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1、双因素试验方差分析第1页，共33页，编辑于2022年，星期五l 双因素试验的方差分析双因素试验的方差分析 在实际应用中，一个试验结果（试验指标）往往受多个因在实际应用中，一个试验结果（试验指标）往往受多个因素的影响。不仅这些因素会影响试验结果，而且这些因素的不素的影响。不仅这些因素会影响试验结果，而且这些因素的不同水平的搭配也会影响试验结果。同水平的搭配也会影响试验结果。例如：某些合金，当单独加入元素例如：某些合金，当单独加入元素A或元素或元素B时，时，性能变化不大，但当同时加入元素性能变化不大，但当同时加入元素A和和B时，合金性时，合金性能的变化就特别显著。能的变化就特别显著。统计学上把多因
2、素不同水平搭配对试验指标的统计学上把多因素不同水平搭配对试验指标的影响称为交互作用。交互作用在多因素的方差分析影响称为交互作用。交互作用在多因素的方差分析中，把它当成一个新因素来处理。中，把它当成一个新因素来处理。我们只学习两个因素的方差分析，更多因素的我们只学习两个因素的方差分析，更多因素的问题，用正交试验法比较方便。问题，用正交试验法比较方便。第2页，共33页，编辑于2022年，星期五无交互作用的双因素试验的方差分析无交互作用的双因素试验的方差分析 数学模型数学模型 假设某个试验中，有两个可控因素在变化，因素假设某个试验中，有两个可控因素在变化，因素A有有a个水平，记作个水平，记作A1，A
3、2，Aa；因素；因素B有有b个水平，记作个水平，记作B1，B2，.Bb；则；则A与与B的不同水平组合的不同水平组合AiBj（i=1，2，a；j=1，2，b）共有）共有ab个，每个水平组合称为一个处个，每个水平组合称为一个处理，每个处理只作一次试验，得理，每个处理只作一次试验，得ab个观测值个观测值Xij，得双因素，得双因素无重复实验表无重复实验表第3页，共33页，编辑于2022年，星期五双因素无重复（无交互作用）试验资料表双因素无重复（无交互作用）试验资料表因素因素 A因素因素 B第4页，共33页，编辑于2022年，星期五 无交互作用的双因素试验的方差分析无交互作用的双因素试验的方差分析线性统
4、计模型线性统计模型 基本假设（基本假设（1）相互独立；相互独立；（2），（方差齐性）。，（方差齐性）。其中其中 所有期望值的所有期望值的总平均总平均 水平水平Ai对试验结果的效应对试验结果的效应 水平水平Bj对试验结果的效应对试验结果的效应 试验误差试验误差 第5页，共33页，编辑于2022年，星期五特性：特性：水平水平Ai对试验结果的效应对试验结果的效应 水平水平Bj对试验结果的效应对试验结果的效应 试验误差试验误差 要分析因素要分析因素A，B的差异对试验结果是否有显著的差异对试验结果是否有显著影响，即为检验如下假设是否成立：影响，即为检验如下假设是否成立：第6页，共33页，编辑于2022年
5、，星期五 总离差平方和的分解定理总离差平方和的分解定理仿单因素方差分析的方法，考察总离差平方和仿单因素方差分析的方法，考察总离差平方和可分解为：可分解为：称为因素称为因素A的离差平方和，的离差平方和，反映因素反映因素 A 对试验指标的影响。对试验指标的影响。称为因素称为因素B的离差平方和，的离差平方和，反映因素反映因素 B 对试验指标的影响。对试验指标的影响。称为误差平方和，反映试验误差对试验指标的影响。称为误差平方和，反映试验误差对试验指标的影响。第7页，共33页，编辑于2022年，星期五可推得：可推得：将将 的自由度分别记作的自由度分别记作，则，则若假设若假设 成立，则：成立，则：第8页，
6、共33页，编辑于2022年，星期五对给定的检验水平对给定的检验水平 ，F 右侧检验右侧检验时，时，当当时，时，当当拒绝拒绝H01，即，即A 因素的影响有统计意义。因素的影响有统计意义。拒绝拒绝H02，即，即B 因素的影响有统计意义。因素的影响有统计意义。第9页，共33页，编辑于2022年，星期五双因素（无交互作用）试验的方差分析表双因素（无交互作用）试验的方差分析表方差来源方差来源因素因素A总和总和平方和平方和 自由度自由度均方和均方和F 值值F 值临介值值临介值因素因素B误差误差注意注意 各因素离差平方和的自由度为水平数减一，总平方和的各因素离差平方和的自由度为水平数减一，总平方和的自由度为
7、试验总次数减一。自由度为试验总次数减一。第10页，共33页，编辑于2022年，星期五双因素（无交互作用）试验的方差分析表双因素（无交互作用）试验的方差分析表简便计算式：简便计算式：其中：其中：第11页，共33页，编辑于2022年，星期五例例1 设甲、乙、丙、丁四个工人操作机器设甲、乙、丙、丁四个工人操作机器、各一天，各一天，其产品产量如下表，问工人和机器对产品产量是否有显著其产品产量如下表，问工人和机器对产品产量是否有显著 影响？影响？工人工人 A机器机器 B甲甲 乙乙 丙丙 丁丁 第12页，共33页，编辑于2022年，星期五解解 基本计算如原表基本计算如原表 第13页，共33页，编辑于202
