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1、第一章第一章 数值分析与数值分析与科学计算引论科学计算引论第1页，共41页，编辑于2022年，星期一数值分析研究的对象与特点数值分析研究的对象与特点 误差的来源与误差分析的重要性误差的来源与误差分析的重要性误差的基本概念误差的基本概念 数值运算中误差分析的方法与原则数值运算中误差分析的方法与原则小结小结 第一章第一章 绪绪 论论第2页，共41页，编辑于2022年，星期一算法的研究和应用正是本课程的主题算法的研究和应用正是本课程的主题算法的研究和应用正是本课程的主题算法的研究和应用正是本课程的主题 ！现代科学研究的三大支柱理论研究科学实验科学计算第3页，共41页，编辑于2022年，星期一2121
2、世纪信息社会的两个主要特征世纪信息社会的两个主要特征：“计算机无处不在计算机无处不在计算机无处不在计算机无处不在”“数学无处不在数学无处不在数学无处不在数学无处不在”21212121世纪信息社会对科技人才的要求：世纪信息社会对科技人才的要求：世纪信息社会对科技人才的要求：世纪信息社会对科技人才的要求：-会会会会“用数学用数学用数学用数学”解决实际问题解决实际问题-会用计算机进行科学计算会用计算机进行科学计算第4页，共41页，编辑于2022年，星期一第一节第一节 数值分析研究的对象与特点数值分析研究的对象与特点 数数值值分分析析也也常常称称为为计计算算方方法法，或或者者叫叫数数值值计计算算方方法
3、法。是是研研究究用用计计算算机机解解决决数数学学问问题题的的数数值值方方法法及及其其理理论论，是是把把理理论论与与计计算算机机紧紧密密结结合合起起来来，着着重重研研究究数数学学问问题题的的数数值值方方法法及及其其理理论。论。它的内容包括：它的内容包括：第5页，共41页，编辑于2022年，星期一科学计算解题过程第6页，共41页，编辑于2022年，星期一数值分析具有的特点：数值分析具有的特点：第一：面向计算机；第一：面向计算机；第二：有可靠的理论分析；第二：有可靠的理论分析；第三：有较好的计算复杂性；第三：有较好的计算复杂性；第四：有数值试验；第四：有数值试验；第7页，共41页，编辑于2022年，
4、星期一第二节第二节 误差来源与误差分析的重要性误差来源与误差分析的重要性 模型误差在建立数学模型过程中在建立数学模型过程中,要将复杂的现要将复杂的现象抽象归结为数学模型象抽象归结为数学模型,往往要忽略一往往要忽略一些次要因素的影响些次要因素的影响,而对问题作一些简而对问题作一些简化化,因此和实际问题有一定的区别；因此和实际问题有一定的区别；观测误差在建模和具体运算过程中所用的数据往在建模和具体运算过程中所用的数据往往是通过观察和测量得到的往是通过观察和测量得到的,由于精度的由于精度的限制限制,这些数据一般是近似的这些数据一般是近似的,即有误差；即有误差；由于计算机只能完成有限次算术运算和由于计
5、算机只能完成有限次算术运算和逻辑运算逻辑运算,因此要将有些需用极限或无穷因此要将有些需用极限或无穷截断误差过程进行的运算有限化过程进行的运算有限化,对无穷过程进行截对无穷过程进行截断断,这就带来误差；这就带来误差；舍入误差在数值计算过程中还会遇到无穷小数在数值计算过程中还会遇到无穷小数,因计算机因计算机受到机器字长的限制受到机器字长的限制,它所能表示的数据只能有它所能表示的数据只能有一定的有限位数一定的有限位数,如按四舍五入规则取有限位数如按四舍五入规则取有限位数,由此引起的误差。由此引起的误差。第8页，共41页，编辑于2022年，星期一如:若将前若干项的部分和作为函数值的近似公式若将前若干项
6、的部分和作为函数值的近似公式,由于以后各项都舍弃了由于以后各项都舍弃了,自然产生了误差自然产生了误差Taylor展开第9页，共41页，编辑于2022年，星期一过失误差由于模型错误或方法错误引起的误差.这类误差一般可以避免第10页，共41页，编辑于2022年，星期一数值计算中除了过失误差可以避免外数值计算中除了过失误差可以避免外,其余误差都是其余误差都是难以避免的难以避免的.数学模型一旦建立数学模型一旦建立,进入具体计算时所考进入具体计算时所考虑和分析的就是虑和分析的就是截断误差和舍入误差截断误差和舍入误差经过大量的运算之后经过大量的运算之后,积累的总误差有时会大得惊人积累的总误差有时会大得惊人
7、,因此如何控制误差的传播也是数值方法的研究对象因此如何控制误差的传播也是数值方法的研究对象因此如何控制误差的传播也是数值方法的研究对象因此如何控制误差的传播也是数值方法的研究对象.第11页，共41页，编辑于2022年，星期一第三节 误差的基本概念1 1绝对误差与绝对误差限绝对误差与绝对误差限例例 2:若用以厘米为最小刻度的尺去量桌子的长，若用以厘米为最小刻度的尺去量桌子的长，大约为大约为1.45米，求米，求1.45米的绝对误差。米的绝对误差。1.45米的米的绝对误差绝对误差=？不知道！不知道！是近似值的是近似值的 绝对误差绝对误差绝对误差绝对误差,简称为简称为误差误差误差误差。定义定义1：设：
