求零输入响应求零输入响应解：在外围电路中应用解：在外围电路中应用KVL，可得，可得于是于是 可得等效电阻为：可得等效电阻为：时间常数为时间常数为：零输入响应为：零输入响应为：第22页，共116页，编辑于2022年，星期三例例2：K闭闭合合前前电电路路处处稳稳态态，R1=1，R2=2，R3=3，C1=1F，C2=2F，IS=1A，t=0时时K闭合，求闭合，求t0时时uC1、uC2、i1、i2、i。C1R1i1Isii2R2KR3C2+uC1+uC2 第23页，共116页，编辑于2022年，星期
11、三1=R1C1=1s，uC 1(0+)=uC 1(0)=5VR1IsR2R3+uC1+uC2 t=0 uC 1(0)=(R2+R3)IS=5V，uC2(0)=R3IS=3VC1+uC1 i1R1解：解：第24页，共116页，编辑于2022年，星期三R=R2/R3=1.2 2=RC2=2.4suC 2(0+)=uC 2(0)=3VC2+uC2 i2R3R2C1R1i1Isii2R2KR3C2+uC1+uC2 第25页，共116页，编辑于2022年，星期三为时间常数，为时间常数，初始条件初始条件方程解方程解由初始条件解得由初始条件解得:二、二、RL RL电路的零输入响应电路的零输入响应 开关合向下
12、后可建立方程：开关合向下后可建立方程：一阶线性常系数齐次微分方程一阶线性常系数齐次微分方程指数规律衰减，最终衰减至零指数规律衰减，最终衰减至零第26页，共116页，编辑于2022年，星期三 对应的电阻电压：对应的电阻电压：电感电压：电感电压：与与RC电电路中的路中的时间时间常数一常数一样样，它反映了它反映了过过渡渡过过程程进进程的快慢程的快慢 第27页，共116页，编辑于2022年，星期三（1 1）RLRL电路零输入响应与电路零输入响应与RCRC电路一样是初始值的电路一样是初始值的线性函数，满足线性函数，满足齐次性，可加性齐次性，可加性（2 2）在整个过渡过程中，电阻上消耗的总能量为：）在整个
13、过渡过程中，电阻上消耗的总能量为：电阻上消耗的能量就等于电感电阻上消耗的能量就等于电感L L上的初始储能上的初始储能 第28页，共116页，编辑于2022年，星期三第四节第四节 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应零状态响应：零状态响应：当所有的储能元件均没有初始储能，当所有的储能元件均没有初始储能，即电路处于零初始状态情况下，外加激励在电路中即电路处于零初始状态情况下，外加激励在电路中产生的响应。产生的响应。电路状态是电路状态是指电路储能元件的状态（电压、电流值）。指电路储能元件的状态（电压、电流值）。电路响应由外加激励引起：电路响应由外加激励引起：零状态响应。零状态响应。第29页，共1
14、16页，编辑于2022年，星期三一、直流激励下一、直流激励下RCRC串联串联 电路的零状态响应电路的零状态响应电路中电容电压初始值为零电路中电容电压初始值为零式中式中一阶线性常系数一阶线性常系数非齐次非齐次微分方程微分方程特解特解：齐次方程的通解：齐次方程的通解：全解为：全解为：第30页，共116页，编辑于2022年，星期三强制响应强制响应(forced response)或稳态响应或稳态响应(steady-state response)自由响应或暂态响应（自由响应或暂态响应（transient response）第31页，共116页，编辑于2022年，星期三 （b）充电过程电阻耗能：充电过程
