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1、第04章恒定电流场(1)本讲稿第一页，共二十三页 静电场静电场孤立导体孤立导体处于处于静电平衡静电平衡状态。导体中不可能存在自由电荷的体分布，状态。导体中不可能存在自由电荷的体分布，电荷只能位于导体表面上，整个导体是一等位体。电荷只能位于导体表面上，整个导体是一等位体。与恒定电源相连与恒定电源相连的一块导体的一块导体，因两极间存在一定的电位差，使导体中形成，因两极间存在一定的电位差，使导体中形成恒定恒定电流场电流场，使自由电子维持连续不断的定向运动，从而形成恒定电流。为了维持这种恒定，使自由电子维持连续不断的定向运动，从而形成恒定电流。为了维持这种恒定电流，导体中的电场也必须是恒定的，这种电场
2、称为电流，导体中的电场也必须是恒定的，这种电场称为恒定电场恒定电场。恒定电场和静电场一。恒定电场和静电场一样与时间无关，但它是由外加电压导致的，而且可存在于导体中，而样与时间无关，但它是由外加电压导致的，而且可存在于导体中，而静电场是由静电场是由静止电荷产生静止电荷产生的，不可能存在于导体中。的，不可能存在于导体中。本章从电流角度讨论本章从电流角度讨论导电媒质导电媒质中中恒定电流场恒定电流场的方程及的方程及边界条件边界条件。均匀导电媒质中均匀导电媒质中的恒定电流场是的恒定电流场是无旋场无旋场，因此它与静电场很类似，常常可以直接利用静电场的结果求，因此它与静电场很类似，常常可以直接利用静电场的结
3、果求解均匀导电媒质中的恒定电流场解均匀导电媒质中的恒定电流场本讲稿第二页，共二十三页4-1 电流电流 电流、电流、传导电流传导电流与与运流电流运流电流。传导电流传导电流是导体中的自由电子（或空穴）或者是电解液中的离子运动形成的电流是导体中的自由电子（或空穴）或者是电解液中的离子运动形成的电流。运流电流运流电流是电子、离子或其它带电粒子在真空或气体中运动形成的电流。是电子、离子或其它带电粒子在真空或气体中运动形成的电流。一、基本概念一、基本概念各向同性导电媒质：各向同性导电媒质：导电特性不因电场方向而改变的媒质导电特性不因电场方向而改变的媒质线性导电媒质：线性导电媒质：不随不随 和和 的量值而改
4、变的媒质的量值而改变的媒质 均匀导电媒质：均匀导电媒质：若媒质中若媒质中处处为常数（不随空间坐标变化），即为均匀导电媒质处处为常数（不随空间坐标变化），即为均匀导电媒质本讲稿第三页，共二十三页 电流强度：电流强度：单位时间内穿过某一截面的电量，又简称为电流，以单位时间内穿过某一截面的电量，又简称为电流，以 I 表示。表示。电流的单位为电流的单位为A（安培安培）。因此，电流因此，电流 I 与电荷与电荷 q 的关系为的关系为 电流密度：电流密度：是一个矢量，以是一个矢量，以 表示。电流密度的方向为表示。电流密度的方向为正正电荷的运动电荷的运动方向，其大小为单位时间内方向，其大小为单位时间内垂直垂直
5、穿过导体单位面积的电荷量。穿过导体单位面积的电荷量。因此，穿过任一有向面元因此，穿过任一有向面元 的电流的电流 dI 与电流密度与电流密度 的关系为的关系为 二、电流密度二、电流密度 与电场强度与电场强度 的关系的关系本讲稿第四页，共二十三页那么，穿过任一截面那么，穿过任一截面 S 的电流的电流 I 为为此式表明，此式表明，穿过某一截面的电流等于穿过该截面电流密度的穿过某一截面的电流等于穿过该截面电流密度的通量通量。式中式中 称为电导率，其单位为称为电导率，其单位为 S/m。值愈大表明导电能力愈强，即使在微值愈大表明导电能力愈强，即使在微弱的电场作用下，也可形成很强的电流。弱的电场作用下，也可
