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1、测量学第五章误差概念本讲稿第一页，共四十页 测量实践中可以发现，测量结果不可避免的存在误差，比如：1、对同一量多次观测，其观测值不相同。2、观测值之和不等于理论值：三角形 +180 闭合水准 h0本讲稿第二页，共四十页一、一、测量误差的来源测量误差的来源 等精度观测：观测条件相同的各次观测。不等精度观测：观测条件不相同的各次观测。1.仪器误差2.外界条件3.观测者观测条件粗差：因读错、记错、测错造成的错误。本讲稿第三页，共四十页二、二、测量误差的分类测量误差的分类在相同的观测条件下，无论在个体和群体上，呈 现出以下特性：误差的绝对值为一常量，或按一定的规律变化；误差的正负号保持不变，或按一定的
2、规律变化；误差的绝对值随着单一观测值的倍数而积累。1、系统误差 在相同的观测条件相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小、正负上表现出一致性，或者按一定的规律变化。本讲稿第四页，共四十页 例：钢尺尺长、温度、倾斜改正 水准仪 i角 消除和削弱的方法:（1）校正仪器；（2）观测值加改正数；（3）采用一定的观测方法加以抵消或削弱。注意：系统误差具有累积性，对测量成果影响较大。本讲稿第五页，共四十页 2、偶然误差 在相同的观测条件下，对某个固定量作一系列的观测，如果观测结果的差异在正负号及数值上，都没有表现出一致的倾向，即没有任何规律性，这类误差称为偶然误差。本讲稿第六页，共四十页一、偶然误差
3、的特性一、偶然误差的特性真误差真值与观测值之差真值与观测值之差本讲稿第七页，共四十页 绝对值相等的正、负误差出现的机会相等，可相互抵消；同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平 均值，随着观测次数的增加而趋近于零，即：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值;（有界性）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机 会要多；（密集性、区间性）（抵偿性）本讲稿第八页，共四十页二、误差处理的原则：1、粗差：舍弃含有粗差的观测值，并重新进行观测。2、系统误差：按其产生的原因和规律加以改正、抵 消和削弱。3、偶然误差：根据误差特性合理的处理观测数据 减少其影响。本讲稿第九页，共四十页本讲稿第十页，
4、共四十页本讲稿第十一页，共四十页本讲稿第十二页，共四十页本讲稿第十三页，共四十页直方图直方图由统计表格的数据我们可以绘制出一个直方图，其中横坐标为误差的大小，纵坐标表示各区间误差的相对个数相对个数除以区间的间隔值。即 以 代表误差区间。频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差 频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差本讲稿第十四页，共四十页 这样，每一误差区间上方的长方形面积，就代表误差出现在该区间的相对个数相对个数，其特点是能形象地反映出误差的分布情况。频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差 频数/d00.40.6 0.8-0.8
5、-0.6-0.4闭合差本讲稿第十五页，共四十页 频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差 频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差 频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差 00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差可见：左图误差分布曲线较高可见：左图误差分布曲线较高 且陡峭，精度高且陡峭，精度高 右图误差分布曲线较低右图误差分布曲线较低 且平缓，精度低且平缓，精度低本讲稿第十六页，共四十页 当n时，并使误差的区间间隔无限缩小，直方图就可以用下面的误差分布曲线误差分布曲线来代替。0 0.4 0.60.8-0.8-0.6-0.
6、4闭合差三、误差分布曲线三、误差分布曲线本讲稿第十七页，共四十页：概率密度：标准差（方根差或均方根差）本讲稿第十八页，共四十页评定精度的标准 中误差 容许误差 相对误差本讲稿第十九页，共四十页本讲稿第二十页，共四十页式中：例：试根据下表数据，分别计算各组观测值的中误差。本讲稿第二十一页，共四十页解：第一组观测值的中误差：解：第一组观测值的中误差：第二组观测值的中误差：第二组观测值的中误差：，说明第一组的精度高于第二组的精度。，说明第一组的精度高于第二组的精度。说明：中误差越小，观测精度越高说明：中误差越小，观测精度越高本讲稿第二十二页，共四十页本讲稿第二十三页，共四十页本讲稿第二十四页，共四十
7、页总结：第一公式 第二公式 （白塞尔公式）条件：观测值真值 x已知条件：观测值真值 x 未知，算术平均值已知其中 观测值改正数，本讲稿第二十五页，共四十页 定义 由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（极限）误差。二、容许误差（极限误差）二、容许误差（极限误差）测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差；即容=2m 或容=3m。极限误差的作用：极限误差的作用：区别误差和错误的界限。区别误差和错误的界限。本讲稿第二十六页，共四十页偶然误差的绝对值大于中误差9的有14个，占总数的35%，绝对值大于两倍中误差18 的只有一个，占总数的2
8、.5%，而绝对值大于三倍中误差的没有出现。中误差、真误差和容许误差均是绝对误差。中误差、真误差和容许误差均是绝对误差。本讲稿第二十七页，共四十页 相对误差K 是中误差的绝对值 m 与相应观测值 D 之比，通常以分子为1的分式 来表示，称其为相对（中）误差。即:三、三、相对误差相对误差 一般情况:角度、高差的误差用m表示，量距误差用K表示。本讲稿第二十八页，共四十页例 已知：D1=100m,m1=0.01m，D2=200m,m2=0.01m，求：K1,K2解：本讲稿第二十九页，共四十页在实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系直接计算出来的，即所求量是观
9、测值的函数。例如：多边形的内角和为各个独立观测角的函数。又如，从地图上量得的距离S来计算实地距离D时，由于图上长度比实地缩小了M倍，则D=M S，即所求量与观测值之间是倍乘的函数关系。本讲稿第三十页，共四十页 概念 误差传播定律：阐述观测值的中误差与观测值函数中误差的关系的定律。函数形式倍数函数和差函数线性函数一般函数本讲稿第三十一页，共四十页设非线性函数的一般式为：式中：为独立观测值；为独立观测值的中误差。求函数的全微分，并用“”替代“d”，得一、一、一般函数一般函数本讲稿第三十二页，共四十页式中：是函数F对 的偏导数，当函数式与观测值确定后，它们均为常数，因此上式是线性函数，其中误差为：误
10、差传播定律的一般形式误差传播定律的一般形式本讲稿第三十三页，共四十页二、线性函数的误差传播定律二、线性函数的误差传播定律设线性函数为：式中 为独立的直接观测值，为常数，相应的 观测值的中误差为 。本讲稿第三十四页，共四十页 1.列出观测值函数的表达式：2.对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式：式中，是用观测值代入求得的值。求观测值函数中误差的步骤：三、三、运用误差传播定律的步骤运用误差传播定律的步骤本讲稿第三十五页，共四十页 3、根据误差传播率计算观测值函数中误差：注意：在误差传播定律的推导过程中，要求观 测值必须是独立观测值。本讲稿第三十六页，共四十页 误差传播定的几个主要公式：函数名称函数名称函数式函数式函数的中误差函数的中误差倍数函数倍数函数和差函数和差函数线性函数线性函数一般函数一般函数本讲稿第三十七页，共四十页 因为 式中，1n为常数。由于各独立观测值的精度相同，设其中误差均为m。设平均值的中误差为mL，则有 算术平均值中误差算术平均值中误差mL本讲稿第三十八页，共四十页 由此可知，算术平均值的中误差为观测值的中误差的 倍。故故本讲稿第三十九页，共四十页例题：设用经纬仪测量某个角6测回，观测值列于 表中。试求观测值的中误差及算术平均值中误差。算术平均值L中误差是：本讲稿第四十页，共四十页