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1、第第5章章 特征值与特特征值与特征向量征向量第1页，共81页，编辑于2022年，星期二5.1 矩阵特征值与特征向量矩阵特征值与特征向量1.矩阵的特征值与特征向量的定义矩阵的特征值与特征向量的定义2.矩阵的特征值与特征向量的性质矩阵的特征值与特征向量的性质 本章本章上页上页下页下页第2页，共81页，编辑于2022年，星期二5.1 矩阵特征值与特征向量矩阵特征值与特征向量1.矩阵的特征值与特征向量的定义矩阵的特征值与特征向量的定义定义定义1 设设A为为n阶方阵阶方阵,是一个数是一个数,若存在非零列向量若存在非零列向量x,使得使得 则称则称是是A的一个的一个特征值特征值,非零列向量非零列向量x称为称
2、为A的对应于特征值的对应于特征值的的特征向量特征向量.上页上页下页下页本节本节第3页，共81页，编辑于2022年，星期二5.1 矩阵特征值与特征向量矩阵特征值与特征向量它有非零解的充分必要条件是系数行列式它有非零解的充分必要条件是系数行列式上页上页下页下页本节本节第4页，共81页，编辑于2022年，星期二5.1 矩阵特征值与特征向量矩阵特征值与特征向量上页上页下页下页本节本节第5页，共81页，编辑于2022年，星期二5.1 矩阵特征值与特征向量矩阵特征值与特征向量是一个关于是一个关于的的n次多项式次多项式,记作记作f().上页上页下页下页本节本节第6页，共81页，编辑于2022年，星期二5.1
3、 矩阵特征值与特征向量矩阵特征值与特征向量定义定义2 是一个未知量是一个未知量,则矩阵则矩阵 EA称为称为A的的 特征矩阵特征矩阵,其行列式其行列式 称为称为A的的特征多项式特征多项式,称为的称为的特征方程特征方程,其根即为其根即为A的特征值的特征值,又称为又称为特征根特征根.设设n阶矩阵阶矩阵A特征方程特征方程 的的n 个特征根为个特征根为 上页上页下页下页本节本节第7页，共81页，编辑于2022年，星期二5.1 矩阵特征值与特征向量矩阵特征值与特征向量定义定义3 是阶方阵是阶方阵,则则 A的的迹迹,记作记作 tr(A).为方阵的一个特征值为方阵的一个特征值,则由方程则由方程 可求得非零解可
4、求得非零解 特征向量 上页上页下页下页本节本节第8页，共81页，编辑于2022年，星期二例例1 求矩阵求矩阵 解解5.1 矩阵特征值与特征向量矩阵特征值与特征向量的特征值与特征向量的特征值与特征向量.对应的全部特征向量为对应的全部特征向量为 上页上页下页下页本节本节第9页，共81页，编辑于2022年，星期二5.1 矩阵特征值与特征向量矩阵特征值与特征向量对应的全部特征向量为对应的全部特征向量为 上页上页下页下页本节本节第10页，共81页，编辑于2022年，星期二例例2 求矩阵求矩阵 解解5.1 矩阵特征值与特征向量矩阵特征值与特征向量的特征值与特征向量的特征值与特征向量.上页上页下页下页本节本
5、节第11页，共81页，编辑于2022年，星期二5.1 矩阵特征值与特征向量矩阵特征值与特征向量对应的全部特征向量为对应的全部特征向量为 对应的全部特征向量为对应的全部特征向量为 上页上页下页下页本节本节第12页，共81页，编辑于2022年，星期二例例3 求矩阵求矩阵 解解5.1 矩阵特征值与特征向量矩阵特征值与特征向量的特征值与特征向量的特征值与特征向量.上页上页下页下页本节本节第13页，共81页，编辑于2022年，星期二5.1 矩阵特征值与特征向量矩阵特征值与特征向量对应的全部特征向量为对应的全部特征向量为 对应的全部特征向量为对应的全部特征向量为 上页上页下页下页本节本节第14页，共81页
6、，编辑于2022年，星期二例例4 求求n阶数量矩阵阶数量矩阵 解解5.1 矩阵特征值与特征向量矩阵特征值与特征向量的特征值与特征向量的特征值与特征向量.上页上页下页下页本节本节第15页，共81页，编辑于2022年，星期二5.1 矩阵特征值与特征向量矩阵特征值与特征向量因此任意个线性无关的向量都是它的基础解系因此任意个线性无关的向量都是它的基础解系.取单位坐标向量取单位坐标向量 作为基础解系作为基础解系,则矩阵则矩阵A的全部特征向量为的全部特征向量为上页上页下页下页本节本节第16页，共81页，编辑于2022年，星期二5.1 矩阵特征值与特征向量矩阵特征值与特征向量2.矩阵的特征值与特征向量的性质
7、矩阵的特征值与特征向量的性质性质性质1 设设 A 是是 n 阶方阵阶方阵,则则 A 与与 A有相同的特征值有相同的特征值.证证 A 与与 A有相同的特征多项式有相同的特征多项式,因而有相同的特征值因而有相同的特征值.上页上页下页下页本节本节第17页，共81页，编辑于2022年，星期二5.1 矩阵特征值与特征向量矩阵特征值与特征向量性质性质2 n阶方阵阶方阵A可逆的充分必要条件是的任意一个特征值可逆的充分必要条件是的任意一个特征值 证证 若若A可逆可逆,则则 若若A的任意一个特征值都不等于零的任意一个特征值都不等于零,即即 都不等于零都不等于零.设设n阶方阵阶方阵A的的n个特征根为个特征根为 从
