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1、第四章静态场的边值问题本讲稿第一页，共四十三页5.1 5.1 电位微分方程电位微分方程已知，电位已知，电位 与电场强度与电场强度 E 的关系为的关系为 对上式两边取散度，得对上式两边取散度，得 对于线性各向同性的均匀介质，电场强度对于线性各向同性的均匀介质，电场强度 E 的散度为的散度为 本讲稿第二页，共四十三页那么，线性各向同性的均匀介质中，电位满足的微分方程式为那么，线性各向同性的均匀介质中，电位满足的微分方程式为 该方程称为该方程称为泊松方程泊松方程。对于无源区，上式变为对于无源区，上式变为 上式称为上式称为拉普拉斯方程拉普拉斯方程。例例 求同轴电缆在空间任意一点的求同轴电缆在空间任意一
2、点的E E。本讲稿第三页，共四十三页 例例已知同轴线的内导体半径为已知同轴线的内导体半径为a，电位为，电位为V，外导体接地，其内半径，外导体接地，其内半径为为b。试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。解解 对对于于这这种种边边值值问问题题，镜镜像像法法不不适适用用，只只好好求求解解电电位位方方程程。为为此此，选选用用圆圆柱柱坐坐标标系系。由由于于场场量量仅仅与与坐坐标标 r 有有关关，因因此此，电电位位所所满满足足的的拉拉普普拉拉斯斯方方程程在在圆圆柱柱坐坐标标系系中中的的展展开开式式只只剩剩下下包包含含变变量量r 的一项，即电位微分方程为的一
3、项，即电位微分方程为求得求得VbaO本讲稿第四页，共四十三页利用边界条件：利用边界条件：求得求得最后求得最后求得本讲稿第五页，共四十三页 数学物理方程是描述物理量随数学物理方程是描述物理量随空间和时间空间和时间的变化规律。对于某一特定的的变化规律。对于某一特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的区域和时刻，方程的解取决于物理量的初始值与边界值初始值与边界值，这些初始值和边界值分别，这些初始值和边界值分别称为称为初始条件和边界条件初始条件和边界条件，两者又统称为该方程的，两者又统称为该方程的定解条件定解条件。静电场的场量与。静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定
4、于时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件边界条件。根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题。根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题。通常给定的边界条件有三种类型：通常给定的边界条件有三种类型：第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值，这种边值问题又称第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值，这种边值问题又称为为诺依曼诺依曼问题。问题。第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另一部分边界上物第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另一部分边界上物理量的法向导数值，这种边界条件又称为理量的法向导数值，这种边界条件又称为
