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1、波动光学机械波本讲稿第一页，共四十六页电磁波：电磁波：由由电磁振荡电磁振荡所激起的变化电所激起的变化电场和变化磁场在空间（不一定有介质）场和变化磁场在空间（不一定有介质）传播而形成的波。如无线电波、红外线、传播而形成的波。如无线电波、红外线、可见光、紫外线、伦琴射线等。可见光、紫外线、伦琴射线等。机械波：机械振动机械波：机械振动在在弹性媒质弹性媒质（固体，液体）里激起的波，故又叫（固体，液体）里激起的波，故又叫弹性波。如常见的水波、声波、地震弹性波。如常见的水波、声波、地震波等。波等。波波动动有有两两类类本讲稿第二页，共四十六页 都有传播速度，且伴随能量传播。都有传播速度，且伴随能量传播。遇见
2、障碍物或两种介质的交界面，都遇见障碍物或两种介质的交界面，都产生反射、折射、散射等现象。产生反射、折射、散射等现象。两波相遇时遵从叠加原理而可能形两波相遇时遵从叠加原理而可能形成干涉、衍射等现象。成干涉、衍射等现象。共共性性各种波的共性规律，就是我们所关心的内容。各种波的共性规律，就是我们所关心的内容。先以机械波中最简单、最重要的一种形式先以机械波中最简单、最重要的一种形式简谐波简谐波为例。为例。本讲稿第三页，共四十六页4-1 4-1 机械波的产生和传播机械波的产生和传播一、机械波的产生一、机械波的产生 A A点点的的振振动动会会引引起起邻邻近近B B 点点的的振振动动，B B 点点的的振振动
3、动又又会会引引起起较较远远C C点点的的振振动动。依依次次带带动动，使使振振动动以以一一定定的的速速度度由由近近及及远远的的传传播播出出去去，而形成机械波（弹性波）。而形成机械波（弹性波）。弹性媒质：弹性媒质：质元间彼此有弹性力联系的物质质元间彼此有弹性力联系的物质产生条件：产生条件：波源波源，弹性媒质弹性媒质。本讲稿第四页，共四十六页注意：注意：波波动动是是振振动动状状态态的的传传播播，媒媒质质中中各各点点并并不不随随波波前前进进，各各质质点点只只在在自自己己的的平平衡衡位位置置附附近近振振动动。振振动动的的传传播播速速度度称称波波速速，其其与与质质点点的振动速度是不同的振动速度是不同的。的
4、。质点的质点的振动方向振动方向和波的和波的传播方向传播方向不一定不一定相同。相同。本讲稿第五页，共四十六页二、横波和纵波横波和纵波横波横波振动方振动方向和传播方向相向和传播方向相互互垂直垂直。纵波纵波振动方向和振动方向和传播方向相互传播方向相互平行平行（一致）（一致）的波。的波。本讲稿第六页，共四十六页 波阵面：波阵面：振动相位相同的点连成的面叫波阵面振动相位相同的点连成的面叫波阵面.波波 前：前：在某一时刻，波传达到的最前面的波阵面在某一时刻，波传达到的最前面的波阵面称该时刻的波前。称该时刻的波前。三、波阵面和波射线三、波阵面和波射线波射线波射线(波线波线)：波的传播方向波的传播方向.各各向
5、同性媒介中，波线与波面垂直向同性媒介中，波线与波面垂直球面波：球面波：波阵面是以波源为中心的球面。波射线波阵面是以波源为中心的球面。波射线为沿半径的直线。为沿半径的直线。平面波：平面波：波面为平面。波射线是一束与波阵面正交波面为平面。波射线是一束与波阵面正交的平面线束。的平面线束。本讲稿第七页，共四十六页球面波球面波波阵面波射线波阵面波射线平面波平面波本讲稿第八页，共四十六页简简谐谐波波：波波所所传传播播的的振振动动是是谐谐振振动动，且且所所到到之之处处，媒媒质质中中各各点点均均作作同同频频率率，同同振振幅幅的的简简谐谐振振动（余弦、正弦波）。动（余弦、正弦波）。平面简谐波：平面简谐波：简谐波
