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1、因素模型与套利定价理论第1页，共46页，编辑于2022年，星期五第第 一节一节 因素模型因素模型 一、单因素模型的起因 假定公司收益的不确定性只有以上两种来源，即对所有公司都有影响的宏观经济因素和单个公司特有的因素，这样就可以把公司的持有期收益率写成如下形式：（6-1）其中，为该证券在持有期期初时的期望收益率，为持有期间非预期的宏观经济事件对证券收益率的影响，为非预期的公司特有事件对证券收益率的影响。2第2页，共46页，编辑于2022年，星期五将非预期的宏观经济因素记为F，并假设不同公司对该因素有不同的敏感度，记为 i，上式演变成：（6-2）公司收益率的方差为：（6-3）不同公司收益率之间的协
2、方差为：（6-4）第3页，共46页，编辑于2022年，星期五 二、单指数模型 Sharpe用股票指数的收益率代替了单因素模型中的宏观影响因素，称为单指数模型：（6-5）写成风险溢价或者超额收益的形式，可以得到：（6-6）或者写成 （6-7）4第4页，共46页，编辑于2022年，星期五求出股票i的收益和市场指数收益之间的协方差为 （6-8）如果对（6-8）两边取期望，我们可以得到 （6-9）第5页，共46页，编辑于2022年，星期五三、多因素模型两因素模型为例，假设宏观经济风险主要来源于经济周期和利率的变化。这样以来，我们就能用 GDP的增长率和利率水平来衡量系统性风险。任何股票的收益率将同时受
3、到这两个因素以及公司自身特有因素的影响，可以将其写成:（6-10）其中，为因子载荷。第6页，共46页，编辑于2022年，星期五例：使用多因素模型来进行风险评估例：使用多因素模型来进行风险评估n以东北航空公司为例，其两因素模型估计结果如下：以东北航空公司为例，其两因素模型估计结果如下：n r=0.133+1.2GDP-0.3IR+e r=0.133+1.2GDP-0.3IR+ei i n这说明基于现有的信息，东北航空公司的期望收益率为这说明基于现有的信息，东北航空公司的期望收益率为13.3%13.3%，但如果，但如果在预期的基础上在预期的基础上GDPGDP每增加一个百分点，股每增加一个百分点，股
4、票的收益率将增加票的收益率将增加1.2%1.2%，但是对于非预期的利率每增加一，但是对于非预期的利率每增加一个百分点，股票收益率将降低个百分点，股票收益率将降低0.3%0.3%。第7页，共46页，编辑于2022年，星期五多因素证券市场线多因素证券市场线n 多因素模型仅是用来描述影响证券收益的因素。可多因素模型仅是用来描述影响证券收益的因素。可是，是，E(r)从哪儿来？从哪儿来？在两因素经济中，风险能够用式（在两因素经济中，风险能够用式（6-10）衡量，证）衡量，证券的期望收益率是以下三项之和：券的期望收益率是以下三项之和：1)无风险收益率；无风险收益率；2)对对GDP风险的敏感度乘以风险的敏感
5、度乘以GDP风险的风险溢价；风险的风险溢价；3)对利率对利率IR风险的敏感度乘以风险的敏感度乘以IR风险溢价。风险溢价。根据资本资产定价模型：根据资本资产定价模型：第8页，共46页，编辑于2022年，星期五多因素证券市场线多因素证券市场线 E(r)=rf+E(rM)-rf （6-11）若以若以RPM来表示市场组合的风险溢价，那么式（来表示市场组合的风险溢价，那么式（6-11）可）可以变换为：以变换为：E(r)=rf+RPM (6-12)(6-13)式中式中GDP表示证券收益对不可预测的表示证券收益对不可预测的GDP增长的敏感度，增长的敏感度，RPGDP指和指和GDP相关的一个单位风险溢价。相关