5、混合混合边界条件。边界条件。第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边值问题又称为第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边值问题又称为狄狄利克雷利克雷问题。问题。本讲稿第六页，共四十三页对于任何数学物理方程需要研究解的对于任何数学物理方程需要研究解的存在、稳定及惟一性存在、稳定及惟一性问题。问题。泊泊松松方方程程及及拉拉普普拉拉斯斯方方程程解解的的稳稳定定性性在在数数学学中中已已经经得得到到证证明明。可可以以证明电位微分方程解也是惟一的。证明电位微分方程解也是惟一的。由由于于实实际际中中定定解解条条件件是是由由实实验验得得到到的的，不不可可能能取取得得精精确确的的真真值值，因因此此，解解
6、的的稳定性具有重要的实际意义。稳定性具有重要的实际意义。解的解的惟一性惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。解解的的稳稳定定性性是是指指当当定定解解条条件件发发生生微微小小变变化化时时，所所求求得得的的解解是是否否会会发发生生很很大大的变化。的变化。解的解的存在存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。是指在给定的定解条件下，方程是否有解。静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在确信无疑。静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在确信无疑。本讲稿第七页，共四十三页 静电场的边界通常是由导体形成的。此时，若给定导体上的静电场的边界通常是由
7、导体形成的。此时，若给定导体上的电位值就是第一类边界。电位值就是第一类边界。已知导体表面上的电荷密度与电位导已知导体表面上的电荷密度与电位导数的关系为数的关系为 ，可见，表面电荷给定等于给定了电位的，可见，表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值。因此，给定导体上的电荷就是第二类边界。法向导数值。因此，给定导体上的电荷就是第二类边界。因此，对于导体边界的静电场问题，当边界上的电位，或电位的因此，对于导体边界的静电场问题，当边界上的电位，或电位的法向导法向导数数给定时，或导体给定时，或导体表面电荷表面电荷给定时，空间的静电场即被惟一地确定给定时，空间的静电场即被惟一地确定。这个。这个结论称为结论称
8、为静电场惟一性定理静电场惟一性定理。本讲稿第八页，共四十三页5.2镜像法镜像法 实质实质:是以一个或几个是以一个或几个等效电荷等效电荷代替边界的影响，将原来具有边界的代替边界的影响，将原来具有边界的非均匀空间非均匀空间变成变成无限大的均匀自由空间无限大的均匀自由空间，从而使计算过程大为简化。，从而使计算过程大为简化。依据依据：惟一性定理。因此，等效电荷的引入必须维持原来的边界条件不：惟一性定理。因此，等效电荷的引入必须维持原来的边界条件不变，从而保证原来区域中静电场没有改变，这是确定等效电荷的大小及其位变，从而保证原来区域中静电场没有改变，这是确定等效电荷的大小及其位置的依据。这些等效电荷通常
9、处于置的依据。这些等效电荷通常处于镜像位置镜像位置，因此称为，因此称为镜像电荷镜像电荷，而这种，而这种方法称为方法称为镜像法镜像法。关键：关键：确定镜像电荷的大小及其位置。确定镜像电荷的大小及其位置。局限性：局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有可能确定其镜仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有可能确定其镜像电荷。像电荷。本讲稿第九页，共四十三页（1）点电荷与无限大的导体平面）点电荷与无限大的导体平面 介质 导体 q r P 介质 q r P hh 介质 以一个处于镜像位置的点电荷代替边界的影响，使整个空间变以一个处于镜像位置的点电荷代替边界的影响，使整个空间变成均匀的介电