15、电阻耗能：电容最终储能：电容最终储能：充电过程有一半能量消耗在电阻。充电过程有一半能量消耗在电阻。（a）零状态响应与电源（激励）成正比）零状态响应与电源（激励）成正比第32页，共116页，编辑于2022年，星期三（c）Time constant =RCtangent at Pu1=k(tt1)+uP4 5 电路达到稳态电路达到稳态第33页，共116页，编辑于2022年，星期三解解：0t0时的时的uC。k=2iSR1R2C+uC(1)图图(b)iSKR1R2C+uC 第34页，共116页，编辑于2022年，星期三t6s：2=RC=2s第35页，共116页，编辑于2022年，星期三二、直流激励下R
16、L串联电路的零状态响应一阶线性常系数一阶线性常系数非齐次非齐次微分方程微分方程方程的全解是其特解和齐次方程的通解之和方程的全解是其特解和齐次方程的通解之和特解对应的分量为特解对应的分量为强迫分量强迫分量，此处的激励是直流，此处的激励是直流电源，强迫分量即稳态分量。电源，强迫分量即稳态分量。通解为：通解为：第36页，共116页，编辑于2022年，星期三第37页，共116页，编辑于2022年，星期三例例：图图示示电电路路 t=0开关开关S闭合，求零状态响应：闭合，求零状态响应：解：解：第38页，共116页，编辑于2022年，星期三三、正弦交流激励下三、正弦交流激励下RLRL串联电路的零状态响应串联
17、电路的零状态响应激励为正弦交流电压源：激励为正弦交流电压源：初始条件仍为：初始条件仍为：设该特解：设该特解：代入微分方程可得：代入微分方程可得：令令:有有:式（式（1）第39页，共116页，编辑于2022年，星期三令令:式（式（1）左边可改写为：）左边可改写为：则：则：特解为：特解为：全解为：全解为：第40页，共116页，编辑于2022年，星期三从上述求解过程可以看出，正弦信号激励下的电路求解过程比从上述求解过程可以看出，正弦信号激励下的电路求解过程比较繁琐。可采用后述的较繁琐。可采用后述的“相量法相量法”，简化计算过程。，简化计算过程。第41页，共116页，编辑于2022年，星期三第五节第五
18、节 一阶电路的全响应和三要素法一阶电路的全响应和三要素法由外施激励和储能元件的初始储能共同引起的响应，称为全响应。全响应即意味着微分方程的全解，是方程的特解与其齐次方程的通解之和。第42页，共116页，编辑于2022年，星期三开关开关S处位置处位置1已久已久在开关在开关S切换后：切换后：通解为：通解为：全响应：全响应：零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应全响应全响应=零输入响应零输入响应+零状态响应零状态响应第43页，共116页，编辑于2022年，星期三电路全响应电路全响应 =通解通解 特解特解=零输入响应零输入响应 +零状态响应零状态响应暂态分量暂态分量（自由响应）（自由响应）+稳态分量
19、稳态分量（强制响应）（强制响应）稳态分量形式与激励源相同，对应方程的特解，稳态分量形式与激励源相同，对应方程的特解，暂态分量形式暂态分量形式 决定于电路结构参数。决定于电路结构参数。说明：外施激励为说明：外施激励为直流源或者正弦交流电源直流源或者正弦交流电源时，强迫响应时，强迫响应也分别为恒定值或者正弦函数，这时的强迫分量就是也分别为恒定值或者正弦函数，这时的强迫分量就是稳态分量。稳态分量。如果激励是一个如果激励是一个指数函数指数函数，例如，例如e e指数函数时，强迫响应指数函数时，强迫响应就是一个相同变化规律的指数函数，就是一个相同变化规律的指数函数，此时强迫响应就不此时强迫响应就不能称为稳