6、的一个单位风险溢价。显然，多因素模型提供了一个比单指数模型或显然，多因素模型提供了一个比单指数模型或CAMP更丰富更丰富多彩的方法来处理风险补偿。多彩的方法来处理风险补偿。第9页，共46页，编辑于2022年，星期五例：多因素证券市场线例：多因素证券市场线n上例中，东北航空公司上例中，东北航空公司GDP的的为为1.2，利率的，利率的为为-0.3，假设，假设GDP单位单位风险的风险溢价为风险的风险溢价为6%，利率单位风险的风险溢价为，利率单位风险的风险溢价为-7%，假设无风险，假设无风险利率为利率为4%，公司股票的收益率，公司股票的收益率是多少呢？是多少呢？n 4.0%无风险利率无风险利率n +1
7、.2*6%+GDP风险的风险溢价风险的风险溢价n +(-.3)*(-7%)+利率风险的风险溢价利率风险的风险溢价n总计：总计：13.3%总收益总收益n 用（用（10-5）式计算的结果：）式计算的结果：n E(r)=4%+1.2*6%+(-0.3)*(-7%)=13.3%第10页，共46页，编辑于2022年，星期五例题例题n假定假定F1与与F2为两个独立的经济因素。无风险利率为为两个独立的经济因素。无风险利率为6%，并且，所有的，并且，所有的股票都有独立的企业特有股票都有独立的企业特有(风险风险)因素，其标准差为因素，其标准差为4 5%。下面是优化的资产。下面是优化的资产组合。组合。资产组合资产
8、组合 F1的贝塔值的贝塔值 F2的贝塔值的贝塔值 期望收益率期望收益率 A 1.5 2.0 3 1 B 2.2 -0.2 2 7 在这个经济体系中，试计算期望收益在这个经济体系中，试计算期望收益-贝塔的关系如何？贝塔的关系如何？第11页，共46页，编辑于2022年，星期五第12页，共46页，编辑于2022年，星期五 套利，利用证券定价之间的不一致进行资金转移，从中赚取无风险利润的行为称为套利。粗略地讲就是指投资者以零投资，在不承担任何风险的情况下，获取正收益的投资行为。套利过程中所构造的投资组合就被称为套利组合。具体来说，套利机会可以分为两类，第一类套利我们又称为强套利（Strong Arbi
9、trage），它是指投资组合在期初有严格负的价格，但是却能在未来提供非负的收益。第二类套利是指投资组合在期初的价格为零，但是在未来却能获得非负且不等于零的收益。第第 二节二节 套利与套利组合套利与套利组合第13页，共46页，编辑于2022年，星期五套利的特点是：套利的特点是：1）无投资需要）无投资需要,投资者可建立大的头寸来获取高利润；投资者可建立大的头寸来获取高利润；2）在有效市场内）在有效市场内,有利的套利机会会很快消失。有利的套利机会会很快消失。套利定价理论的三个基本假设：套利定价理论的三个基本假设：1）因素模型能描述证券收益；）因素模型能描述证券收益；2）市场有足够多的证券来分散非系统
10、风险；）市场有足够多的证券来分散非系统风险；3）完善的证券市场不允许有持续性的套利机会。）完善的证券市场不允许有持续性的套利机会。14第14页，共46页，编辑于2022年，星期五套利定价理论简介套利定价理论简介 罗斯（罗斯（Ross，1976）给出了一个以无风险套利定价为基础的多因素资产）给出了一个以无风险套利定价为基础的多因素资产定价模型，也称套利定价理论模型（定价模型，也称套利定价理论模型（Arbitrage Pricing Theory，APT）。）。该模型由一个多因素收益生成函数推导而出，其理论基础为该模型由一个多因素收益生成函数推导而出，其理论基础为一价定律一价定律（The Law