6、形成很强的电流。上式又称为欧姆定律上式又称为欧姆定律 的微分形式。的微分形式。实实验验表表明明，多多数数导导电电媒媒质质中中某某点点的的传传导导电电流流密密度度 与与该该点点的的电电场场强强度度 成成正正比，即比，即本讲稿第五页，共二十三页 电导率为无限大的导体称为电导率为无限大的导体称为理想导体理想导体。显然，在理想导电体中，无需电场推动即可形。显然，在理想导电体中，无需电场推动即可形成电流。由上式可见，成电流。由上式可见，在理想导电体中是不可能存在恒定电场的，否则，将会产生在理想导电体中是不可能存在恒定电场的，否则，将会产生无限大的电流，从而产生无限大的能量。无限大的电流，从而产生无限大的
7、能量。但是，任何能量总是有限的。但是，任何能量总是有限的。电导率为零的媒质，不具有导电能力，这种媒质称为电导率为零的媒质，不具有导电能力，这种媒质称为理想介质理想介质。媒媒 质质电导率电导率(S/m)媒媒 质质电导率电导率(S/m)银银海海 水水4紫紫 铜铜淡淡 水水金金干干 土土铝铝变压器油变压器油黄黄 铜铜玻玻 璃璃铁铁橡橡 胶胶本讲稿第六页，共二十三页式中式中 为电荷密度。为电荷密度。运流电流运流电流的电流密度并不与电场强度成正比，而且电流密度的方向与电场的电流密度并不与电场强度成正比，而且电流密度的方向与电场强度的方向也可能不同强度的方向也可能不同。可以证明。可以证明运流电流的电流密度
8、运流电流的电流密度 与运动速度与运动速度 的关系的关系为为 三、运流电流的电流密度三、运流电流的电流密度 与电荷密度与电荷密度和运动速度和运动速度 的关系的关系 在电流区域一观察点附近，取一体元在电流区域一观察点附近，取一体元 ，其中运动正电荷密度，其中运动正电荷密度为为，运动速度为，运动速度为 ，取，取 、和和 的方向一致，在时间的方向一致，在时间dt内穿出内穿出 的运动正的运动正电荷量为电荷量为 由于由于本讲稿第七页，共二十三页又因又因 和和 方向相同，所以有方向相同，所以有 与介质的极化特性一样，媒质的导电性能也表现出与介质的极化特性一样，媒质的导电性能也表现出均匀均匀与与非非均匀均匀，
9、线性线性与与非线性非线性以及以及各向同性各向同性与与各向异性各向异性等特点，因而，此式等特点，因而，此式仅适用于仅适用于各向同性的线性导电媒质各向同性的线性导电媒质。本讲稿第八页，共二十三页4-2 电动势电动势 如如图图所所示示，首首先先将将外外接接的的导导电电媒媒质质移移去去，讨讨论论开开路路情情况况下下外外源源内内部部的的作作用用过过程。程。在外源中在外源中非静电力非静电力作用下，正电荷不断地移向正极板作用下，正电荷不断地移向正极板 P，负电荷不断地移向负极板，负电荷不断地移向负极板 N。极板上的电荷在外源中形成电。极板上的电荷在外源中形成电场场 E，其方向由正极板指向负极板，而且随着极板
10、上电荷，其方向由正极板指向负极板，而且随着极板上电荷的增加不断增强。的增加不断增强。E导电媒质PNE外 源 显然，由极板上电荷产生的电场力阻止正电荷继续向显然，由极板上电荷产生的电场力阻止正电荷继续向正极板移动，同时也阻止负电荷继续向负极板移动，一直到正极板移动，同时也阻止负电荷继续向负极板移动，一直到极板电荷产生的电场力等于外源中的非电力时，外源的电荷极板电荷产生的电场力等于外源中的非电力时，外源的电荷运动方才停止，极板上的电荷也就保持恒定。运动方才停止，极板上的电荷也就保持恒定。一、电动势一、电动势本讲稿第九页，共二十三页 既然外源中的非静电力表现为对于电荷的作用力，因此，通常认为这种既然