10、常数为成均匀的介电常数为 的空间，则空间任一点的空间，则空间任一点 P 的电位由的电位由 q 及及 q 共同产共同产生，即生，即 考虑到无限大导体平面的电位为零考虑到无限大导体平面的电位为零，求得，求得本讲稿第十页，共四十三页 电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半部分完全电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半部分完全相同。相同。由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体表面吻合。由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体表面吻合。电场线等位线 z 本讲稿第十一页，共四十三页 电电荷荷守守恒恒：当当点点电电荷荷q 位位于于无无限限大大的的导导体体
11、平平面面附附近近时时，导导体体表表面面将将产产生生异异性性的的感感应应电电荷荷，因因此此，上上半半空空间间的的电电场场取取决决于于原原先先的的点点电电荷荷及及导导体体表表面面上上的的感感应应电电荷荷。可可见见，上上述述镜镜像像法法的的实实质质是是以以一一个个异异性性的的镜镜像像点点电电荷荷代代替替导导体体表表面面上上异异性性的的感感应应电电荷荷的的作作用用。根根据据电电荷荷守守恒恒原原理理，镜镜像像点点电电荷荷的的电电量量应应该该等等于于这这些些感感应应电电荷荷的的总总电电量量，读读者者可可以以根根据据导导体体表表面面电电荷荷密密度度与与电电场场强强度度或或电电位位的的关关系系证证明明这这个结
12、论。个结论。半半空空间间等等效效：上上述述等等效效性性仅仅对对于于导导体体平平面面的的上上半半空空间间成成立立，因因为为在在上上半半空空间间中中，源及边界条件未变。源及边界条件未变。本讲稿第十二页，共四十三页q 对对于于半半无无限限大大导导体体平平面面形形成成的的劈劈形形边边界界也也可可应应用用镜镜像像法法。但但是是仅仅当当这这种种导导体体劈劈的的夹夹角角等等于于 的的整整数数分分之之一一时时，才才可可求求出出其其镜镜像像电电荷荷。为为了了保保证证这这种种劈劈形形边边界界的的电电位位为为零零，必必须须引引入入几几个个镜镜像像电电荷荷。例如，夹角为例如，夹角为 的导电劈需引入的导电劈需引入 5
13、5 个镜像电荷。个镜像电荷。/3/3q 连续分布的线电荷位于无限大的导体平面附近时，根据叠加原理得连续分布的线电荷位于无限大的导体平面附近时，根据叠加原理得知，同样可以应用镜像法求解。知，同样可以应用镜像法求解。本讲稿第十三页，共四十三页fqo（2）点电荷与导体球）点电荷与导体球 Padrq 若导体球若导体球接地接地，导体球的电位为零。为，导体球的电位为零。为了等效导体球边界的影响，令镜像点电荷了等效导体球边界的影响，令镜像点电荷q 位于球心与点电荷位于球心与点电荷 q 的连线上。那么，球的连线上。那么，球面上任一点电位为面上任一点电位为 可见，为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为
14、可见，为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为 本讲稿第十四页，共四十三页为为了了使使镜镜像像电电荷荷具具有有一一个个确确定定的的值值，必必须须要要求求比比值值对对于于球球面面上上任任一一点点均均具具有有同同一一数数值值。由由上上图图可可见见，若若要要求求三三角角形形OPq与与OqP 相似，则相似，则常数。由此获知镜像电荷应为常数。由此获知镜像电荷应为镜像电荷离球心的距离镜像电荷离球心的距离d 应为应为 这样，根据这样，根据 q 及及 q 即可计算球外空间任一点的电场强度。即可计算球外空间任一点的电场强度。fqOPadrq本讲稿第十五页，共四十三页 若若导体球不接地导体球不接地，则位于