8、2年，星期五 结论：工人对产品的产量有显著影响，结论：工人对产品的产量有显著影响，机器对产品的产量有极显著影响。机器对产品的产量有极显著影响。第14页，共33页，编辑于2022年，星期五例例1的上机操作的上机操作对应例对应例1 的数据输入方式的数据输入方式原始数据，行因素水平，列因素水平原始数据，行因素水平，列因素水平第15页，共33页，编辑于2022年，星期五第16页，共33页，编辑于2022年，星期五第17页，共33页，编辑于2022年，星期五*在在 下接受，在下接受，在 下否决下否决在在 下否决下否决（A）（B）工人对产品产量有显著影响，而机器对产品产量的影响工人对产品产量有显著影响，而
9、机器对产品产量的影响极极显著。显著。第18页，共33页，编辑于2022年，星期五 有交互作用的双因素试验的方差分析有交互作用的双因素试验的方差分析线性统计模型线性统计模型 基本假设（基本假设（1）相互独立；相互独立；（2），（方差齐性）。，（方差齐性）。有检验交互作用的效应，则两因素有检验交互作用的效应，则两因素A，B的不同水的不同水平的搭配必须作重复试验。平的搭配必须作重复试验。处理方法：把交互作用当成一个新因素来处理，处理方法：把交互作用当成一个新因素来处理，即把每种搭配即把每种搭配AiBj看作一个总体看作一个总体Xij。观测值观测值总平均总平均 因素因素A的效应的效应 因素因素B的效应的
10、效应 交互作用交互作用的效应的效应 试验误差试验误差 第19页，共33页，编辑于2022年，星期五 有交互作用的双因素试验的方差分析有交互作用的双因素试验的方差分析线性统计模型线性统计模型 其中其中 所有期望值的总平均所有期望值的总平均 水平水平Ai对试验结果的效应对试验结果的效应 水平水平Bj对试验结果的效应对试验结果的效应 试验误差试验误差 交互效应交互效应 第20页，共33页，编辑于2022年，星期五特性：特性：要判断因素要判断因素A，B及交互作用及交互作用A B对试验结果是否对试验结果是否有显著影响，即为检验如下假设是否成立：有显著影响，即为检验如下假设是否成立：第21页，共33页，编
11、辑于2022年，星期五 总离差平方和的分解定理总离差平方和的分解定理仿单因素方差分析的方法，考察总离差平方和仿单因素方差分析的方法，考察总离差平方和可分解为：可分解为：SSA称为因素称为因素A的离差平方和，反映因素的离差平方和，反映因素 A 对试验指标对试验指标的影响。的影响。SSB称为因素称为因素B的离差平方和，反映因素的离差平方和，反映因素 B 对试验指标的影响。对试验指标的影响。SSA B称为交互作用的离差平方和，称为交互作用的离差平方和，反映交互作用反映交互作用A B对试验指标的影响。对试验指标的影响。SSE称为误差平方和，称为误差平方和，反映试验误差对试验指标的影响。反映试验误差对试
12、验指标的影响。第22页，共33页，编辑于2022年，星期五 若若“各因素、各水平及其交互作用的影响无统计意义各因素、各水平及其交互作用的影响无统计意义”的假设的假设 成立，则成立，则 则则可推得：可推得：由由 作右侧假设检验来考察各因素及因素作右侧假设检验来考察各因素及因素间的交互作用对试验指标的影响力间的交互作用对试验指标的影响力.第23页，共33页，编辑于2022年，星期五双因素有重复（有交互作用）试验资料表双因素有重复（有交互作用）试验资料表因素因素 A因素因素 B第24页，共33页，编辑于2022年，星期五双因素（有重复）试验方差分析表双因素（有重复）试验方差分析表方差来源方差来源因素
13、因素A总和总和平方和平方和 自由度自由度均方和均方和F 值值F 值临介值值临介值因素因素B误差误差各离差平方和的计算公式参看出各离差平方和的计算公式参看出P180_181这里这里第25页，共33页，编辑于2022年，星期五例例3 P183 例题例题2因素因素A（能量）（能量）因素因素 B（蛋白质）（蛋白质）第26页，共33页，编辑于2022年，星期五输入数据时，输入数据时，C2表示行因素表示行因素水平，水平，C3表示列因素水平。表示列因素水平。第几次重复不必列明，软件第几次重复不必列明，软件自会识别。自会识别。第27页，共33页，编辑于2022年，星期五第28页，共33页，编辑于2022年，星
14、期五第29页，共33页，编辑于2022年，星期五第30页，共33页，编辑于2022年，星期五结果显示如结果显示如P185均均0.01饲料中能量的高低、蛋白质含量的不同饲料中能量的高低、蛋白质含量的不同及两者的交互作用对鱼的体重的影响极及两者的交互作用对鱼的体重的影响极有统计意义。有统计意义。第31页，共33页，编辑于2022年，星期五各因素，各水平，各交互作用下的均值。各因素，各水平，各交互作用下的均值。第32页，共33页，编辑于2022年，星期五作业作业 P195 3 4（借助软件完成）（借助软件完成）预习第三节预习第三节 正交试验设计正交试验设计 及其统计分析及其统计分析 第33页，共33页，编辑于2022年，星期五