20、态分量。能称为稳态分量。第44页，共116页，编辑于2022年，星期三一阶电路的三要素法一阶电路的三要素法（公式法）：（公式法）：电路响应（解）一般形式电路响应（解）一般形式由初始条件由初始条件可解出可解出有：有：由上式可直接写出电路响应，只要知道三个要素：由上式可直接写出电路响应，只要知道三个要素：（1）稳态解；（）稳态解；（2）初始值；（）初始值；（3）时间常数）时间常数第45页，共116页，编辑于2022年，星期三例例1求求K闭合后闭合后 解：由三要素公式解：由三要素公式得：得：已知已知第46页，共116页，编辑于2022年，星期三例例2：求：求：K闭合后闭合后 。的稳态值可用的稳态值可
21、用相量法相量法求出。求出。（a）第47页，共116页，编辑于2022年，星期三（b）时间常数）时间常数:确定时间常数需简化电路为确定时间常数需简化电路为R-C形式。形式。电容以外的电路去掉独立电源后简化为一个等效电容以外的电路去掉独立电源后简化为一个等效 电阻。（无源网络简化）电阻。（无源网络简化）故故电容电压：电容电压：（c）初始值：）初始值：第48页，共116页，编辑于2022年，星期三例例3:求求K闭合后闭合后 。解：解：注意：注意：除电容电压和电感电流外，其它除电容电压和电感电流外，其它量换路前后一般不相等。量换路前后一般不相等。求求：由：由时电路状态来计算。时电路状态来计算。得：得：
22、第49页，共116页，编辑于2022年，星期三例例4：如图电路，：如图电路，R=1，C=1F，IS=1A，=0.5，电路已达稳态。求，电路已达稳态。求当当 突变为突变为1.5后的电容电压。后的电容电压。解：用三要素法求解解：用三要素法求解（1）电容电压初始值电容电压初始值（2）电容电压稳态值电容电压稳态值第50页，共116页，编辑于2022年，星期三（3）时间常数）时间常数(a)(b)图图(b)电路的入端电阻电路的入端电阻图图(a)电路的入端电阻电路的入端电阻电容电压为电容电压为R第51页，共116页，编辑于2022年，星期三例例5（指数激励），（指数激励），注意注意:三要素法应用于直流或正弦
23、电源激励电三要素法应用于直流或正弦电源激励电路，其余激励源一般需解非齐次方程。路，其余激励源一般需解非齐次方程。求求K(t=0时时)闭合后的闭合后的。，通解，通解，特解，特解代入原式代入原式，得，得特解为特解为全解全解由由得得有有第52页，共116页，编辑于2022年，星期三例例6 如如图电图电路，路，已知已知Us=18V，=8，R=6=6，L=0.9H，C=0.5F，iL(0)=0A，uC(0)=0V，t=0时时开关开关S闭闭合，合，试试求求iL(t)和和uC(t)。解：根据换路定则可得解：根据换路定则可得:当开关当开关S闭合后电路到达稳态时，闭合后电路到达稳态时，在左侧电路中应有在左侧电路
24、中应有:第53页，共116页，编辑于2022年，星期三在电路右侧部分回路中，由于激励在电路右侧部分回路中，由于激励含有指数函数，此时的电路含有指数函数，此时的电路强迫响应不是稳态分量强迫响应不是稳态分量,不可以用不可以用第54页，共116页，编辑于2022年，星期三利用利用KCL:解此微分方程得解此微分方程得:【参见教材附录参见教材附录A】第55页，共116页，编辑于2022年，星期三第六节第六节 一阶电路的阶跃响应一阶电路的阶跃响应在分析线性电路过渡过程时，基于工程应用，通常研究一些典型奇异函数所描述的激励下一阶电路的响应。奇异函数奇异函数是本身不连续、或者有不连续导数与积分的一类函数。第5