6、的波阵面为平面。简谐波的波阵面为平面。4-2 4-2 平面简谐波平面简谐波一、平面简谐波的表达式（波函数）一、平面简谐波的表达式（波函数）各点作各点作同频率同频率谐振动。谐振动。波阵面平行平面，波射线为平行直线。波阵面平行平面，波射线为平行直线。本讲稿第九页，共四十六页Pxu故故只只要要研研究究任任意意一一条条波波线线上上波波的的传传播播规规律律，就就可可知知整整个个波波的传播规律了。的传播规律了。设原点设原点O O 作谐振动作谐振动oyx原点原点o o 的振动状态传到的振动状态传到P P点需时间点需时间x/ux/uP P点点t t 时刻的位移是时刻的位移是o o点在点在t-x/u t-x/u
7、 位移位移 1.1.沿坐标轴负方向传播的平面简谐波沿坐标轴负方向传播的平面简谐波本讲稿第十页，共四十六页-平面谐波的波动方程平面谐波的波动方程、振幅振幅已假定已假定不不会会衰减衰减，是理想情况。是理想情况。、o点是研究的点是研究的始点始点不一不一定是波源定是波源。说明说明:P uxoy波长：波长：在同一波线上，相邻的相位差为在同一波线上，相邻的相位差为2 2 的质的质点之间距离点之间距离。本讲稿第十一页，共四十六页 、T T 与媒质性质无关，仅取决与媒质性质无关，仅取决波源波源的振动的振动周期：周期：波前进一个波长的距离所需的时间波前进一个波长的距离所需的时间T T ，其，其与波源振动周期相等
8、。与波源振动周期相等。频率：频率：单位时间内，完整波的数目。单位时间内，完整波的数目。波速：波速：振动状态振动状态在媒质中的传播速度。也是在媒质中的传播速度。也是相相位位在媒质中的传播速度（在媒质中的传播速度（相速相速）。）。传播因子：传播因子：本讲稿第十二页，共四十六页此时，平面简谐波沿坐标此时，平面简谐波沿坐标轴负方向传播轴负方向传播2、沿坐标轴负方向传播的平面简谐波：、沿坐标轴负方向传播的平面简谐波：仍设仍设o o点振动方程为：点振动方程为：或或 P P点的振动较点的振动较o o 点点超前超前 ，故在，故在t t时刻，时刻，P P点的位移应等于点的位移应等于o o点在点在 时的位移时的位
9、移 本讲稿第十三页，共四十六页用以上关系将波函数改写为用以上关系将波函数改写为P P点在相位点在相位上上落后落后O O点点本讲稿第十四页，共四十六页-经经 波形沿波线传播了波形沿波线传播了 x x的距离的距离1、波动方程反映了波形传播和各质元的振动、波动方程反映了波形传播和各质元的振动 二、平面简谐波的表达式的物理意义二、平面简谐波的表达式的物理意义：本讲稿第十五页，共四十六页质元的质元的振动振动振动振动状态状态传输传输质元质元相位相位对质点对质点A本讲稿第十六页，共四十六页2 2、当、当x x 一定时一定时(设为设为x x)令令振动曲线振动曲线则则x x 处质点的谐振动处质点的谐振动3 3、
10、当、当t t 一定时一定时(设为设为tt)t t时刻的时刻的波形曲线波形曲线令令则则t t 时刻波线上各质点的位移时刻波线上各质点的位移本讲稿第十七页，共四十六页本讲稿第十八页，共四十六页.质点振动的最大速度。质点振动的最大速度。求：求：.解：解：.比较系数比较系数将所给方程变为将所给方程变为例例1 1、平面简谐波、平面简谐波沿沿x x 轴轴正方向正方向传播，传播，得得本讲稿第十九页，共四十六页也可以根据也可以根据各特征的物理意义各特征的物理意义，从分析相，从分析相位关系求得各量位关系求得各量 波长、波长、周期周期、波速波速质点振动速度质点振动速度本讲稿第二十页，共四十六页 解解（1 1）设设
