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1、高数导数应用第1页，此课件共54页哦1.4.1 函数的单调性第2页，此课件共54页哦一、单调性的判别法定理定理证证（略）（略）第3页，此课件共54页哦证证应用拉格朗日中值定理应用拉格朗日中值定理,得得第4页，此课件共54页哦例例1 1解解 首先确定定义域首先确定定义域注意注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性，图中处的导数符号来判别一个区间上的单调性，图中蓝色曲线是导函数的图像蓝色曲线是导函数的图像第5页，此课件共54页哦单调区间单调区
2、间问题问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调个部分区间上单调定义定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的间称为函数的单调区间单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点界点方法方法:第6页，此课件共54页哦例例1.4.11.4.1解解根据根据 y的符号曲线和定理，列出下表的符号曲线和定理，列出下表x13y+00+y1913上图为导函数的符号曲线。第7页，此课件共54页哦就是说就是说单调区间为单调区间为第8
3、页，此课件共54页哦例例 1.4.2 1.4.2解解单调区间为单调区间为第9页，此课件共54页哦注意注意:区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性不影响区间的单调性.而而导数不存在的点也可能是单调性改变的点。导数不存在的点也可能是单调性改变的点。又如又如,例如上题中例如上题中,事实上，事实上，第10页，此课件共54页哦1.4.2 函数达到极值的条件 从例从例1.4.3 的函数图象中很的函数图象中很容易看到在函数从单调增加变容易看到在函数从单调增加变到单调减少的转折点处，函数到单调减少的转折点处，函数值达到值达到极大极大，这类特殊的峰点，这类特殊的峰点，即我们下面要讨论的函数
4、极值点即我们下面要讨论的函数极值点1.函数达到极值的必要条件函数达到极值的必要条件(1,19)函数极值分极大值和极小值当函数在一点从单调增函数极值分极大值和极小值当函数在一点从单调增加变到单调减少，函数值比邻近的函数值都大，这种函加变到单调减少，函数值比邻近的函数值都大，这种函数值称为数值称为极大值极大值；当函数在一点从单调减少变到单调；当函数在一点从单调减少变到单调增加，函数值比邻近的函数值都小，这种函数值称为增加，函数值比邻近的函数值都小，这种函数值称为极小值极小值第11页，此课件共54页哦一、函数极值的定义第12页，此课件共54页哦定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统
5、称为极值极值，使函数取得，使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.函数的极大值可能小于极小值，如函数的极大值可能小于极小值，如前页图前页图中的与中的与点的值点的值第13页，此课件共54页哦二、函数极值的求法二、函数极值的求法定理定理1.4.21.4.2(极值存在的必要条件极值存在的必要条件)定义定义注意注意:(1)这里的必要条件，有函数可导为前提。对这里的必要条件，有函数可导为前提。对于不可导点，函数也可能取极值。如例于不可导点，函数也可能取极值。如例1.4.2中。中。例如例如,(2)第14页，此课件共54页哦定理定理1.4.3(1.4.3(极值存在的第一充分条件极值存在的第一充分条件
6、)(是极值点情形是极值点情形)定理可以简记为经过定理可以简记为经过x0时导函数变号则极值存在时导函数变号则极值存在2.2.2.2.函数达到极值的第一充分条件函数达到极值的第一充分条件函数达到极值的第一充分条件函数达到极值的第一充分条件第15页，此课件共54页哦可导函数求极值的步骤可导函数求极值的步骤:(不是极值点情形不是极值点情形)函数也可能在不可导点处达到极值。函数也可能在不可导点处达到极值。第16页，此课件共54页哦例例2.4.52.4.5解解列表讨论列表讨论极小极小,y(2)第17页，此课件共54页哦图形如下：图形如下：上面的图形是用根上面的图形是用根轴法作的导函数的轴法作的导函数的符号
7、曲线，用于判符号曲线，用于判断导函数在各区间断导函数在各区间上的正负。上的正负。第18页，此课件共54页哦定理定理1.4.41.4.4教材61页证证同理可证同理可证(2).3.3.3.3.函数达到极值的第二充分条件函数达到极值的第二充分条件函数达到极值的第二充分条件函数达到极值的第二充分条件(极值存在的第二充分条件极值存在的第二充分条件)第19页，此课件共54页哦例例2 2解解图形如下图形如下第20页，此课件共54页哦注意注意:第21页，此课件共54页哦三、小结极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.驻点
8、和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点.函数的极值必在函数的极值必在临界点临界点取得取得.判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)对一般函数对一般函数(即要考虑驻点和不可导点即要考虑驻点和不可导点)求极值的求极值的步骤请看教材步骤请看教材6161页的下方页的下方第22页，此课件共54页哦1.4.3 函数的最值函数的整体极值定义定义第23页，此课件共54页哦2.4.4 函数的最值函数的最大值与最小值都是唯一的，它可能在函数的最大值与最小值都是唯一的，它可能在驻点驻点，不可导点不可导点及及区间的端点区间的端点处达到处达到第24页，此课件