8、而从而A可逆可逆.上页上页下页下页本节本节第18页，共81页，编辑于2022年，星期二5.1 矩阵特征值与特征向量矩阵特征值与特征向量性质性质3设设A是是n阶可逆阵阶可逆阵,是是A的特征值的特征值,则则 证证 A可逆可逆,是方阵是方阵 A 的特征值的特征值,存在非零向量存在非零向量x,使使 上页上页下页下页本节本节第19页，共81页，编辑于2022年，星期二5.1 矩阵特征值与特征向量矩阵特征值与特征向量性质性质4设设A是是n阶可逆阵阶可逆阵,是是A的特征值的特征值,则则 证证 是方阵是方阵 A 的特征值的特征值,存在非零向量存在非零向量x,使使 其中其中 k 是一个非负整数是一个非负整数.上
9、页上页下页下页本节本节第20页，共81页，编辑于2022年，星期二5.1 矩阵特征值与特征向量矩阵特征值与特征向量性质性质5设设证证 是阶矩阵是阶矩阵,若若 有一个成立有一个成立,则矩阵的所有特征值则矩阵的所有特征值 的模小于的模小于1,即即设设为为A的任意一个特征值的任意一个特征值,其对应的特征向量为其对应的特征向量为x,上页上页下页下页本节本节第21页，共81页，编辑于2022年，星期二5.1 矩阵特征值与特征向量矩阵特征值与特征向量上页上页下页下页本节本节第22页，共81页，编辑于2022年，星期二5.1 矩阵特征值与特征向量矩阵特征值与特征向量对矩阵对矩阵A的所有特征值的所有特征值,定
10、理成立定理成立.A与与A有相同的特征值有相同的特征值,对对A的所有特征值的所有特征值,定理成立定理成立.上页上页下页下页本节本节第23页，共81页，编辑于2022年，星期二5.1 矩阵特征值与特征向量矩阵特征值与特征向量性质性质6设设证证 是方阵是方阵A 的的s 个互不相同的特征值个互不相同的特征值,依次是与之对应的特征向量依次是与之对应的特征向量,则则 线性无关线性无关.用数学归纳法证明用数学归纳法证明.特征向量不为零特征向量不为零,因此定理成立因此定理成立.设设s1时时,定理成立定理成立,即方阵即方阵A的的s1个不相同的特征值个不相同的特征值 对应的特征向量对应的特征向量 线性无关线性无关
11、.下面证对于下面证对于A的的s 个不相同的特征值个不相同的特征值 上页上页下页下页本节本节第24页，共81页，编辑于2022年，星期二5.1 矩阵特征值与特征向量矩阵特征值与特征向量对应的特征向量对应的特征向量线性无关线性无关.(1)(2)上页上页下页下页本节本节第25页，共81页，编辑于2022年，星期二5.1 矩阵特征值与特征向量矩阵特征值与特征向量线性无关线性无关.线性无关线性无关.上页上页下页下页本节本节第26页，共81页，编辑于2022年，星期二5.1 矩阵特征值与特征向量矩阵特征值与特征向量性质性质7设设是方阵是方阵A 的的s 个互不相同的特征值个互不相同的特征值,A 的对应于的对
12、应于 i的线性无关的特征向量为的线性无关的特征向量为 则向量组则向量组 线性无关线性无关.上页上页下页下页本节本节第27页，共81页，编辑于2022年，星期二例例5 设设 1和和 2是矩阵是矩阵A的两个不同的特征值的两个不同的特征值,对应的特征向对应的特征向解解5.1 矩阵特征值与特征向量矩阵特征值与特征向量量依次为量依次为 证明证明 不是不是 A的特征向量的特征向量.反证法反证法.是是A的特征向量的特征向量,则应存在数则应存在数,使使矛盾矛盾.上页上页下页下页本节本节第28页，共81页，编辑于2022年，星期二5.2 相似矩阵相似矩阵定义定义1 设 A,B 为 n 阶矩阵,若存在 n 阶可逆
13、矩阵 P,使得则称矩阵A 与B 相似相似,记作 相似变换矩阵相似变换矩阵.本章本章上页上页下页下页第29页，共81页，编辑于2022年，星期二例例1设设 5.2 相似矩阵相似矩阵则则 P可逆可逆,且有且有本章本章上页上页下页下页第30页，共81页，编辑于2022年，星期二5.2 相似矩阵相似矩阵相似具有以下性质相似具有以下性质:(1)反身性反身性:设设A是是n阶方阵阶方阵,则则 证证(2)对称性对称性:(3)传递性传递性:本章本章上页上页下页下页第31页，共81页，编辑于2022年，星期二5.2 相似矩阵相似矩阵定理定理1 设为设为n阶矩阵阶矩阵 A与与 B 相似相似,则则(1)A 与与 B
14、有相同的特征多项式有相同的特征多项式,从而有相同的特征值从而有相同的特征值.(2)A 与与B 有相同的迹有相同的迹.(3)A 与与B 有相同的行列式有相同的行列式.(4)A 与与B 的秩相等的秩相等.本章本章上页上页下页下页第32页，共81页，编辑于2022年，星期二5.2 相似矩阵相似矩阵(1)存在存在n阶可逆矩阵阶可逆矩阵P,使得使得 证证 故故 A与与 B有相同的特征多项式有相同的特征多项式,从而有相同的特征值从而有相同的特征值.A 与与 B有相同的特征值有相同的特征值,(2)一个方阵的迹等于它的所有特征值的和一个方阵的迹等于它的所有特征值的和,A 与与 B有相同的迹有相同的迹.(3)取