8、设x是准确值是准确值，x*为为x的一个近似值的一个近似值，称，称 （1.5）第12页，共41页，编辑于2022年，星期一但实际问题往往可以估计出但实际问题往往可以估计出 不超过某个正数不超过某个正数 ，即，即，则称，则称 为绝对误差限，有了绝对误差限为绝对误差限，有了绝对误差限就可以知道就可以知道x范围为范围为即即x落在落在 内。在应用上，常常采用下列内。在应用上，常常采用下列写法来刻划写法来刻划x*的精度。的精度。第13页，共41页，编辑于2022年，星期一2 2相对误差和相对误差限相对误差和相对误差限（1.6）定义定义2：设设x是准确值，是准确值，x*是近似值，称是近似值，称满足满足 则称
9、则称 为的为的相对误差限相对误差限。为近似值为近似值 的的相对误差相对误差相对误差相对误差，相应地，若正数，相应地，若正数 ，relativeerror第14页，共41页，编辑于2022年，星期一绝对误差限绝对误差限相对误差限相对误差限往往未知往往未知代替相对误差代替相对误差代替相对误差限代替相对误差限因此因此第15页，共41页，编辑于2022年，星期一例例1.解解:第16页，共41页，编辑于2022年，星期一例例2.解解:可见可见,经四舍五入取近似值经四舍五入取近似值,其绝对误差限将其绝对误差限将不超过其末位数字的半个单位不超过其末位数字的半个单位第17页，共41页，编辑于2022年，星期一
10、定义 有6位有效数字有4位有效数字有8位有效数字只有4位有效数字3 3 有效数字有效数字第18页，共41页，编辑于2022年，星期一且因此因此,可根据上述分析对有效数字有如下结果可根据上述分析对有效数字有如下结果:或写成标准形式或写成标准形式：第19页，共41页，编辑于2022年，星期一例3.求下列四舍五入近似值的有效数字个数.3个3个4个4个3个5个第20页，共41页，编辑于2022年，星期一定理2.证明:第21页，共41页，编辑于2022年，星期一即则有则由定理1.可知第22页，共41页，编辑于2022年，星期一例6:解:第23页，共41页，编辑于2022年，星期一定理3 该结论可以参照定
11、理2的证明，请同学们自证第24页，共41页，编辑于2022年，星期一例7.解:则有定理3,相对误差满足即应取4位有效数字,近似值的误差不超过0.1%.第25页，共41页，编辑于2022年，星期一即第四节第四节 数值运算中的误差分析方法与原则数值运算中的误差分析方法与原则第26页，共41页，编辑于2022年，星期一第27页，共41页，编辑于2022年，星期一第28页，共41页，编辑于2022年，星期一第29页，共41页，编辑于2022年，星期一绝对误差增长因子相对误差增长因子思考:试分析四则运算、乘方和开方的误差传播规律第30页，共41页，编辑于2022年，星期一关于算法的数值稳定性的实际例子关
12、于算法的数值稳定性的实际例子 例8.计算定积分解:第31页，共41页，编辑于2022年，星期一误差放大 5千倍!但如果利用递推公式第32页，共41页，编辑于2022年，星期一因此在计算公式选用及算法设计时,应注意以下原则1.四则运算中的稳定性问题(1)防止大数吃小数这一类问题主要由计算机的位数引起假如作一个有效数字为4位的连加运算误差会放大误差不会放大第33页，共41页，编辑于2022年，星期一误差的传播与积累误差的传播与积累例：蝴蝶效应例：蝴蝶效应 纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的北京就刮起台纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的北京就刮起台风来了？！风来了？！NYBJ以上是一个病态问题以上是
13、一个病态问题 第34页，共41页，编辑于2022年，星期一而如果将小数放在前面计算在作连加时,为防止大数吃小数,应从小到大进行相加,如此,精度将得到适当改善.当然也可采取别的方法.第35页，共41页，编辑于2022年，星期一(2)作减法时应避免相近数相减两个相近的数相减,会使有效数字的位数严重损失由于在算法设计中,若可能出现两个相近数相减,则改变计算公式,如使用三角变换、有理化等等第36页，共41页，编辑于2022年，星期一例9.解方程解:由中学知识韦达定理可知,方程的精确解为而如果在字长为8,基底为10的计算机上利用求根公式机器吃了因此在计算机上第37页，共41页，编辑于2022年，星期一上式是解二次方程的数值公式第38页，共41页，编辑于2022年，星期一(3)避免小数作除数和大数作乘数由误差传播的估计式在算法设计时,要避免这类算法在计算公式中出现第39页，共41页，编辑于2022年，星期一2.提高算法效率问题(1)尽量减少运算次数15次乘法运算而不是255次使用秦九韶算法对多项式可大大减少计算量第40页，共41页，编辑于2022年，星期一(2)尽量使用耗时少的运算(3)充分利用存储空间.第41页，共41页，编辑于2022年，星期一