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1、高观点下的初等数学选讲1第1页，此课件共16页哦一、矩阵代数（从代数的角度看变换）一、矩阵代数（从代数的角度看变换）1、定义、定义2、低阶矩阵、低阶矩阵3、零矩阵、单位矩阵与纯量矩阵（数量阵）、零矩阵、单位矩阵与纯量矩阵（数量阵）2第2页，此课件共16页哦一、矩阵代数（从代数的角度看变换）一、矩阵代数（从代数的角度看变换）4、矩阵运算、矩阵运算 （1）加法（减法）加法（减法）（2）乘法（除法？未必都有意义？何时有意义？类）乘法（除法？未必都有意义？何时有意义？类似整数除法）似整数除法）注：矩阵乘法的几何意义：变换的合成！注：矩阵乘法的几何意义：变换的合成！（3）数乘）数乘“。”（这不同于数与行
2、列式的乘法）（这不同于数与行列式的乘法）（4）转置（共轭转置）转置（共轭转置）3第3页，此课件共16页哦一、矩阵代数（从代数的角度看变换）一、矩阵代数（从代数的角度看变换）5、数域、数域F的的n*n阶矩阵（即阶矩阵（即n阶方阵，关于以阶方阵，关于以上定义的加法、乘法、数乘构成数域上定义的加法、乘法、数乘构成数域F上上的一个的一个n2维非交换，有零因子的代数，即维非交换，有零因子的代数，即运算律！）运算律！）6、可逆矩阵与矩阵求逆、可逆矩阵与矩阵求逆 （1）定义：）定义：（2）可逆阵的判定）可逆阵的判定:（3）基本性质）基本性质4第4页，此课件共16页哦一、矩阵代数（从代数的角度看变换）一、矩阵
3、代数（从代数的角度看变换）（4）可逆阵求逆法）可逆阵求逆法 （i）初等变换法）初等变换法 （ii）公式法）公式法 （iii）根据变换的几何意义求逆矩阵）根据变换的几何意义求逆矩阵 （iv）特别地）特别地n=2时时7、矩阵的特征值、特征向量与特征多项式、矩阵的特征值、特征向量与特征多项式5第5页，此课件共16页哦二、线性变换（从几何角度看变换）二、线性变换（从几何角度看变换）1、向量空间（线性空间）定义回顾、向量空间（线性空间）定义回顾 2、低维向量空间、低维向量空间 3、基与维数、基与维数 4、线性变换的定义、线性变换的定义 5、线性变换与矩阵的一一对应关系、线性变换与矩阵的一一对应关系 6第
4、6页，此课件共16页哦二、线性变换（从几何角度看变换）二、线性变换（从几何角度看变换）6、可逆线性变换的性质、可逆线性变换的性质 （1）将直线变成直线）将直线变成直线 （2）将线段变成线段）将线段变成线段 （3）将平行四边形变成平行四边形）将平行四边形变成平行四边形7第7页，此课件共16页哦三、初等数学中常见的线性变换及对应的矩阵三、初等数学中常见的线性变换及对应的矩阵1、旋转变换、旋转变换 设平面上建立了直角坐标系，所有的点绕设平面上建立了直角坐标系，所有的点绕原点沿着逆时间方向旋转同一个角度原点沿着逆时间方向旋转同一个角度，则这个变换是线性变换，求这个线性变换则这个变换是线性变换，求这个线
5、性变换及对应的矩阵及对应的矩阵2、关于原点的中心对称变换是特殊的旋转变、关于原点的中心对称变换是特殊的旋转变换换3、恒等变换是特殊的旋转变换、恒等变换是特殊的旋转变换8第8页，此课件共16页哦三、初等数学中常见的线性变换及对应的矩阵三、初等数学中常见的线性变换及对应的矩阵4、反射变换、反射变换 证明关于直线证明关于直线Ax+By=0的反射变换是线性的反射变换是线性变换，试求出该变换对应的矩阵，它是可变换，试求出该变换对应的矩阵，它是可逆矩阵吗？逆矩阵吗？9第9页，此课件共16页哦三、初等数学中常见的线性变换及对应的矩阵三、初等数学中常见的线性变换及对应的矩阵例：平面上建立了直角坐标系，直线例：
6、平面上建立了直角坐标系，直线l1,l2绕原点绕原点O，倾斜角分别是，倾斜角分别是，设，设A,B分别是表示直分别是表示直线线l1,l2的反射变换，求的反射变换，求 （1）A,B复合变换复合变换BA的矩阵的矩阵 （2）BA的复合的复合AB的矩阵的矩阵 （3）根据矩阵说明）根据矩阵说明BA,AB是什么变换？这是什么变换？这两个变换是否相同。两个变换是否相同。10第10页，此课件共16页哦5、位似变换、位似变换6、伸压变换、伸压变换7、投影变换、投影变换 注：平面上的变换注：平面上的变换T有逆变换，必须满足两个条件：有逆变换，必须满足两个条件：（1）平面上不同的点被）平面上不同的点被T变到不同的点变到
7、不同的点 （2）T将平面变到整个平面。将平面变到整个平面。（由此可知：投影变换不是可逆变换？平面变到一条直线）（由此可知：投影变换不是可逆变换？平面变到一条直线）三、初等数学中常见的线性变换及对应的矩阵三、初等数学中常见的线性变换及对应的矩阵11第11页，此课件共16页哦8、根据变换的几何意义求矩阵的逆、根据变换的几何意义求矩阵的逆思考：保持长度不变（内积不变，距离不变）思考：保持长度不变（内积不变，距离不变）的线性变换是什么变换？的线性变换是什么变换？三、初等数学中常见的线性变换及对应的矩阵三、初等数学中常见的线性变换及对应的矩阵12第12页，此课件共16页哦 1、定理、定理 2、推论、推论
8、 3、定理、定理 例例1：求下面图形的面积：求下面图形的面积 （1）平行四边形）平行四边形OABC，其中，其中A(1,1),B(-2,1)（2）三角形）三角形OAB，其中，其中A(1,1),B(-2,1)（3）平面四边形）平面四边形ABCD，其中，其中A(1,1),B(2,0),C(3,2)四、矩阵（变换）思想在有关面积求解中的应用四、矩阵（变换）思想在有关面积求解中的应用13第13页，此课件共16页哦（4）已知矩形）已知矩形OBCD的顶点的顶点A(t,0),B(0,k)，矩阵矩阵T 代表的变换个将矩形代表的变换个将矩形OABC变到图形变到图形OABC，求变换后的图形，求变换后的图形OABC与
9、变换前的图形与变换前的图形OABC的面积比。的面积比。四、矩阵（变换）思想在有关面积求解中的应用四、矩阵（变换）思想在有关面积求解中的应用14第14页，此课件共16页哦4、定理：线性变量将平面上所有的图形的面积放、定理：线性变量将平面上所有的图形的面积放大同一个倍数，这个倍数就是变换行列式的绝大同一个倍数，这个倍数就是变换行列式的绝对值。对值。例例2、求椭圆、求椭圆x2/a2+y2/b2=1（其中（其中ab0）的内接）的内接菱形的面积的最大值，以及何时取得最大值。菱形的面积的最大值，以及何时取得最大值。例例3、利用伸缩变换将某个圆变成椭圆、利用伸缩变换将某个圆变成椭圆x2/a2+y2/b2=1，利用圆面积公式得出椭圆面积公式，利用圆面积公式得出椭圆面积公式四、矩阵（变换）思想在有关面积求解中的应用四、矩阵（变换）思想在有关面积求解中的应用15第15页，此课件共16页哦谢谢！16第16页，此课件共16页哦