15、行列式取行列式 本章本章上页上页下页下页第33页，共81页，编辑于2022年，星期二例如例如5.2 相似矩阵相似矩阵本章本章上页上页下页下页第34页，共81页，编辑于2022年，星期二5.2 相似矩阵相似矩阵定理定理2 设为设为n阶矩阵阶矩阵 A与与 B相似相似,则则(1)A 与与B 有相同的可逆性有相同的可逆性.(2)若若A与与B可逆可逆,则则(3)若若m为正整数为正整数,则则 本章本章上页上页下页下页第35页，共81页，编辑于2022年，星期二5.2 相似矩阵相似矩阵(1)证证 同时为零或不为零同时为零或不为零,(2)即即A 与与B 或都可逆或都可逆,或都不可逆或都不可逆.且都可逆且都可逆
16、,则存在可逆矩阵则存在可逆矩阵P,使得使得 定理定理1本章本章上页上页下页下页第36页，共81页，编辑于2022年，星期二例例2设设 5.2 相似矩阵相似矩阵则则P、Q都可逆都可逆,且且本章本章上页上页下页下页第37页，共81页，编辑于2022年，星期二5.2 相似矩阵相似矩阵本章本章上页上页下页下页第38页，共81页，编辑于2022年，星期二5.2 相似矩阵相似矩阵定理定理3 n 阶矩阵阶矩阵 A 与与n 阶对角矩阵阶对角矩阵相似的充分必要条件是矩阵相似的充分必要条件是矩阵 A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.必要性必要性.证证 若若n阶矩阵阶矩阵A与阶对角矩阵与阶对角矩阵相似
17、相似,则存在可逆矩阵则存在可逆矩阵 P 使使 本章本章上页上页下页下页第39页，共81页，编辑于2022年，星期二5.2 相似矩阵相似矩阵是是 P 的列向量组的列向量组,则则 都是非零向量都是非零向量,都是都是 A 的特征向量的特征向量,且这且这n个特征向量线性无关个特征向量线性无关.本章本章上页上页下页下页第40页，共81页，编辑于2022年，星期二5.2 相似矩阵相似矩阵充分性充分性.是是A的的n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量,它们所对应它们所对应的特征值依次为的特征值依次为 线性无关线性无关,可逆可逆,且且 本章本章上页上页下页下页第41页，共81页，编辑于2022年，星期二5
18、.2 相似矩阵相似矩阵推论推论 若n阶矩阵A有n个相异的特征值 则A与对角矩阵相似.本章本章上页上页下页下页第42页，共81页，编辑于2022年，星期二5.2 相似矩阵相似矩阵注意注意 A有有n个相异特征值只是个相异特征值只是A与对角矩阵相似的充分条件与对角矩阵相似的充分条件而非必要条件而非必要条件.定义定义2 若若n阶方阵阶方阵A与对角矩阵相似与对角矩阵相似,则称矩阵则称矩阵A可以可以对角化对角化.例例3则则P可逆可逆,且且本章本章上页上页下页下页第43页，共81页，编辑于2022年，星期二例例45.2 相似矩阵相似矩阵对应的特征向量为对应的特征向量为 则则P可逆可逆,且且本章本章上页上页下
19、页下页第44页，共81页，编辑于2022年，星期二5.2 相似矩阵相似矩阵定理定理4 n阶矩阵阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是对于每与对角矩阵相似的充分必要条件是对于每例如例如 因此因此,矩阵矩阵 A 不能对角化不能对角化.本章本章上页上页下页下页第45页，共81页，编辑于2022年，星期二5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量1.向量的内积向量的内积2.正交向量组正交向量组3.正交矩阵正交矩阵本章本章上页上页下页下页4.实对称矩阵的特征值与特征向量实对称矩阵的特征值与特征向量第46页，共81页，编辑于2022年，星期二5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量实对称
20、矩阵的特征值和特征向量1.向量的内积向量的内积的夹角的余弦为上页上页下页下页本节本节第47页，共81页，编辑于2022年，星期二5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量定义定义1 称为向量称为向量 的的内积内积,记作记作 都是列向量时,有 上页上页下页下页本节本节第48页，共81页，编辑于2022年，星期二5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量内积有下列性质内积有下列性质:(1)对称性对称性:(2)线性性线性性:(3)非负性非负性:上页上页下页下页本节本节第49页，共81页，编辑于2022年，星期二对于对于 5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量