25、6页，共116页，编辑于2022年，星期三一、阶跃函数一、阶跃函数单位阶跃函数单位阶跃函数将单位阶跃函数乘以常数将单位阶跃函数乘以常数K K，得到阶跃函数，得到阶跃函数也称为开关函数也称为开关函数延时的单位阶跃函数延时的单位阶跃函数利用阶跃函数和延时阶跃函数，利用阶跃函数和延时阶跃函数，可以表示可以表示矩形脉冲函数矩形脉冲函数第57页，共116页，编辑于2022年，星期三二、阶跃响应二、阶跃响应阶跃函数激励的电路，相当于电路在阶跃函数激励的电路，相当于电路在 时刻接通电时刻接通电压值为压值为K K（V V）的直流电压源或者电流为）的直流电压源或者电流为K K（A A）的直流）的直流电流源。可见
26、，阶跃响应与直流源激励时电路的响应相电流源。可见，阶跃响应与直流源激励时电路的响应相同，可以用上节所述的三要素法。同，可以用上节所述的三要素法。第58页，共116页，编辑于2022年，星期三例：例：在如在如图图所示所示 电电路中，路中，电压电压 分别由阶跃函数和延时的阶跃函数设定为：分别由阶跃函数和延时的阶跃函数设定为：和和分别求分别求该电路的零状态响应该电路的零状态响应解：解：相当于在相当于在时刻接通时刻接通10V的直流电压，应用三要素法，可求出的直流电压，应用三要素法，可求出其阶跃响应为：其阶跃响应为：仍以仍以时刻设定计时起点，可得：时刻设定计时起点，可得：第59页，共116页，编辑于20
27、22年，星期三该电路的激励延时该电路的激励延时，响应也随之延时，响应也随之延时这种电路称为这种电路称为 非时变电路非时变电路若电路中的若电路中的R R、L L、C C、MM均为常系数，这样的电路都是非时均为常系数，这样的电路都是非时变电路变电路第60页，共116页，编辑于2022年，星期三例例：在所示在所示电电路中，路中，计算计算 时时解：解：在在3A电流源作用下的稳态响应为：电流源作用下的稳态响应为：时：时：第61页，共116页，编辑于2022年，星期三三、脉冲序列响应三、脉冲序列响应激励呈现为脉冲序列的特征激励呈现为脉冲序列的特征一个方波序列信号一个方波序列信号,电路处于一个连续的充电和放
28、电过程电路处于一个连续的充电和放电过程 在（在（0t0）时间内，电源电压为）时间内，电源电压为U，电容处于充电过程，电容处于充电过程第62页，共116页，编辑于2022年，星期三电容处于放电过程，电容处于放电过程，以上方法是基于激励的作用，以上方法是基于激励的作用，对时间进行分段对时间进行分段求解的方法。求解的方法。若考虑到激励为矩形脉冲，依据若考虑到激励为矩形脉冲，依据叠加定理叠加定理第63页，共116页，编辑于2022年，星期三第64页，共116页，编辑于2022年，星期三第65页，共116页，编辑于2022年，星期三第七节第七节 一阶电路的冲激响应一阶电路的冲激响应单位冲激函数单位冲激函
29、数冲激响应冲激响应:在单位冲激函数激励下电路的在单位冲激函数激励下电路的零状零状态响应态响应第66页，共116页，编辑于2022年，星期三通解为其强迫响应与自由响应之和通解为其强迫响应与自由响应之和:电容电压的变化规律和电容初始值为电容电压的变化规律和电容初始值为 时电路的零输时电路的零输入响应相同。入响应相同。第67页，共116页，编辑于2022年，星期三冲激函数激励可看作在冲激函数激励可看作在 t t0 0时刻电路中一个量值时刻电路中一个量值为无限大，而作用时间为无限小的电压源。在为无限大，而作用时间为无限小的电压源。在 时段内，冲激函数激励使储能元件的初始储能发时段内，冲激函数激励使储能