11、of One Price），即），即两种风险收益性质相同的资产不能按不同价格出售两种风险收益性质相同的资产不能按不同价格出售。该模型推导出的资产收益率决定于一系列影响资产收益的因素，而不完全该模型推导出的资产收益率决定于一系列影响资产收益的因素，而不完全依赖于市场资产组合，而套利活动则保证了市场均衡的实现。依赖于市场资产组合，而套利活动则保证了市场均衡的实现。同时，同时，APT对对CAPM中的投资者风险厌恶的假设条件作了放松，从而中的投资者风险厌恶的假设条件作了放松，从而较较CAPM具有更强的现实解释能力。具有更强的现实解释能力。第15页，共46页，编辑于2022年，星期五套利与均衡套利与均衡
12、n套利与风险收益的支配性观点相比较，两者在支持均衡价格关套利与风险收益的支配性观点相比较，两者在支持均衡价格关系上存在重要区别：系上存在重要区别：n一个支配性的观点认为，当均衡关系被打破时，许多投资一个支配性的观点认为，当均衡关系被打破时，许多投资者将改变他们的组合，虽然每一个投资者将根据其风险厌者将改变他们的组合，虽然每一个投资者将根据其风险厌恶程度只进行有限的改变，但这许多有限的资产组合改变恶程度只进行有限的改变，但这许多有限的资产组合改变的集合将引起大规模的买卖活动以使均衡价格得到恢复；的集合将引起大规模的买卖活动以使均衡价格得到恢复；nAPT理论认为：当套利机会存在时，每一个投资者总想
13、尽可理论认为：当套利机会存在时，每一个投资者总想尽可能地拥有较多头寸，因此无需很多的投资者参与就可以带来能地拥有较多头寸，因此无需很多的投资者参与就可以带来足够的价格压力使其恢复均衡。足够的价格压力使其恢复均衡。第16页，共46页，编辑于2022年，星期五套利组合n套套利利组组合合：与与CAPM相相比比，APT的的假假设设条条件件少少，使使用用比比较较方方便便。一个套利组合只要满足三个条件：一个套利组合只要满足三个条件：n套套利利组组合合要要求求投投资资者者不不追追加加资资金金。用用Xi表表示示持持有有证证券券i的的金金额和权重的变化，额和权重的变化，Xi可正可负。即可正可负。即 X1+X2+
14、X3+.+Xn=0；n套套利利组组合合对对任任何何因因素素的的敏敏感感度度为为零零，即即套套利利组组合合没没有有因因素素风风险；险；1 X1+2X2+3X3+.+nXn=0n套利组合的预期收益率大于零。套利组合的预期收益率大于零。r1X1+r2X2+r3X3+.+rnXn0第17页，共46页，编辑于2022年，星期五例 61 假设经济中有 A、B、C、D四只股票，每个股票在一期时的收益受到一期时的通货膨胀率和利率水平的影响。下面给出了各股票在不同经济形势下的收益状况：假设每种经济形势发生的概率都等于 25，而且在零期每种股票的价格都等于 1 元，那么在这种价格水平下，市场是否存在套利组合？（p
15、115)第18页，共46页，编辑于2022年，星期五二、套利的几何意义图6-1 在阴影区域的投资组合价格为负 第19页，共46页，编辑于2022年，星期五图6-2 两个证券在不同状态下的收益状况第20页，共46页，编辑于2022年，星期五图6-3 不存在套利机会的情况 第21页，共46页，编辑于2022年，星期五图6-4 存在第二类套利机会的市场 第22页，共46页，编辑于2022年，星期五图6-5 存在强套利机会的市场 第23页，共46页，编辑于2022年，星期五例题（构建套利组合）例题（构建套利组合）第24页，共46页，编辑于2022年，星期五第25页，共46页，编辑于2022年，星期五三
16、、一价定律、价格的正定性与无套利一价定律（Law of One Price）是指对于任意两个投资组合，如果它们在未来每种状态下的收益都是相同的，那么这两个投资组合在当前的价格也应该相等。一价定律意味着零收益的证券其价格也必定等于零。当市场中不存在套利机会时，一价定律必然得到满足，否则可以通过卖空高价证券然后买入低价且有相同收益的证券进行套利。无套利成立所需的另外一个条件是所有在未来每种状态下都有正收益的投资组合其价格都要大于零。第26页，共46页，编辑于2022年，星期五定理定理61 当价格函数同时满足一价定律和严格正定性的时候，当价格函数同时满足一价定律和严格正定性的时候，市场是无套利的，反