21、实对称矩阵的特征值和特征向量定理定理1(柯西柯西许瓦茨不等式许瓦茨不等式)中的任意两个向量中的任意两个向量 证证其中等号成立其中等号成立,当且仅当当且仅当先证不等式成立.定理显然成立.对任意实数t,有上页上页下页下页本节本节第50页，共81页，编辑于2022年，星期二5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量再证等号成立,当且仅当 存在k,使得 即对任意实数k,反之,若 矛盾.上页上页下页下页本节本节第51页，共81页，编辑于2022年，星期二5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量定义定义2 向量的长度具有下列性质向量的长度具有下列性质:(1)非
22、负性非负性:(2)齐次性齐次性:(3)三角不等式三角不等式:上页上页下页下页本节本节第52页，共81页，编辑于2022年，星期二5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量证证上页上页下页下页本节本节第53页，共81页，编辑于2022年，星期二5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量长度为1的向量称为单位向量单位向量.单位化单位化定义定义3上页上页下页下页本节本节第54页，共81页，编辑于2022年，星期二5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量2.正交向量组正交向量组定义定义4记作 零向量与任意一个向量都正交.上页上页下页下
23、页本节本节第55页，共81页，编辑于2022年，星期二例例1中求与这两个向量都正交解解5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量的单位向量.上页上页下页下页本节本节第56页，共81页，编辑于2022年，星期二5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量定义定义5则称该组向量为正交向量组正交向量组.则称该组向量为正交单位向量组正交单位向量组.上页上页下页下页本节本节第57页，共81页，编辑于2022年，星期二5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量定理定理2证证同理可证,上页上页下页下页本节本节第58页，共81页，编辑于2022年
24、，星期二5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量定义定义6V的一个标准正交基标准正交基.上页上页下页下页本节本节第59页，共81页，编辑于2022年，星期二5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量坐标的计算公式坐标的计算公式 上页上页下页下页本节本节第60页，共81页，编辑于2022年，星期二5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量施密特施密特(Schimidt)正交化方法正交化方法:正正交交化化单位化单位化:上页上页下页下页本节本节第61页，共81页，编辑于2022年，星期二例例2解解5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量
25、实对称矩阵的特征值和特征向量 设线性无关的向量组 试将这组向量标准正交化.施密特正交化方法施密特正交化方法.上页上页下页下页本节本节第62页，共81页，编辑于2022年，星期二5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量上页上页下页下页本节本节第63页，共81页，编辑于2022年，星期二5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量3.正交矩阵正交矩阵定义定义7则称为正交矩阵正交矩阵,简称正交阵正交阵.正交矩阵具有下述性质:(1)若Q为正交矩阵,则其行列式的值为1或1,即(2)若Q为正交矩阵,则Q可逆,且(3)若P,Q 都是正交矩阵,则 PQ 也是正交矩阵