30、元件的初始储能发生跳变，建立起生跳变，建立起 时刻的初始储能。当时刻的初始储能。当 后，后，冲激函数的激励消失，电路靠冲激函数的激励消失，电路靠 时刻的初始储时刻的初始储能而出现能而出现零输入响应零输入响应。求出冲激激励源在电容中建立的初始电压，或者在电感中建立的求出冲激激励源在电容中建立的初始电压，或者在电感中建立的初始电流，即求出换路后瞬间储能元件的初始值，就可以按零输初始电流，即求出换路后瞬间储能元件的初始值，就可以按零输入响应的形式确定电路中的过渡过程。入响应的形式确定电路中的过渡过程。第68页，共116页，编辑于2022年，星期三冲激函数是阶跃函数的导数，因此在线性、非时变电路中，冲
31、激函数是阶跃函数的导数，因此在线性、非时变电路中，冲激响应冲激响应 亦是阶跃响应亦是阶跃响应 的导数。的导数。阶跃响应由阶跃响应由“三要素法三要素法”得出为：得出为：求导可得冲激响应为：求导可得冲激响应为：第69页，共116页，编辑于2022年，星期三例：在所示例：在所示电电路中，路中，计算计算时的时的解：电路全响应为零输入响应和零状态响应解：电路全响应为零输入响应和零状态响应之和。之和。电路有零输入响应。电路有零输入响应。延时的冲激函数激励该电路，可以延时的冲激函数激励该电路，可以利用阶跃响应利用阶跃响应来求解其冲来求解其冲激响应，即电路的零状态响应。激响应，即电路的零状态响应。令令第70页
32、，共116页，编辑于2022年，星期三冲激响应为：冲激响应为：基于电路的线性和定常特点基于电路的线性和定常特点激励下电路的冲激响应：激励下电路的冲激响应：全响应为：全响应为：第71页，共116页，编辑于2022年，星期三（方法二）冲激响应也可以按电感初始状态的变化来求取（方法二）冲激响应也可以按电感初始状态的变化来求取作用期间：作用期间：时，电感上的分压为：时，电感上的分压为：在在内在电感上产生的初始状态为：内在电感上产生的初始状态为：其产生的零输入响应也是：其产生的零输入响应也是：第72页，共116页，编辑于2022年，星期三 例例:在如在如图电图电路中，路中，N为纯电为纯电阻网阻网络络 当
33、当当当且将电感且将电感L更换为电容更换为电容试计算试计算解：当解：当电流电流i可由可由“三要素法三要素法”求得：求得：比较上式等号两端可知：比较上式等号两端可知：R是当电压源置零时电感是当电压源置零时电感L左侧部分的左侧部分的等效电阻。等效电阻。第73页，共116页，编辑于2022年，星期三电感电感L更换为电容更换为电容C此时的阶跃响应：此时的阶跃响应：考虑到当考虑到当电感相当于开路；电感相当于开路；电容相当于短路；电容相当于短路；时，电感相当于短路，而电容相当于开路。时，电感相当于短路，而电容相当于开路。比较可得：比较可得：第74页，共116页，编辑于2022年，星期三则：则：第75页，共1
34、16页，编辑于2022年，星期三第八节第八节 一阶奇异电路一阶奇异电路本节论述不适用换路定则，即在换路前后瞬间电容电压和电感电流将呈现跳变的一阶电路（一阶奇异电路）的特征。一阶奇异电路可以应用三要素法分析，分析的要点在于确定电容电压和电感电流跳变的初始状态。第76页，共116页，编辑于2022年，星期三（1）对于一阶奇异电路，当电路换路后，电路中存在由电压源、电容组成的回路或纯电容回路时，换路定则不适用，各电容电压可能会跳变，且电容电流不再是有限值。分析一阶RC奇异电路电容初始值的方法为：在节点上电荷守恒，在节点上电荷守恒，即：电荷为代数量，电荷为代数量，当与节点相连为电容正极板时，电荷当与节
35、点相连为电容正极板时，电荷取正；反之，取负。取正；反之，取负。第77页，共116页，编辑于2022年，星期三电路存在由电压源和电容组成的回路（或存在纯电容回路）时电电路存在由电压源和电容组成的回路（或存在纯电容回路）时电容电压有突变。但节点电荷不突变容电压有突变。但节点电荷不突变证明：证明：如图所示电路，满足如图所示电路，满足KCL对上式从对上式从t=0 到到 t=0+积分积分第78页，共116页，编辑于2022年，星期三注意：电容电压正号对着节点为正，注意：电容电压正号对着节点为正，负号对着节点为负。负号对着节点为负。第79页，共116页，编辑于2022年，星期三例例1：设：设开关原来打开，