17、之亦然。市场是无套利的，反之亦然。第一，套利行为是使市场达到有效的一个重要手段。第二，套利限制（Limit of Arbitrage）基本面风险（Fundamental Risk）噪音交易者风险（Noise Trader Risk）某些套利的执行成本过高（Implementation Cost）第27页，共46页，编辑于2022年，星期五n假设投资者拥有假设投资者拥有1、三种证券，投资者拥有的可用来投、三种证券，投资者拥有的可用来投资的资产价值为资的资产价值为120万元。每个投资者都认为这三种证券的万元。每个投资者都认为这三种证券的期望收益率和因素敏感性为：期望收益率和因素敏感性为：i ri
18、in证券证券.9n证券证券.0n证券证券 .8n现在要问：这三种证券达到均衡了吗？假如没有达到均衡，现在要问：这三种证券达到均衡了吗？假如没有达到均衡，为了达到均衡，证券的价格和期望收益率会发生什么样的为了达到均衡，证券的价格和期望收益率会发生什么样的变化呢？变化呢？例题例题第28页，共46页，编辑于2022年，星期五n要回答上述问题，必须先了解一下套利组合这个概念。要回答上述问题，必须先了解一下套利组合这个概念。n如果存在一个证券组合无须外加资金、风险为零，而收益如果存在一个证券组合无须外加资金、风险为零，而收益率大于零，则称这种证券组合为套利证券组合。率大于零，则称这种证券组合为套利证券组
19、合。n如果上面三种证券能形成套利证券组合，说明还有套利机会，如果上面三种证券能形成套利证券组合，说明还有套利机会，市场还未达到均衡。市场还未达到均衡。第29页，共46页，编辑于2022年，星期五n设设Xi代表持有第代表持有第i种证券的改变量（占投资者原有资种证券的改变量（占投资者原有资产价值的百分比），则根据我们对套利证券组合的产价值的百分比），则根据我们对套利证券组合的定义，套利证券组合必须符合以下三个条件：定义，套利证券组合必须符合以下三个条件：第30页，共46页，编辑于2022年，星期五n仅仅满足等式仅仅满足等式(1)，（，（2）的解有无穷多个，我们任意令）的解有无穷多个，我们任意令X1
20、=0.1，可解得，可解得X2=0.075，X3=-0.175，再代入（，再代入（3）式得：）式得：n15%0.1+21%0.075+12%(-0.175)=0.975%0 可见存在套利机会。可见存在套利机会。n如果投资者用卖掉证券如果投资者用卖掉证券3的资金的资金n 1200.175=21万万 n去买入证券去买入证券1、2各为各为n 1200.1=12万和万和1200.075=9万万n就可以在无须外加资金又不冒任何风险（设非因素风险足就可以在无须外加资金又不冒任何风险（设非因素风险足够小，可以忽略）的情况下获利，提高其证券组合的期望够小，可以忽略）的情况下获利，提高其证券组合的期望收益率。收益
21、率。nAPT认为所有投资者都会利用这样的机会去套利，卖掉证认为所有投资者都会利用这样的机会去套利，卖掉证券券3去买入证券去买入证券1和和2。因此，此时证券。因此，此时证券3的供给大于需求，的供给大于需求，而证券而证券1和和2的供给小于需求，市场未达到均衡。的供给小于需求，市场未达到均衡。第31页，共46页，编辑于2022年，星期五n那么，那么，ri和和i之间呈什么关系时市场才是均衡的呢之间呈什么关系时市场才是均衡的呢？只有在所有证券的？只有在所有证券的ri和和i之间呈直线关系时，市之间呈直线关系时，市场才能达到均衡。这可以通过图形来说明。场才能达到均衡。这可以通过图形来说明。图图6-6第32页