26、.上页上页下页下页本节本节第64页，共81页，编辑于2022年，星期二5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量定理定理3证证其列(行)向量组是正交单位向量组.设Q为n阶实矩阵,则Q为正交矩阵的充分必要条件是 Q为正交矩阵,上页上页下页下页本节本节第65页，共81页，编辑于2022年，星期二例例3解解5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量验证下面的矩阵是正交矩阵:Q的每个列向量都是单位向量,且两两正交,所以Q是正交矩阵.上页上页下页下页本节本节第66页，共81页，编辑于2022年，星期二5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征
27、向量4.实对称矩阵的特征值与特征向量实对称矩阵的特征值与特征向量定理定理4实对称矩阵的特征值为实数.设A是n阶实对称矩阵,是A的特征值,x是A对应于证证 的特征向量,上页上页下页下页本节本节第67页，共81页，编辑于2022年，星期二5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量定理定理5设设A是是n阶实对称矩阵阶实对称矩阵,是是A的两个不同的特征值的两个不同的特征值,分别是对应的特征向量分别是对应的特征向量,证证 上页上页下页下页本节本节第68页，共81页，编辑于2022年，星期二5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量上页上页下页下页本节本节第69
28、页，共81页，编辑于2022年，星期二5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量定理定理6设设A是是n阶实对称矩阵阶实对称矩阵,则存在正交矩阵则存在正交矩阵Q,使使 为对角矩阵为对角矩阵.例例4设实对称矩阵设实对称矩阵求一个正交矩阵求一个正交矩阵Q,使使 为对角矩阵为对角矩阵.解解上页上页下页下页本节本节第70页，共81页，编辑于2022年，星期二5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量正交化正交化:令令上页上页下页下页本节本节第71页，共81页，编辑于2022年，星期二5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量上页上页下页下
29、页本节本节第72页，共81页，编辑于2022年，星期二5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量上页上页下页下页本节本节第73页，共81页，编辑于2022年，星期二例例5解解5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量A为实对称矩阵为实对称矩阵,A可对角化可对角化.即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵Q及对角矩阵及对角矩阵,使使上页上页下页下页本节本节第74页，共81页，编辑于2022年，星期二5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量上页上页下页下页本节本节第75页，共81页，编辑于2022年，星期二特征值与特征向量问题特征值与特征向量
30、问题 例例1解解考研园地设设A是是n阶实对称矩阵阶实对称矩阵,P是是n阶可逆矩阵阶可逆矩阵.已知已知n维列向量维列向量 向量是向量是().A为实对称矩阵为实对称矩阵,本章本章上页上页下页下页第76页，共81页，编辑于2022年，星期二例例2设设n阶矩阵阶矩阵(1)求求A的特征值和特征向量的特征值和特征向量.(2)求可逆矩阵求可逆矩阵P,使得使得 解解(1)观察矩阵观察矩阵,可知可知本章本章上页上页下页下页第77页，共81页，编辑于2022年，星期二若设若设B的列向量为的列向量为 矩阵矩阵A对应于特征值对应于特征值(k为任意非零常数为任意非零常数)本章本章上页上页下页下页第78页，共81页，编辑
31、于2022年，星期二A对应于特征值对应于特征值 的全部特征向量为的全部特征向量为 A的特征值的特征值:任意任意n维非零列向量均为特征向量维非零列向量均为特征向量.本章本章上页上页下页下页第79页，共81页，编辑于2022年，星期二A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量,对任意可逆矩阵对任意可逆矩阵P,均有均有 本章本章上页上页下页下页第80页，共81页，编辑于2022年，星期二例例3 设设A为三阶实对称矩阵为三阶实对称矩阵,且满足条件且满足条件 的秩的秩 已知已知A 解解求求 A的全部特征值的全部特征值.设设是矩阵是矩阵A的任一特征值的任一特征值,是对应特征值是对应特征值的特征向量的特征向量,A是实对称矩阵是实对称矩阵,必可对角化必可对角化,且且 本章本章上页上页下页下页第81页，共81页，编辑于2022年，星期二