36、问开关原来打开，问K闭合后瞬间闭合后瞬间。解题要点：解题要点：第80页，共116页，编辑于2022年，星期三解：电路闭合后，应满足解：电路闭合后，应满足KVL，即有：，即有：节点节点a电荷变换前后应保持一致电荷变换前后应保持一致即：即：代入数据：代入数据：得：得：比较比较第81页，共116页，编辑于2022年，星期三例例2：在在图图示示电电路中，已知路中，已知 时，开关时，开关S闭合，求闭合，求S闭合后闭合后解：解：S闭合后瞬间，闭合后瞬间，换路前后电荷守恒：换路前后电荷守恒：代入数据可解得：代入数据可解得：第82页，共116页，编辑于2022年，星期三可见：可见：即换路瞬间电容电压强迫跳变，
37、且电容电流中出现了冲激函数。即换路瞬间电容电压强迫跳变，且电容电流中出现了冲激函数。第83页，共116页，编辑于2022年，星期三（2）对于一阶奇异电路，当电路换路后，电路中存在由电流源和电感组成的割集或纯电感割集时，换路定则不适用，各电感电流可能会发生跳变，且电感电压不再是有限值。分析一阶RL奇异电路电感初始值的方法为：在回路中磁链守恒在回路中磁链守恒，即：磁链为代数量，磁链为代数量，给定回路方向，当电感电流方向与回给定回路方向，当电感电流方向与回路方向一致时，取正；反之，取负。路方向一致时，取正；反之，取负。第84页，共116页，编辑于2022年，星期三证明：对两个电感所在的回路列证明：对
38、两个电感所在的回路列KVL方程方程当电路存在由电流源和电感组成的割集（或纯电感割集）当电路存在由电流源和电感组成的割集（或纯电感割集）时，电感电流有突变。但回路磁链的值在换路前后保持时，电感电流有突变。但回路磁链的值在换路前后保持不变不变:对上式从对上式从t=0 到到 t=0+积分积分第85页，共116页，编辑于2022年，星期三所以：所以：注意：电感电流与回路绕向注意：电感电流与回路绕向一致为正，不一致为负。一致为正，不一致为负。第86页，共116页，编辑于2022年，星期三例例3：，原来原来K闭合，闭合，求：求：K打开后打开后。解：解：解题要点：解题要点：第87页，共116页，编辑于202
39、2年，星期三由由KCL，开关打开后，开关打开后时时利用回路磁链不突变：利用回路磁链不突变：磁链方向与回路方向一致！磁链方向与回路方向一致！代入数据代入数据得：得：，比较：比较：第88页，共116页，编辑于2022年，星期三例例4 在在图图示示电电路中，已知路中，已知 开关开关S原在原在1处已久，在处已久，在时，开关时，开关S由由1切换至切换至2，求换路后，求换路后的电感电流的电感电流电感电压电感电压解：当解：当开关开关S在在1处已久处已久当当S由由1切换至切换至2后瞬间，后瞬间，时有：时有：换路前后磁链守恒：换路前后磁链守恒：代入数据，并联立求解得：代入数据，并联立求解得：第89页，共116页
40、，编辑于2022年，星期三应用三要素法，换路后电感电流可以应用三要素法，换路后电感电流可以表示为：表示为：电感电压为：电感电压为：可见，可见，即在换路前后电感电流发生强迫跳变，且电感电压中出现了冲激即在换路前后电感电流发生强迫跳变，且电感电压中出现了冲激函数。函数。第90页，共116页，编辑于2022年，星期三本节以下内容不做要求本节以下内容不做要求第91页，共116页，编辑于2022年，星期三对上式从对上式从t=0 到到+积分积分强迫突变下的电荷守恒和磁链守恒强迫突变下的电荷守恒和磁链守恒对于电容，对于电容，如图回路由如图回路由KCL得：得：第92页，共116页，编辑于2022年，星期三对纯