22、，共46页，编辑于2022年，星期五n如果所有的如果所有的ri和和i之间不是呈直线关系，就必然存之间不是呈直线关系，就必然存在套利机会，市场就未达到均衡。如图在套利机会，市场就未达到均衡。如图6-6，当分别，当分别代表代表1、2、3三种证券的三种证券的ABC三点不在一条直线上三点不在一条直线上时，总是存在通过卖出证券时，总是存在通过卖出证券3（C点），来购买点），来购买D点点所代表的由证券所代表的由证券1、2组成的证券组合的套利机会。组成的证券组合的套利机会。由于大家都愿意卖掉由于大家都愿意卖掉3来买入来买入1、2进行套利，这样对进行套利，这样对证券证券1、2的的 需求就会上升，需求大于供给，
23、结果导需求就会上升，需求大于供给，结果导致证券致证券1、2的价格上升，而因为大家都卖掉证券的价格上升，而因为大家都卖掉证券3，使它的需求小于供给，从而价格下跌。根据：使它的需求小于供给，从而价格下跌。根据：第33页，共46页，编辑于2022年，星期五n若若Pi0变小，则会使变小，则会使ri增大，若增大，若Pi0增大，则增大，则ri将变小。将变小。n所以，大家都卖掉证券所以，大家都卖掉证券3，买入证券，买入证券1、2的结的结果是证券果是证券1、2的价格越来越高，使得的价格越来越高，使得r1、r2越越来越小，而证券来越小，而证券3的价格越来越低，从而的价格越来越低，从而r3越越来越大直到（来越大直
24、到（3）式最终等于零，不再有套利）式最终等于零，不再有套利机会为止。其结果是证券机会为止。其结果是证券3的期望收益率有所的期望收益率有所上升，而证券上升，而证券1、2的期望收益率有所下降，最的期望收益率有所下降，最后三者在同一条直线上。后三者在同一条直线上。第34页，共46页，编辑于2022年，星期五进一步地，如图进一步地，如图6-7，若有，若有N个点，其中个点，其中N-1个点在个点在一条直线上。如果第一条直线上。如果第N点位于点位于N-1个点所在的直线个点所在的直线之下，则因为存在卖掉第之下，则因为存在卖掉第N种股票去买入与其因素种股票去买入与其因素风险相同（由风险相同（由N-1种证券构成）
25、的证券组合种证券构成）的证券组合M的套的套利机会，利机会，图图6-7第35页，共46页，编辑于2022年，星期五n所以大家都会去卖掉第所以大家都会去卖掉第 N 种股票买入种股票买入M，使得第，使得第N种股票种股票的价格下跌，期望收益率不断上升，而其他的价格下跌，期望收益率不断上升，而其他N-1种股票种股票的价格不断上升，期望收益率不断下降，直到所有股票的期的价格不断上升，期望收益率不断下降，直到所有股票的期望收益率和因素敏感系数呈直线关系时，套利活动才会停止。望收益率和因素敏感系数呈直线关系时，套利活动才会停止。n此时，新的直线比原来的位置相比，往下移了一点。如果第此时，新的直线比原来的位置相
26、比，往下移了一点。如果第 N种证券位于直线之上，则存在卖掉其他证券去买第种证券位于直线之上，则存在卖掉其他证券去买第 N种证券种证券的套利机会。其过程与位于直线之下时的情形非常类似，但新的套利机会。其过程与位于直线之下时的情形非常类似，但新直线比原来的直线的位置相对往上移了。当然，所有证券的直线比原来的直线的位置相对往上移了。当然，所有证券的ri和和bi在均衡时严格处于一条直线上只有在没有交易费用的时在均衡时严格处于一条直线上只有在没有交易费用的时候才成立，如果考虑交易费用，则它们将分布在理想情况下候才成立，如果考虑交易费用，则它们将分布在理想情况下的直线周围。的直线周围。第36页，共46页，