11、外源中的非静电力表现为对于电荷的作用力，因此，通常认为这种非静电力非静电力是由外源中存在的是由外源中存在的外电场外电场产生的，其电场强度仍然定义为对于单位正产生的，其电场强度仍然定义为对于单位正电荷的作用力，以电荷的作用力，以 E表示。由于表示。由于外电场使正电荷移向正极板外电场使正电荷移向正极板，负电荷移向负负电荷移向负极板极板，因此，因此，外电场的方向由负极板指向正极板外电场的方向由负极板指向正极板。可见，。可见，在外源中外电场在外源中外电场 E 的方向与极板电荷形成的电场的方向与极板电荷形成的电场 E 的方向恰好相反。的方向恰好相反。当外源中的外电场与极当外源中的外电场与极板电荷的电场等
12、值反向时，板电荷的电场等值反向时，外源中合成电场为零外源中合成电场为零，电荷运动停止。，电荷运动停止。若外源的极板之间接上导电媒质，正极板上的正电荷通过导电媒质移向负极板；负若外源的极板之间接上导电媒质，正极板上的正电荷通过导电媒质移向负极板；负极板上的负电荷通过导电媒质移向正极板。因而导致极板上电荷减少，使得外源中由极极板上的负电荷通过导电媒质移向正极板。因而导致极板上电荷减少，使得外源中由极板电荷形成的电场板电荷形成的电场 E 小于外电场，外电场又使外源中的正负电荷再次移动，小于外电场，外电场又使外源中的正负电荷再次移动，外源不断地向正极板补充新的正电荷，向负极板补充新的负电荷。外源不断地
13、向正极板补充新的正电荷，向负极板补充新的负电荷。本讲稿第十页，共二十三页 由上可见，极板上的电荷通过导电媒质不断流失，外源又不断地向极板补充新由上可见，极板上的电荷通过导电媒质不断流失，外源又不断地向极板补充新电荷，从而维持了连续不断的电流。因此，电荷，从而维持了连续不断的电流。因此，为了在导电媒质中产生连续不断的电流，为了在导电媒质中产生连续不断的电流，必须依靠必须依靠外源外源。当达到当达到动态平衡动态平衡时，极板上的电荷分布保持不变。这样，极板时，极板上的电荷分布保持不变。这样，极板电荷在外源中以及在导电媒质中产生电荷在外源中以及在导电媒质中产生恒定电场恒定电场，且在外源内部保持，且在外源
14、内部保持 ，在包括外源及导电媒质的整个回路中维持恒定的电流。，在包括外源及导电媒质的整个回路中维持恒定的电流。注意，极板上的电荷分布虽然不变，但是极板上的电荷并不是静止的。注意，极板上的电荷分布虽然不变，但是极板上的电荷并不是静止的。它们是在不断地更替中保持分布特性不变，因此，这种电荷称为它们是在不断地更替中保持分布特性不变，因此，这种电荷称为驻立电荷驻立电荷。驻。驻立电荷是在外源作用下形成的，一旦外源消失，驻立电荷也将随之逐渐消失。立电荷是在外源作用下形成的，一旦外源消失，驻立电荷也将随之逐渐消失。本讲稿第十一页，共二十三页 外电场由负极板外电场由负极板 N 到正极板到正极板 P 的线积分称
15、为外源的的线积分称为外源的电动势电动势，以，以e 表示，即表示，即 达到动态平衡时，在外源内部达到动态平衡时，在外源内部 ，所以上式又可写为，所以上式又可写为 考虑到导电媒质中，考虑到导电媒质中，那么，上式可写成，那么，上式可写成 驻驻立立电电荷荷产产生生的的恒恒定定电电场场与与静静止止电电荷荷产产生生的的静静电电场场一一样样，也也是是一一种种保保守场。因此，它沿任一闭合回路的线积分应为零，即守场。因此，它沿任一闭合回路的线积分应为零，即二、均匀导电媒质中恒定电流场的电流二、均匀导电媒质中恒定电流场的电流 本讲稿第十二页，共二十三页对于对于均匀导电媒质均匀导电媒质，上式变为，上式变为 根据根据