15、点电荷一侧的导体球表面上的感应电荷为，则位于点电荷一侧的导体球表面上的感应电荷为负值，而另一侧表面上的感应电荷为正值。导体球表面上总的感应电荷负值，而另一侧表面上的感应电荷为正值。导体球表面上总的感应电荷应为零值。因此，对于不接地的导体球，若引入上述的镜像电荷应为零值。因此，对于不接地的导体球，若引入上述的镜像电荷 q 后，后，为了满足电荷守恒原理，必须再引入一个镜像电荷为了满足电荷守恒原理，必须再引入一个镜像电荷q，且必须令，且必须令 显然，为了保证球面边界是一个等位面，镜像电荷显然，为了保证球面边界是一个等位面，镜像电荷 q“必须位于球心。事必须位于球心。事实上，由于导体球不接地，因此，其
16、电位不等零。由实上，由于导体球不接地，因此，其电位不等零。由q 及及q在球面边界上形成的在球面边界上形成的电位为零，因此必须引入第二个镜像电荷电位为零，因此必须引入第二个镜像电荷q“以提供一定的电位。以提供一定的电位。本讲稿第十六页，共四十三页 （3）点电荷与无限大的介质平面。）点电荷与无限大的介质平面。E 1 1qr0EEtEnq 2 2qE 1 2qeten=+为了求解上半空间的场可用镜像电荷为了求解上半空间的场可用镜像电荷 q 等效边界上束缚电荷的作等效边界上束缚电荷的作用，将整个空间变为介电常数为用，将整个空间变为介电常数为1 的均匀空间。对于下半空间，可用位于原的均匀空间。对于下半空
17、间，可用位于原点电荷处的点电荷处的q 等效原来的点电荷等效原来的点电荷q 与边界上束缚电荷的共同作用，将整与边界上束缚电荷的共同作用，将整个空间变为介电常数为个空间变为介电常数为2 的均匀空间。的均匀空间。本讲稿第十七页，共四十三页 但是，必须迫使所求得的场符合原先的边界条件，即电场切向分量保但是，必须迫使所求得的场符合原先的边界条件，即电场切向分量保持连续，电位移的法向分量应该相等，即持连续，电位移的法向分量应该相等，即 已知各个点电荷产生的电场强度分别为已知各个点电荷产生的电场强度分别为代入上述边界条件，求得镜像电荷如下：代入上述边界条件，求得镜像电荷如下：本讲稿第十八页，共四十三页Xhy
18、x=0IO例例设一根载有恒定电流设一根载有恒定电流I 的无限长导线与无限大的理想导磁平面平行放置，如图的无限长导线与无限大的理想导磁平面平行放置，如图示。导线与平面间的距离为示。导线与平面间的距离为h，试求上半空间任一点磁场强度。，试求上半空间任一点磁场强度。本讲稿第十九页，共四十三页Xhyx=0IOrhhPyx 0IH1H2H1H2HOrI 0解解 采用镜像法。设在镜像位置放置一根无限长的恒定电流采用镜像法。设在镜像位置放置一根无限长的恒定电流 I ，那么，那么上半空间任一点合成磁场强度为上半空间任一点合成磁场强度为 理想导磁体表面的磁场强度的切向分量必须为零，为了满足这个边理想导磁体表面的
19、磁场强度的切向分量必须为零，为了满足这个边界条件必须要求界条件必须要求 I=I。本讲稿第二十页，共四十三页因此合成磁场为因此合成磁场为 对于边界上任一点，对于边界上任一点，y=0，得，得 由此可见，所得结果满足前述的边界条件，即磁场强度垂直于理想由此可见，所得结果满足前述的边界条件，即磁场强度垂直于理想导磁体边界导磁体边界。本讲稿第二十一页，共四十三页例例 一根无限长的电流为一根无限长的电流为I 的线电流，位于两种媒质形成的无限大的平面的线电流，位于两种媒质形成的无限大的平面边界附近，两种媒质的磁导率分别为边界附近，两种媒质的磁导率分别为 1 及及 2 ，试求两种媒质中的恒定磁，试求两种媒质中
20、的恒定磁场。场。I21=+解解设电流设电流I 位于媒质位于媒质中，如下图示。中，如下图示。IH2I He e 1I e H本讲稿第二十二页，共四十三页I21=+IH2I He e 1I e H根根据据惟惟一一性性定定理理，场场是是由由源源及及其其边边界界条条件件共共同同决决定定的的。现现在在这这样样假假定定后后，上上半半空空间间仍仍为为有有源源区区，下下半半空空间间仍仍为为无无源源区区。为为了了维维持持边边界界条条件件不不变变，求求出出的的上上半半空空间间及及下下半半空空间间的的场场在在边边界界上上应应满满足足恒恒定定磁磁场场的的边边界条件，即界条件，即。由此求得。由此求得本讲稿第二十三页，共