27、编辑于2022年，星期五第第 三节三节 套利定价理论及其检验套利定价理论及其检验一、APT的推导Ross（1976）提出了套利定价理论（Arbitrage Pricing Theory，APT）：假定：1、市场中所有参与者对资产收益率有相同的信念，且都能用上式的因素模型来表示。2、市场中风险资产的个数n远远大于系统性风险的种类数k。3、市场中不存在套利机会。37第37页，共46页，编辑于2022年，星期五 表示投资在第i种资产上的资金在总财富中的比例通过 的选择可以使投资组合满足：（1）每个资产上的投资金额在总财富中的比例都很小，即 ；（2）投资组合中包含足够多的资产，即n足够大；（3）的取值
28、能够使投资组合对所有系统性风险的敏感度都等于零。第38页，共46页，编辑于2022年，星期五第39页，共46页，编辑于2022年，星期五第40页，共46页，编辑于2022年，星期五二、“纯因素”组合的构造假定市场中有足够多的证券，由于可以利用分散化的方法构造出一些只受系统性风险影响的投资组合，因此，下面的例子中就不考虑风险资产的非系统性风险。例62 假设经济中有两种系统性风险 F1和 F2。证券 A和B 对这两种风险的敏感度如下表所示：第41页，共46页，编辑于2022年，星期五三、套利定价理论与资本资产定价模型的比较 相同点：（1）二者在理念上很相似，都主张在市场达到均衡时，个别证券的预期报
29、酬率可由无风险报酬率加上风险溢价来决定。（2）二者都说明了风险与报酬之间的理性原则更多的系统性风险，更高的预期报酬。（3）当只有一个共同因素（如市场收益率）能影响证券的收益时，两个理论是一致的。第42页，共46页，编辑于2022年，星期五不同点：（1）APT对资产回报率的分布不需要进行任何假设。（2）APT对投资者效用函数的假设更为简单，它只需要投资者满足餍足和风险规避两个基本特性。（3）CAPM纯粹从市场投资组合的观点来探讨风险与报酬的关系，认为经济体系中的全面性变动（即市场风险）才是影响个别证券预期报酬率的主要且惟一因素；而APT则认为不止一个经济因素会对个别证券的报酬产生影响。（4）CA
30、PM所借用的市场组合实际上是不存的，因此只能借用单一股价指数来评估市场风险与报酬；而 APT 则不需要市场组合，只要设定若干个“因素”加入模型即可用于预测。（5）APT的一个弱点在于，没有一个既定的理论来说明影响资产收益率的因素具体有哪些。在使用过程中，大家对这些因素并没有一个统一的选择。这给APT的应用带来一定的不利。第43页，共46页，编辑于2022年，星期五小结nAPT与CAPM一样是一个证券价格的均衡模型；nAPT与CAPM比较，APT需要较少的关于投资者偏好的假设nAPT假设回报率由因素模型生成，但并不具体确定因素。n一个套利组合中包括做空和做多的证券。它的总市值必定为零，对任何因素
31、无敏感性，且有正的预期回报率。n投资者投资于套利组合，使得做多证券的价格上升，使得做空证券的价格下跌，这到套利可能性消失第44页，共46页，编辑于2022年，星期五小结n当所有的套利可能消失后，证券的均衡预期回报率将成为它的因素敏感性的线性函数。nAPT没有说明影响回报率的因素数量和因素本身是什么。大部分研究中，因素集中于总体经济活动、通货膨胀和利率指标上。第45页，共46页，编辑于2022年，星期五作业n1、根据单因素模型，有两个组合A和B，均衡期望收益率分别为9.8%和11.0%。如果因素敏感性分别为0.80和1.0，求无风险利率？n2、根据单因素的APT，设无风险利率为6%，一个具有单位因素敏感性的投资组合期望收益率为8.5%。考虑具有下列特征的两种证券的一个投资组合：n根据套利定价理论，该组合的均衡期望收益率为多少？证券因素敏感性比例A4.00.30B2.60.70第46页，共46页，编辑于2022年，星期五