11、波源振动波源振动方程为方程为例例2.2.平面简谐波平面简谐波u=u=400400m/s A=m/s A=0.010.01m T=m T=0.010.01s s波源：波源：t=t=0 0，经平衡位置（，经平衡位置（y y0 0=0=0）向上运动。求：）向上运动。求：（1 1）距距波源波源2m2m和和1m1m两点间振动两点间振动相位差；相位差；（2 2）距距波源波源2m2m处处为为坐标原点坐标原点的波函数。的波函数。t=0，y=0由旋转矢量法可得由旋转矢量法可得可得可得波动波动方程方程为为本讲稿第二十一页，共四十六页（1）x1=2m,x2=1m两质点的振动方程：两质点的振动方程：x2u2myo源源
12、xx11m本讲稿第二十二页，共四十六页x2u2myo源源xx11m（2 2）距源）距源2m(2m(原点原点)振动方程：振动方程：以以x x2 2点点为为坐坐标标原原点点的的波动方程：波动方程：本讲稿第二十三页，共四十六页四、振动与波动四、振动与波动初位相关系初位相关系与方程互解与方程互解l设坐标设坐标原点处振动原点处振动方程为：方程为：l则沿则沿X X轴正向传播的轴正向传播的波动波动方程为：方程为：l与波源相距与波源相距x=L处振动处振动方程为：方程为：与波源相距与波源相距x=L 处处反射波反射波方程为：方程为：本讲稿第二十四页，共四十六页n则四个初位相之间的换算关系为：则四个初位相之间的换算
13、关系为：l同理同理t=t0 0 处振动处振动方程为：方程为：即即若已知若已知t=t0 0 处振动处振动方程，波动方程为：方程，波动方程为：l若已知若已知x=L处振动处振动方程，则波动方程为：方程，则波动方程为：反之反之本讲稿第二十五页，共四十六页利用振动与波动利用振动与波动初位相关系初位相关系来解前例（来解前例（2 2）与波源相距与波源相距x2 2=2m处波动处波动方程的初位相为：方程的初位相为：以以x2 2点点为坐标为坐标原点原点的的波动方程：波动方程：本讲稿第二十六页，共四十六页五五.波动方程的微分形式波动方程的微分形式波动方程波动方程分别对分别对x,t 求两阶导求两阶导平面波的微分方程平
14、面波的微分方程 本讲稿第二十七页，共四十六页说明：说明：可以证明，可以证明，不仅不仅适合于沿适合于沿x x 轴轴负向负向传播的平面简传播的平面简谐波，谐波，而且而且适于任意的平面波（适于任意的平面波（非简谐波非简谐波）。）。不不仅仅适于机械波，适于机械波，也也适用于电磁波等适用于电磁波等对于均匀，各向同性的三维空间对于均匀，各向同性的三维空间 它它是物理学中一个具有普遍意义的方程。是物理学中一个具有普遍意义的方程。本讲稿第二十八页，共四十六页例例4.4.下图为一平面余弦横波下图为一平面余弦横波t t0=3=3秒秒时的波形，时的波形，此波形以此波形以u u=0.08=0.08米米/秒的速度沿秒的
15、速度沿x x 轴轴正向正向传播传播.求求：（：（1 1）a,ba,b两点的振动方向两点的振动方向;（2 2）波动方程；波动方程；（3 3）0 0点的振动方程。点的振动方程。解解：（1 1）由波形传播知由波形传播知a向下向下 b向上向上（）设（）设波动方程为波动方程为 本讲稿第三十一页，共四十六页（）（）0 0点振动方程为点振动方程为波动方程为：波动方程为：本讲稿第三十二页，共四十六页例例5.5.波源波源 ，发出波长为，发出波长为 的右的右行平面波，距波源行平面波，距波源d d 处一平面将波反射处一平面将波反射(无半无半波损失波损失)。写出坐标。写出坐标x x 处反射波的表达式处反射波的表达式?