21、四十三页那么那么此时，镜像电流此时，镜像电流 。这些结果与前例完全相同。这些结果与前例完全相同。由此可见，若媒质由此可见，若媒质为理想导磁体，即为理想导磁体，即 ，则，则本讲稿第二十四页，共四十三页由上例可见，为了利用给定的边界条件以便确定求解过程中出现的由上例可见，为了利用给定的边界条件以便确定求解过程中出现的积分常数，积分常数，选择适当的坐标系是非常重要的选择适当的坐标系是非常重要的。对于平面边界，圆柱边。对于平面边界，圆柱边界及圆球边界必须分别选用直角坐标系、圆柱坐标系及球坐标系。界及圆球边界必须分别选用直角坐标系、圆柱坐标系及球坐标系。此外，由于同轴线中的电位函数仅与一个坐标变量此外，
22、由于同轴线中的电位函数仅与一个坐标变量r 有关，因有关，因此原先的三维拉普拉斯方程简化为一维微分方程，因而可采用此原先的三维拉普拉斯方程简化为一维微分方程，因而可采用直直接积分方法接积分方法求解这类边值问题。但一般说来，静电场的边值问题与空间求解这类边值问题。但一般说来，静电场的边值问题与空间三个坐标变量有关。为了求解三维拉普拉斯方程，一种有效的方法就是三个坐标变量有关。为了求解三维拉普拉斯方程，一种有效的方法就是分分离变量法离变量法。分离变量法分离变量法是将原先的三维偏微分方程通过变量分离简化为三个是将原先的三维偏微分方程通过变量分离简化为三个独立的常微分方程，从而使求解过程比较简便。分离变
23、量法对于独立的常微分方程，从而使求解过程比较简便。分离变量法对于11种坐种坐标系都是行之有效的。标系都是行之有效的。本讲稿第二十五页，共四十三页5.3分离变量法分离变量法 1.直角坐标系：直角坐标系：无源区中电位满足的拉普拉斯方程在的展开式为无源区中电位满足的拉普拉斯方程在的展开式为 令令代入上式，两边再除以代入上式，两边再除以X(x)Y(y)Z(z)，得，得 显显然然，式式中中各各项项仅仅与与一一个个变变量量有有关关。因因此此，将将上上式式对对变变量量x 求求导导，第第二二项项及及第第三三项项均均为为零零，求求得得第第一一项项对对x 的的导导数数为为零零，说说明明了了第第一一项项等等于于常常
24、数数。同同理理，再再分分别别对对变变量量y 及及z 求求导导，得得知知第第二二项项及及第第三三项项也也分分别等于常数。令各项的常数分别为别等于常数。令各项的常数分别为，分别求得，分别求得本讲稿第二十六页，共四十三页式中式中kx，ky，kz 称为分离常数，它们可以是实数或虚数。称为分离常数，它们可以是实数或虚数。显然，三个分离显然，三个分离常数并不是独立的，它们必须满足下列方程常数并不是独立的，它们必须满足下列方程由由上上可可见见，经经过过变变量量分分离离后后，三三维维偏偏微微分分方方程程式式被被简简化化为为三三个个一一维维常常微微分分方方程程。常常微微分分方方程程的的求求解解较较为为简简便便，
25、而而且且三三个个常常微微分分方方程程又又具具有有同同一一结结构构，因因此它们解的形式也一定相同。例如，含变量此它们解的形式也一定相同。例如，含变量 x 的常微分方程的通解为的常微分方程的通解为或者或者式中式中A,B,C,D为待定常数。为待定常数。本讲稿第二十七页，共四十三页 分离常数也可为虚数。当分离常数也可为虚数。当 kx 为虚数时，令为虚数时，令 ，则上，则上述通解变为述通解变为 或者或者含变量含变量 x 或或 y 的常微分方程的解具有完全相同的形式。这些解的的常微分方程的解具有完全相同的形式。这些解的线性组合线性组合仍然是方程的解。解的形式的选择是非常重要的，它完全决定于给仍然是方程的解