16、斯托克斯定理斯托克斯定理，求得上两式的微分形式如下：，求得上两式的微分形式如下：可见，可见，均匀导电媒质中，恒定电流场是无旋的均匀导电媒质中，恒定电流场是无旋的。本讲稿第十三页，共二十三页4-3 恒定电流场恒定电流场设闭合面设闭合面 S 包围的体积包围的体积 V 中中驻立电荷驻立电荷的体密度为的体密度为 ，则，则那么，那么，已知已知恒定电流场恒定电流场中的电荷分布与时间无关，即中的电荷分布与时间无关，即 ，由此得，由此得 此此式式表表明明，在在恒恒定定电电流流场场中中，电电流流密密度度通通过过任任一一闭闭合合面面的的通通量量为为零零。如如果果以以一一系系列列的的曲曲线线描描述述电电流流场场，令
17、令曲曲线线上上各各点点的的切切线线方方向向表表示示该该点点电电流流密密度度的的方方向向，这这些些曲曲线线称称为为电电流流线线。那那么么，电电流流线线是是连连续续闭闭合合的的。它它和和电电场场线线不不同同，电电流流线线没没有有起起点点和和终终点，这一结论称为点，这一结论称为电流连续性原理电流连续性原理。电流连续性原理电流连续性原理本讲稿第十四页，共二十三页根据高斯定理，求得根据高斯定理，求得 上式为电荷守恒原理的微分形式。因此，对于恒定电流场，得上式为电荷守恒原理的微分形式。因此，对于恒定电流场，得此式表明，此式表明，恒定电流场是无散的恒定电流场是无散的。已知导电媒质中的传导电流已知导电媒质中的
18、传导电流 ，代入上式，得，代入上式，得即即 对于介电常数为对于介电常数为 的均匀各向同性导电媒质的均匀各向同性导电媒质式中式中 为驻立电荷的体密度。为驻立电荷的体密度。恒定电流场的无散性恒定电流场的无散性本讲稿第十五页，共二十三页于是有于是有 此式说明，此式说明，当导电媒质的电导率不均匀时，存在驻立电荷的体分布当导电媒质的电导率不均匀时，存在驻立电荷的体分布。在电导。在电导率均匀的导电媒质中电导率的梯度为零，驻立电荷的体密度为零，这说明，率均匀的导电媒质中电导率的梯度为零，驻立电荷的体密度为零，这说明，均匀导电媒质均匀导电媒质中的驻立电荷只能分布在导电媒质的表面上中的驻立电荷只能分布在导电媒质
19、的表面上。由由 ，和和 可推得可推得于是可求得于是可求得 其中常数其中常数 为为弛豫时间弛豫时间，它决定了电荷体密度衰减的快慢。良导，它决定了电荷体密度衰减的快慢。良导体的弛豫时间一般非常短暂，如铜的弛豫时间大约为体的弛豫时间一般非常短暂，如铜的弛豫时间大约为1.5210-19s。良好的绝良好的绝缘介质，其弛豫时间则有可能长达几小时或几天。弛豫时间也可以代表导体达到静缘介质，其弛豫时间则有可能长达几小时或几天。弛豫时间也可以代表导体达到静电平衡过程所需的时间。电平衡过程所需的时间。本讲稿第十六页，共二十三页4-4 恒定电流场的边界条件恒定电流场的边界条件 由由积积分分形形式式的的恒恒定定电电流
20、流场场方方程程导导出出边边界界两两侧侧电电流密度的流密度的切向分量切向分量关系为：关系为：而边界两侧电流密度的而边界两侧电流密度的法向分量法向分量关系为关系为 即即 因此恒定电流场的边界条件为因此恒定电流场的边界条件为 在恒定电流场中有在恒定电流场中有对应的微分形式为对应的微分形式为即即已知恒定电流场方程的积分形式为已知恒定电流场方程的积分形式为 或或和和本讲稿第十七页，共二十三页 由由此此可可见见，在在恒恒定定电电流流场场中中不不同同导导电电媒媒质质分分界界面面两两侧侧的的电电场场强强度度切切向向分分量量连连续续，但但其其法向分量不连续；而电流密度的法向分量连续，但其切向分量不连续。法向分量
