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1、法向量及平行关系本讲稿第一页，共十五页一、复习：直线的方向向量一、复习：直线的方向向量AB 叫做直线l的方向向量方向向量。和直线L上的向量 平行的向量确定一条直线需要两个要素确定一条直线需要两个要素：。定点定点A方向向量方向向量注意：注意：L的方向向量是的方向向量是非零向量；非零向量；而且有无数多个。而且有无数多个。定位置定位置定位置定位置定位置定位置定方向定方向本讲稿第二页，共十五页巩固性训练11.设设 分别是两条不同直线分别是两条不同直线l1,l2的方向向量的方向向量,根根据下列条件据下列条件,判断判断l1,l2的位置关系的位置关系.平行平行垂直垂直平行平行向量法向量法判断两直线位置关系判
2、断两直线位置关系本讲稿第三页，共十五页由于垂直于同一平面的直线是互相平行的由于垂直于同一平面的直线是互相平行的,所以，可以用垂直所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向方向”。二、新授：平面的法向量二、新授：平面的法向量l 给定一点给定一点A和一个向量和一个向量 ,那么过点那么过点A,以向量以向量 为法向量的平面是完全确定的为法向量的平面是完全确定的.几点注意：几点注意：1.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互相平行一个平面的所有法向量都互相平行;3.经过经过A点，以向量点，以向量 为平面的法向量为平面的法向量
3、的平面的平面 表示为：表示为：平面的法向量：平面的法向量：如果向量如果向量 的基线垂直于平面的基线垂直于平面 ，则称，则称这个向量垂直于平面这个向量垂直于平面 ,记作记作 ，那，那 么么 向向 量量 叫做叫做平面平面 的的法向量法向量.（或者说向量（或者说向量 与与 正交）正交）nrAP本讲稿第四页，共十五页由两个三元一次方程组由两个三元一次方程组成的方程组的解是不惟成的方程组的解是不惟一的，为方便起见，取一的，为方便起见，取z=1z=1较合理。因为平面较合理。因为平面的法向量不是惟一的。的法向量不是惟一的。单位法向量有单位法向量有几个？几个？怎样算是怎样算是垂直于平面？垂直于平面？本讲稿第五
4、页，共十五页平面的法向量不平面的法向量不惟一，合理取值惟一，合理取值即可。即可。本讲稿第六页，共十五页同步练习同步练习P105 练习练习A T3本讲稿第七页，共十五页巩固性训练21.设设 分别是两个不同平面分别是两个不同平面,的法向量的法向量,根据根据下列条件下列条件,判断判断,的位置关系的位置关系.垂直垂直平行平行相交相交本讲稿第八页，共十五页证：设正方体棱长为证：设正方体棱长为1，以，以 为单位正交基底，建立如为单位正交基底，建立如图所示空间坐标系图所示空间坐标系 ，本讲稿第九页，共十五页 因为方向向量与法向量可以确定直线和平因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利
5、用直线的方向面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角平行、垂直、夹角等位置关系等位置关系.那么如何用直线的方向向量表示空间两那么如何用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角呢？如何用平面的法向量表示空间两平夹角呢？如何用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小呢？大小呢？本讲稿第十页，共十五页三、平行关系：三、平行关系：本讲稿第十一页，共十五页本讲稿第十二页，共十五页例例
6、4 4 如如图图，已知矩形，已知矩形和矩形和矩形所在平面互相垂直，点所在平面互相垂直，点分分别别在在对对角角线线上，且上，且求求证证：ABCDEFxyzMN简证：因为矩形简证：因为矩形ABCD和矩形和矩形ADEF所在平面互相垂直，所以所在平面互相垂直，所以AB，AD，AF互相垂直。以互相垂直。以 为正交为正交基底，建立如图所示空间坐标系，基底，建立如图所示空间坐标系，设设AB,AD,AF长分别为长分别为3a，3b，3c，则可得各点坐标，从而有则可得各点坐标，从而有又平面又平面CDECDE的一个法向量是的一个法向量是因为因为MN不在平面不在平面CDE内内所以所以MN/平面平面CDE本讲稿第十三页，共十五页向量坐标法证明平行关系步骤：1建系，设长度建系，设长度2求点坐标、向量坐标求点坐标、向量坐标3计算平行、垂直关系计算平行、垂直关系4还原还原 结论结论本讲稿第十四页，共十五页1已知正方体已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为的棱长为2，E、F分别是分别是BB1、DD1的中点，的中点，求证：求证：(1)FC1 平面平面ADE；(2)平面平面ADE 平面平面B1C1F.本讲稿第十五页，共十五页