26、。解的形式的选择是非常重要的，它完全决定于给定的定的边界条件边界条件。解中各个待定常数也取决于给定的边界条件。解中各个待定常数也取决于给定的边界条件。本讲稿第二十八页，共四十三页例例 两个相互平行的半无限大接地导体平面，间距为两个相互平行的半无限大接地导体平面，间距为 d，其有限端被电位为，其有限端被电位为 0 的导电平面封闭，且与无限大接地导体平面绝缘，如图所示。的导电平面封闭，且与无限大接地导体平面绝缘，如图所示。试求三个导体平面形成的槽中电位分布。试求三个导体平面形成的槽中电位分布。Odxy=0=0=0解解选取直角坐标系。由于导电平面沿选取直角坐标系。由于导电平面沿z 轴无限延伸，槽中电
27、位分布函轴无限延伸，槽中电位分布函数一定与数一定与z 无关，因此，这是一个无关，因此，这是一个二维场二维场的问题。电位所满足的拉普拉的问题。电位所满足的拉普拉斯方程变为斯方程变为本讲稿第二十九页，共四十三页应用分离变量法，令应用分离变量法，令根据题意，槽中电位应满足的边界条件为根据题意，槽中电位应满足的边界条件为为了满足为了满足 及及 边界条件，应选边界条件，应选 Y(y)的解为的解为 因为因为 y=0 时，电位时，电位 =0，因此上式中常数，因此上式中常数B=0。为了满足边界。为了满足边界条件条件 ，分离常数，分离常数 ky 应为应为 本讲稿第三十页，共四十三页求得求得已知已知 ，求得，求得
28、可见，分离常数可见，分离常数kx 为虚数，故为虚数，故X(x)的解应为的解应为因为因为x=0时，时，电位电位 ，因此，式中常数因此，式中常数C=0，即，即那么，那么，式中常数式中常数 C=AD。本讲稿第三十一页，共四十三页由边界条件获知，当由边界条件获知，当x=0时，电位时，电位=0，代入上式，得，代入上式，得上上式式右右端端为为变变量量，但但左左端端为为常常量量，因因此此不不能能成成立立。这这就就表表明明此此式式不不能能满满足给定的边界条件。因此，必须取上式的和式作为电位方程的解，即足给定的边界条件。因此，必须取上式的和式作为电位方程的解，即为了满足为了满足 x=0，=0 边界条件，由上式得
29、边界条件，由上式得 本讲稿第三十二页，共四十三页上式右端为傅里叶级数。利用傅里叶级数的正交性，可以求出系数上式右端为傅里叶级数。利用傅里叶级数的正交性，可以求出系数Cn为为最后求得槽中电位分布函数为最后求得槽中电位分布函数为 式中式中 。0dxy=0=0=0电场线等位面电场线及等位面分电场线及等位面分布如右图示：布如右图示：本讲稿第三十三页，共四十三页2.圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的分离变量法电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为 令其解为令其解为 代入上式求得代入上式求得上式中第二项仅为变量上式中第二项仅为变量 的函数，而第一项及第三项与的函数，而
30、第一项及第三项与 无关，因此将上式对无关，因此将上式对 求导，得知第二项对求导，得知第二项对 的导数为零，可见第二项应为常数，令的导数为零，可见第二项应为常数，令 本讲稿第三十四页，共四十三页即即式中式中 k 为分离常数，为分离常数，它可以是实数或虚数。通常变量它可以是实数或虚数。通常变量 的变化范围的变化范围为为，那么此时场量随，那么此时场量随 的变化一定的变化一定是以是以 2 2 为周期的周期函数。因此，上式的解一定是三角函数，且为周期的周期函数。因此，上式的解一定是三角函数，且常数常数 k 一定是整数，以保证函数的周期为一定是整数，以保证函数的周期为2 2。令。令，m 为整数，则上式的解
31、为为整数，则上式的解为式中式中A,B 为待定常数。为待定常数。考虑到考虑到 ，以及变量，以及变量 的方程式，则前述方程可表示为的方程式，则前述方程可表示为本讲稿第三十五页，共四十三页上式左边第一项仅为变量上式左边第一项仅为变量r 的函数，第二项仅为变量的函数，第二项仅为变量z 的函数，因此按照前述的函数，因此按照前述理由，它们应分别等于常数，令理由，它们应分别等于常数，令 即即式中分离常数式中分离常数 kz 可为实数或虚数，其解可为三角函数，双曲函数或指数函数。可为实数或虚数，其解可为三角函数，双曲函数或指数函数。当当 kz 为实数时，可令为实数时，可令 式中式中C,D 为待定常数。为待定常数