41、电容节点，电荷不突变且守恒对纯电容节点，电荷不突变且守恒对非纯电容节点，电荷不突变但不守对非纯电容节点，电荷不突变但不守恒恒第93页，共116页，编辑于2022年，星期三对上式从对上式从t=0 到到 积分积分对于电感，对于电感，如图回路由如图回路由KVL得：得：第94页，共116页，编辑于2022年，星期三对非纯电感回路，磁链不突变对非纯电感回路，磁链不突变但不守恒但不守恒对纯电感回路，磁链不突变且守恒对纯电感回路，磁链不突变且守恒第95页，共116页，编辑于2022年，星期三例：图示电路中，已知例：图示电路中，已知Is=6A，L1=1H L2=1H,R=1,iL1(0-)=1A,iL2(0-
42、)=2A,求求k闭合后的闭合后的iL2(0)及及iL2()解：解：iL1(0)=iL1(0-)=1A,iL2(0)iL2(0-)=2A解之得：解之得：iL1()2.5A，iL2()3.5ARISL1L2iL1iL2K K第96页，共116页，编辑于2022年，星期三Us+uL iR1R2R3CLiCiL+uC 解题步骤：解题步骤：独立初始值：独立初始值：uC(0+)与与iL(0+)；t=0非独立初始值：非独立初始值：第一类非独立初始值：第一类非独立初始值：t=0+第二类非独立初始值：第二类非独立初始值：t 0 其他其他，uL(0+)，iC(0+)例：开关例：开关K打开前电路处稳态，给定打开前电
43、路处稳态，给定R1=1，R2=2，R3=3，L=4H，C=5F，US=6V，t=0开关开关K打开，求打开，求iC，iL，i，uC，uL，在在0+时的值。时的值。第97页，共116页，编辑于2022年，星期三解：解：Us+uC(0)R1R2R3iL(0)i2(0)t=0：第98页，共116页，编辑于2022年，星期三uC(0+)=uC(0)=4ViL(0+)=iL(0)=4Ai(0+)=iC(0+)+iL(0+)=6AuL(0+)=US R3iL(0+)=6Vt=0+：Us+uL(0+)R1uC(0+)R3iL(0+)i(0+)iC(0+)第99页，共116页，编辑于2022年，星期三t0：Us
44、+uL iR1iLR3CLiC+uC 图图(d)R1iC+uC=US第100页，共116页，编辑于2022年，星期三第九节第九节 任意波形激励下的响应任意波形激励下的响应卷积卷积当线性非时变电路的冲激响应确定后，任意激励下的零状态响应也就可以随之确定。由冲激响应 直接计算任意激励作用下电路零状态响应 的时域方法，称为卷积积分，简称卷积。第101页，共116页，编辑于2022年，星期三一、卷积积分的推导一、卷积积分的推导假设一假设一线性定常零状态线性定常零状态网络，在网络，在 时被任意函时被任意函数数 激励，现需确定时刻激励，现需确定时刻t t的响应的响应第102页，共116页，编辑于2022年
45、，星期三（1）已知冲激函数已知冲激函数 激励下的零状态响应是：激励下的零状态响应是：，根据线性定常网络的非时变性质可知，延时冲激，根据线性定常网络的非时变性质可知，延时冲激函数函数 激励下的零状态响应是：激励下的零状态响应是：（2）利用线性叠加性质）利用线性叠加性质，激励下的激励下的零状态响应是：零状态响应是：（3）对无限多个窄矩形脉冲作用下的零状态响应分量求和，）对无限多个窄矩形脉冲作用下的零状态响应分量求和，并取极限，可得：并取极限，可得：第103页，共116页，编辑于2022年，星期三说明（说明（1）当当 时，在时，在 t 瞬时，相应激励尚未作用于电路，故积分瞬时，相应激励尚未作用于电路