21、不连续；而电流密度的法向分量连续，但其切向分量不连续。已已知知理理想想导导电电体体内内部部不不可可能能存存在在电电场场，那那么么，理理想想导导电电体体表表面面不不可可能能存存在在切切向向电电场场，因因而而也也不不可可能能存存在在切切向向恒恒定定电电流流。当当电电流流由由理理想想导导电电体体流流出出进进入入一一般般导导电电媒质时，电流线总是垂直于理想导电体表面媒质时，电流线总是垂直于理想导电体表面。应用边界条件，可得分界面处的应用边界条件，可得分界面处的折射定理折射定理 在恒定电场中，在恒定电场中，分界面处用电位表示的边界条件为分界面处用电位表示的边界条件为 本讲稿第十八页，共二十三页讨论：讨论
22、：1)1)两种导电媒质两种导电媒质在，如聚乙烯的电导率为在，如聚乙烯的电导率为10-10数量级，由数量级，由 当一种导电媒质为不良导体当一种导电媒质为不良导体 ，另一种导，另一种导电媒质为良导体，若电电导率电媒质为良导体，若电电导率 ，如同轴，如同轴线的内外导体通常由电导率很高线的内外导体通常由电导率很高(107 数量级数量级)的的铜或铝制成，填充在两导体间的材料不可能是铜或铝制成，填充在两导体间的材料不可能是理理想的绝缘电介质想的绝缘电介质,总有很小的漏电导存总有很小的漏电导存得得 当当12，第第一一种种媒媒质质为为良良导导体体，第第二二种种媒媒质质为为不不良良导导体体时时，只只要要1/2,
23、20，即即在在不不良良导导体体中中，电电力力线线近近似似地与界面垂直，这时可将良导体的表面近似地看作等位面。地与界面垂直，这时可将良导体的表面近似地看作等位面。本讲稿第十九页，共二十三页2 2）理想介质与良导体）理想介质与良导体由于由于所以有所以有 因因此此，E2不不垂垂直直导导体体表表面面,导导体体表表面面不不是是等等位位面面,导导体体也也不不是是等等位位体体,这这是是由由于于1有有限限,导导体体中中沿沿电电流流方方向向存存在在电电场场。而而在在静静电电场场中中,导导体体内内电电场场强强度度为为零零,介介质质中中的的场场强强总总是是垂垂直直导导体体表表面面,导导体体是是等等位位体体,其其表表
24、面面是是等等位位面面。在在这这一一点点,恒恒定定电电场场与与静静电电场场有有根根本本的的区区别别。易知，在均匀导体内易知，在均匀导体内电流沿平行于导体表面流动电流沿平行于导体表面流动。本讲稿第二十页，共二十三页3)载恒定电流的均匀导电媒质内部无（体）电荷存在载恒定电流的均匀导电媒质内部无（体）电荷存在即即，载载恒恒定定电电流流的的均均匀匀导导电电媒媒质质内内部部无无（体体）电电荷荷存存在在，电电荷荷分分布布在在载载流流导导体体的表面。的表面。4）有电流流过两种导电媒质分界面时界面的电荷有电流流过两种导电媒质分界面时界面的电荷 当当恒恒定定电电流流通通过过电电导导率率不不同同的的两两导导电电媒媒质质时时,其其电电流流密密度度和和电电场场强强度度要要发发生生突变。故突变。故分界面上必有电荷分布分界面上必有电荷分布。本讲稿第二十一页，共二十三页分界面上的面电荷密度分界面上的面电荷密度当当 时，时，分界面上的面电荷密度为零。分界面上的面电荷密度为零。可可见见,在在两两种种导导电电媒媒质质分分界界面面上上一一般般有有一一层层自自由由电电荷荷分分布布。如如果果导导电电媒媒质质不不均均匀匀,在媒质中还会有体电荷的存在。在媒质中还会有体电荷的存在。作业作业：4-4、4-11本讲稿第二十二页，共二十三页本讲稿第二十三页，共二十三页