32、。将变量将变量 z 方程代入前式，得方程代入前式，得 本讲稿第三十六页，共四十三页若令若令 ，则上式变为，则上式变为 上式为标准的柱上式为标准的柱贝塞尔方程贝塞尔方程，其解为柱，其解为柱贝塞尔函数贝塞尔函数，即，即 至此，我们分别求出了至此，我们分别求出了R(r),(),Z(z)的解，而电位微分方程的通解应为的解，而电位微分方程的通解应为三者乘积，或取其线性组合。三者乘积，或取其线性组合。式中式中E,F 为待定常数为待定常数,为为m 阶第一类阶第一类柱柱贝塞尔函数，贝塞尔函数，为为m阶第二类阶第二类柱柱贝塞尔函数。根据第二类贝塞尔函数。根据第二类柱柱贝塞尔函数的特性知，当贝塞尔函数的特性知，当
33、r=0时，时，。因此，当场存在的区域包括。因此，当场存在的区域包括r=0时，此时只时，此时只能取第一类能取第一类柱柱贝塞尔函数作为方程的解。贝塞尔函数作为方程的解。本讲稿第三十七页，共四十三页若若所所讨讨论论的的静静电电场场与与变变量量z 无无关关，则则分分离离常常数数。那那么么电电位微分方程变为位微分方程变为此方程的解为指数函数，即此方程的解为指数函数，即 若所讨论的静电场又与变量若所讨论的静电场又与变量 无关，则无关，则m=0。那么，电位微分方程的。那么，电位微分方程的解为解为 考虑到以上各种情况，考虑到以上各种情况，电位微分方程电位微分方程的解可取下列一般形式的解可取下列一般形式 本讲稿
34、第三十八页，共四十三页3.球坐标系中的分离变量法球坐标系中的分离变量法电位微分方程在球坐标系中的展开式为电位微分方程在球坐标系中的展开式为令令代入上式，得代入上式，得与前同理，与前同理，的解应为的解应为本讲稿第三十九页，共四十三页可见，上式中第一项仅为可见，上式中第一项仅为r 的函数，第二项与的函数，第二项与r 无关。因此，与前同理第一无关。因此，与前同理第一项应为常数。为了便于进一步求解，令项应为常数。为了便于进一步求解，令 式中式中n 为整数。这是尤拉方程，其通解为为整数。这是尤拉方程，其通解为 将此结果代入上式，得将此结果代入上式，得本讲稿第四十页，共四十三页令令 ，则上式变为，则上式变
35、为上式为上式为连带勒让德方程连带勒让德方程，其通解为，其通解为第一类连带勒让德函数第一类连带勒让德函数与与第第二类连带勒让德函数二类连带勒让德函数之和，这里之和，这里 m n 。当当n 是整数时，是整数时，及及为有限项多项式。因此，要求为有限项多项式。因此，要求n 为为整数。整数。根据第二类连带勒让德函数的特性知，当根据第二类连带勒让德函数的特性知，当时，时，。因此，当场存。因此，当场存在的区域包括在的区域包括或或时，时，此时只能取第一类连带勒让德函数作为，此时只能取第一类连带勒让德函数作为方程的解。方程的解。所以，通常令所以，通常令本讲稿第四十一页，共四十三页那么，电位微分方程的通解通常取为
36、下列线性组合那么，电位微分方程的通解通常取为下列线性组合若若静静电电场场与与变变量量 无无关关，则则m=0。那那么么称称为为第第一一类勒让德函数。此时，类勒让德函数。此时，电位微分方程电位微分方程的通解为的通解为本讲稿第四十二页，共四十三页5.4 5.4 有限差分法有限差分法有限差分法是一种较容易的数值解法。有限差分法是一种较容易的数值解法。首先把求解的区域划分成网格，把求解区域内连续的场分布用求网络首先把求解的区域划分成网格，把求解区域内连续的场分布用求网络节点上的离散的数值解代替。当然，把网格分得充分细，才能达到足节点上的离散的数值解代替。当然，把网格分得充分细，才能达到足够的精确度。够的精确度。1.1.简单迭代法简单迭代法 见书见书P98P982.2.超松弛法超松弛法本讲稿第四十三页，共四十三页