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1、空间向量及其加减与数乘运算用本讲稿第一页，共三十一页平面向量平面向量空间向量空间向量具有大小和方向的量具有大小和方向的量具有大小和方向的量具有大小和方向的量 几何表示法几何表示法几何表示法几何表示法字母表示法字母表示法 字母表示法字母表示法 向量的大小向量的大小 向量的大小向量的大小 长度为零的向量长度为零的向量 长度为零的向量长度为零的向量模为模为1的向量的向量模为模为1的向量的向量长度相等且方向长度相等且方向相反的向量相反的向量长度相等且方向长度相等且方向相反的向量相反的向量长度相等且方向相同长度相等且方向相同 的的向量向量长度相等且方向相同的向长度相等且方向相同的向量量定义定义表示法表示
2、法向量的模向量的模零向量零向量单位向量单位向量相反向量相反向量相等向量相等向量一：空间向量的基本概念一：空间向量的基本概念本讲稿第二页，共三十一页ababOABb结论结论：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，内，成为同一平面内的两个向量。内，成为同一平面内的两个向量。思考：思考：空间任意两个向量是否都可以平移到同一平空间任意两个向量是否都可以平移到同一平面内？为什么？面内？为什么？O本讲稿第三页，共三十一页说明空间向量的运算就是平面向量运算的推广空间向量的运算就是平面向量运算的推广2.凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有凡是只涉及空间
3、任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。关结论仍适用于它们。本讲稿第四页，共三十一页加法交换律加法交换律加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则加法结合律加法结合律本讲稿第五页，共三十一页例如例如:三、空间向量的数乘运算本讲稿第六页，共三十一页四、空间向量加法与数乘向量运算律加法交换律：加法交换律：a+b=b+a；加法结合律：加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；abca+b+c abca+b+c a+b b+c 本讲稿第七页，共三十一页（3）.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律空间向量的数乘运算满足分配律及结合律本讲稿第八页，共三十一页五、共线向量五、共线向量:零
4、向量与任意向量共线零向量与任意向量共线.1.1.空间共线向量空间共线向量:如果表示空间向量的如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合有向线段所在直线互相平行或重合,则这些则这些向量叫做共线向量向量叫做共线向量(或平行向量或平行向量),),记作记作2.2.空间共线向量定理空间共线向量定理:对空间任意两个对空间任意两个向量向量 的充要条件是存在实数使的充要条件是存在实数使由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题本讲稿第九页，共三十一页中点公式：中点公式：若若P P为为ABAB中点中点,则则OABP3.A、B、P三点共线的充要条件三点共线的充要条件A、
5、B、P三点共线三点共线本讲稿第十页，共三十一页六、共面向量六、共面向量:1.1.共面向量共面向量:平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量,叫做叫做共面向量共面向量.注意：注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量三个向量既可能共面，也可能不共面既可能共面，也可能不共面dbac本讲稿第十一页，共三十一页由平面向量基本定理知，如果由平面向量基本定理知，如果 ，是平面内的两个不共线的向量，那么是平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量对于这一平面内的任意向量 ，有且只有一，有且只有一对实数对实数 ，使使 如果空间向量如果空间向量 与两不共线
6、向量与两不共线向量 ，共共面，那么可将三个向量平移到同一平面面，那么可将三个向量平移到同一平面，则，则有有 那么什么情况下三个向量共面呢？那么什么情况下三个向量共面呢？本讲稿第十二页，共三十一页反过来，对空间任意两个不共线的向量反过来，对空间任意两个不共线的向量 ，如果，如果 ，那么向量，那么向量 与向量与向量 ,有什么位有什么位置关系？置关系？C本讲稿第十三页，共三十一页2.共面向量定理共面向量定理：如果两个向量：如果两个向量 ，不共线不共线，则向量则向量 与向量与向量 ，共面的充要共面的充要条件是条件是存在实数对存在实数对x,y使使C本讲稿第十四页，共三十一页3.空间四点空间四点P、A、B
7、、C共面共面实数对实数对本讲稿第十五页，共三十一页例例1、给出以下命题：、给出以下命题：（1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同；）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同；（2）若空间向量）若空间向量 满足满足 ，则，则 ；（3）在正方体）在正方体 中，必有中，必有 ；（4）若空间向量）若空间向量 满足满足 ，则，则 ；（5）空间中任意两个单位向量必相等。）空间中任意两个单位向量必相等。其中不正确命题的个数是（其中不正确命题的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4C本讲稿第十六页，共三十一页ABCDABCD例2本讲稿第十七页，共三十一页解：ABCDABCD本讲稿第十八页，共三十一页设
8、M是线段CC的中点，则解：ABCDABCDM本讲稿第十九页，共三十一页设G是线段AC靠近点A的 三等分点，则GABCDABCDM解：本讲稿第二十页，共三十一页例3：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1本讲稿第二十一页，共三十一页例3：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1本讲稿第二十二页，共三十一页例3：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1解：本讲稿第二十三页，共三十一页例3：已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的
9、x的值。ABCDA1B1C1D1解：本讲稿第二十四页，共三十一页 1.下列命题中正确的有：下列命题中正确的有：A.1个个B.2个个C.3个个D.4个个例例4:B本讲稿第二十五页，共三十一页2.对于空间中的三个向量对于空间中的三个向量它们一定是：它们一定是：A.共面向量共面向量B.共线向量共线向量C.不共面向量不共面向量D.既不共线又不共面向量既不共线又不共面向量A本讲稿第二十六页，共三十一页3.已知点已知点M在平面在平面ABC内，并且对空间任内，并且对空间任意一点意一点O，,则则x的值为：的值为：D本讲稿第二十七页，共三十一页4.已知已知A、B、C三点不共线，对平面外一点三点不共线，对平面外一
10、点O，在下列条件下，点，在下列条件下，点P是否与是否与A、B、C共面？共面？本讲稿第二十八页，共三十一页例例5.如图，已知平行四边形如图，已知平行四边形ABCD，过平，过平面面AC外一点外一点O作射线作射线OA、OB、OC、OD，在，在四条射线上分别取点四条射线上分别取点E、F、G、H，并且使，并且使求证：求证：四点四点E、F、G、H共面；共面；平面平面EG/平面平面AC.OBAHGFECD本讲稿第二十九页，共三十一页例例5(课本例课本例)已知已知 ABCD，从平面，从平面AC外一点外一点O引向量引向量 求证：求证：四点四点E、F、G、H共面；共面；平面平面AC/平面平面EG.证明：证明：四边形四边形ABCD为为（）（）代入）代入所以所以 E、F、G、H共面。共面。本讲稿第三十页，共三十一页例例5 已知已知 ABCD，从平面，从平面AC外一点外一点O引向量引向量 求证：求证：四点四点E、F、G、H共面；共面；平面平面AC/平面平面EG。证明：证明：由面面平行判定定理的推论得：由面面平行判定定理的推论得：由由知知本讲稿第三十一页，共三十一页