46、，故积分上限取为上限取为 t ；（；（2）因为变量）因为变量 的积分上下限是的积分上下限是0和和 t，在，在 的的情况下等于情况下等于1，积分式中不必考虑，积分式中不必考虑函数函数 对对 的卷积的卷积，无论激励是否为连续函数均适用无论激励是否为连续函数均适用函数函数 对对 的卷积，的卷积，激励为非连续函数时，通常不能激励为非连续函数时，通常不能直接套用。直接套用。第104页，共116页，编辑于2022年，星期三物理意义是：线性定常时不变系统在任意时刻物理意义是：线性定常时不变系统在任意时刻 t t 对对任意激励的响应，等于从激励函数开始作用的时任意激励的响应，等于从激励函数开始作用的时刻刻 到
47、指定时刻到指定时刻 的区间内，无穷多个依的区间内，无穷多个依次连续出现的冲激响应的和。次连续出现的冲激响应的和。第105页，共116页，编辑于2022年，星期三二、卷积积分的计算二、卷积积分的计算应用卷积计算任意函数激励下电路零状态响应的过程。应用卷积计算任意函数激励下电路零状态响应的过程。设某电路的激励设某电路的激励冲激响应为冲激响应为求取电路的零状态响应求取电路的零状态响应利用利用第106页，共116页，编辑于2022年，星期三求取电路的零状态响应，其具体步骤为：求取电路的零状态响应，其具体步骤为：（1）以新变量）以新变量 代替代替 t，得到：，得到：（2）以）以 代替代替 中的变量中的变
48、量 得到：得到：（3）将）将 沿轴向右平移沿轴向右平移 t 个单位，得到：个单位，得到：第107页，共116页，编辑于2022年，星期三（4）求取乘积）求取乘积的面积，如图中阴影，得到的面积，如图中阴影，得到 t 时刻电路的零时刻电路的零状态响应状态响应当电路的激励或冲激响应是分段连续函数时，进行卷积当电路的激励或冲激响应是分段连续函数时，进行卷积计算需要正确选定积分上、下限，此时，借助于图形可计算需要正确选定积分上、下限，此时，借助于图形可以更为方便以更为方便第108页，共116页，编辑于2022年，星期三例例:求求图图表示的表示的 和和 的卷积积分的卷积积分解：解：第109页，共116页，
49、编辑于2022年，星期三第110页，共116页，编辑于2022年，星期三y(t)=0,t 4 第111页，共116页，编辑于2022年，星期三例例 在所示在所示电电路中，路中，电电流源流源如图，电容电压的初值为如图，电容电压的初值为求电容电压求电容电压 的全响应。的全响应。解：解：（1）求零输入响应）求零输入响应，此时，此时 为零，相当于开路为零，相当于开路第112页，共116页，编辑于2022年，星期三（2）求零状态响应）求零状态响应首先，利用阶跃响应来求取冲激响应，假设首先，利用阶跃响应来求取冲激响应，假设阶跃响应很容易由阶跃响应很容易由“三要素法三要素法”得：得：冲激响应为：冲激响应为：
50、当当利用利用第113页，共116页，编辑于2022年，星期三则有：则有：当当全响应是零输入响应与零状态响应之和，即：全响应是零输入响应与零状态响应之和，即：当当当当第114页，共116页，编辑于2022年，星期三第十节第十节 应用举例应用举例电磁式继电器一般由铁芯、线圈、衔铁、触点簧片等组成。一旦在线圈两端施加一定的电压，线圈中就会流过一定的电流，从而产生电磁效应，当磁场足够强时，就能带动另一电路中的可动触片而将开关闭合（或切断）。当线圈断电后，电磁吸力随之消失，另一电路中的可动触片就会在弹簧的反作用力下返回原来的位置，即开关打开（或接通）。第115页，共116页，编辑于2022年，星期三一个