9、共54页哦步骤步骤:1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较比较大小大小,那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小那个就是那个小那个就是最小值最小值;注意注意:如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值则这个极值就是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)第25页，此课件共54页哦二、应用举例例例1.4.51.4.5解解计算计算驻点：不可导点：区间端点：第26页，此课件共54页哦比较得比较得第27页，此课件共54页哦实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数建立目标函数;(
10、2)求最值求最值;左图中，若f(x0)不是最大值,则还有 x1 使得 f(x0)f(x1)，x0又是极大值点，于是从 x0 到 x1，函数的光光滑连续变化滑连续变化必导致x0与x1值之间出现另一驻点x2，这样x0就不会是唯一驻点了x0 x2x1第28页，此课件共54页哦例例1.4.61.4.6h2r解解本题是在条件V=r2h下求函数S=2rh+2r2的最小值.消去一个变量,即第29页，此课件共54页哦解得解得第30页，此课件共54页哦三、小结注意最值与极值的区别注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤实际问题求最值的步骤.P68
11、1.4.2(1)(5)1.4.3(4)(5)1.4.5 作业：1.4.4(1)(7)第31页，此课件共54页哦1.4.4 未定式求法未定式求法 下面学习导数在计算极限中的重要应用洛必达(L Hospital)法则.未定式是很常见和最基本的一类极限.限于时间原因我们不作理论上的展开,只学习具体方法与最基本的内容.第32页，此课件共54页哦定义定义例如例如,第33页，此课件共54页哦定理定理1.4.5(洛必达法则洛必达法则)定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.第3
12、4页，此课件共54页哦例例1.4.81.4.8解解例例1.4.71.4.7解解易见此式符合洛必达法则的条件，故易见此式符合洛必达法则的条件，故第35页，此课件共54页哦例例1.4.91.4.9解解解解例例1.4.101.4.10作业第36页，此课件共54页哦例例解解通分相加减化为再求通分相加减化为再求第37页，此课件共54页哦注意注意：(1)(1)洛必达法则是求不定式的一种有效方法，但它只洛必达法则是求不定式的一种有效方法，但它只能用于能用于.不是这两种类型的绝不能用！不是这两种类型的绝不能用！()洛必达法则不是万能的洛必达法则不是万能的.第38页，此课件共54页哦补例补例解解极限不存在极限不
13、存在洛必达法则失效。洛必达法则失效。注意：注意：洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件第39页，此课件共54页哦(3)(3)洛必达法则与其它求极限方法结合使用，效果更洛必达法则与其它求极限方法结合使用，效果更好好,特别是用之前要把极限的已知部分分离出来特别是用之前要把极限的已知部分分离出来.例例2.4.162.4.16解解分母中的tanx用等价的无穷小x代替了.分子用三角函数公式换作tan2x更简单,这里是又用了一次洛必达法则.小结小结第40页，此课件共54页哦例例 2.4.17 2.4.17解解关键关键:化为洛必达法则可解决的类型化为洛必达法则可解决的类型 .步骤步骤:此题转换为试试看（转
14、换为）第41页，此课件共54页哦第42页，此课件共54页哦步骤步骤:例例解解第43页，此课件共54页哦例例 2.4.22 2.4.22解解例例 2.4.23 2.4.23解解 取对数取对数,第44页，此课件共54页哦例例2.4.242.4.24解解又例又例解解第45页，此课件共54页哦小结洛必达法则洛必达法则作业作业P68 1.4.2(1)(5)，1.4.3(4)1.4.4(1)(2)(4)，1.4.5.第46页，此课件共54页哦又例又例解解注意注意:函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.如例如例2.4.4中的中的x=0点，下面再举一例点，下面再举一例第47页
15、，此课件共54页哦思考题思考题下述命题正确吗？下述命题正确吗？第48页，此课件共54页哦思考题解答思考题解答不正确不正确例例注意注意 定理定理1.4.2 1.4.2 是必要条件，而定理是必要条件，而定理1.4.3 1.4.3 及后及后面的定理面的定理1.4.41.4.4是充分条件，且都是在可导的前提下是充分条件，且都是在可导的前提下得出的得出的第49页，此课件共54页哦点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例4 4第50页，此课件共54页哦解解如图如图,第51页，此课件共54页哦解得解得第52页，此课件共54页哦思考题思考题第53页，此课件共54页哦思考题解答思考题解答结论不成立结论不成立.因为最值点不一定是内点因为最值点不一定是内点.例例在在 有最小值，但有最小值，但第54页，此课件共54页哦