16、解：解：利用振动与波动利用振动与波动初初位相关系位相关系，在在d d 处反射处反射波方程波方程初位相初位相为为本讲稿第三十三页，共四十六页另解：另解：在在d d 处的振动方程为处的振动方程为反射至反射至x处，处，又滞后又滞后在在d d 处的反射波方程为处的反射波方程为本讲稿第三十四页，共四十六页六六.半波损失半波损失波疏媒质波疏媒质：较小的媒质较小的媒质 波疏波疏 波密媒质波密媒质:反射点出现波节反射点出现波节波密媒质波密媒质：较大的媒质较大的媒质 即在即在反射点反射波反射点反射波的相位有的相位有 突变突变-半波损失半波损失本讲稿第三十五页，共四十六页 波密波密 波疏媒质波疏媒质:反射点出现波
17、腹反射点出现波腹即在反射点入射波和反射波同相即在反射点入射波和反射波同相波疏波疏波密波密反射反射半半波波损损失失本讲稿第三十六页，共四十六页3-3 3-3 波的能量波的能量动动 能能势势 能能能能 量量传传 播播波传播波传播媒质弹性形变媒质弹性形变媒质质点振动媒质质点振动一、一、波的能量和能量密度波的能量和能量密度（以绳传横波为例）（以绳传横波为例）1 1、能量：、能量：绳载面绳载面ss本讲稿第三十七页，共四十六页x x处取处取xx，则线元质量，则线元质量在振幅很小时，绳中张力在振幅很小时，绳中张力 ，张力，张力所做的功所做的功(线元的势能线元的势能)本讲稿第三十八页，共四十六页线元总的线元总
18、的机械能机械能从以上从以上Ek、EP、E的表达式看出：的表达式看出：传播中，任一线元的动能、势能都随时间传播中，任一线元的动能、势能都随时间同同相位、同量值相位、同量值变化，即变化，即动能动能达到达到最大最大时，时，势能势能也最大也最大；动能动能=0=0，势能，势能=0=0。与简谐。与简谐振动振动的动、的动、势能变化关系势能变化关系完全不同完全不同。本讲稿第三十九页，共四十六页 E 是一种波函数是一种波函数能量波能量波。和波的和波的传播速度、传播速度、方向方向总是总是相同相同，随随t 作周期变化。作周期变化。E 不再是常数，即波动不再是常数，即波动能量不守恒。能量不守恒。波的传播过程也是波的传
19、播过程也是能量传播能量传播过程。过程。与与简谐振动总能量守恒简谐振动总能量守恒不同。不同。动、势、机械能动、势、机械能不守恒不守恒的的原因原因：1.1.振动时，振动时，弹簧弹簧固定端虽有外力，但固定端虽有外力，但外力并不作外力并不作功功，因此振动不与外交换能量而守恒；而波动，因此振动不与外交换能量而守恒；而波动中任一中任一线元线元（或体元）的左右（或体元）的左右媒质媒质相互作用的相互作用的弹力弹力是是作功作功的，通过作功，能量向前传递，因此的，通过作功，能量向前传递，因此这一线元机械能不守恒这一线元机械能不守恒 本讲稿第四十页，共四十六页对对波波来来说说，势势能能取取决决于于 ，质质元元 位位
20、移移最最大大时时，媒媒质质间间相相对对位位移移 最最小小，而而振振动动速速度度 也也最最小小(动动能能为为0 0)，即即动动能为能为0 0 时，势能也为时，势能也为0 0 2.2.弹簧振子的势能取决于弹簧的弹簧振子的势能取决于弹簧的伸长量，伸长伸长量，伸长量量最大时，势能最大；最大时，势能最大；本讲稿第四十一页，共四十六页 2 2、能量密度、能量密度能量密度：能量密度：单位体积内的波动能量单位体积内的波动能量一个周期内的平均值一个周期内的平均值(平均能量密度平均能量密度)本讲稿第四十二页，共四十六页二、能流密度二、能流密度:定定义义：在在单单位位时时间间内内，沿沿波波速速方方向向垂垂直直通通过过单单位位面面积积的的平平均均能能量量，用用 表表示示，与与 同向，其大小反映了波的强弱同向，其大小反映了波的强弱波的强度。波的强度。平均能量密度平均能量密度单位时间单位时间内通过内通过S S 的能量的能量本讲稿第四十三页，共四十六页三、波的吸收三、波的吸收波的吸收：波的吸收：波在传输过程中，强度和振幅衰减的波在传输过程中，强度和振幅衰减的现象现象 吸收系数吸收系数设设x=0时，时，I=I0，则有则有实实验验指指出出：当当波波通通过过dxdx的的一一薄薄层层媒媒质质时时，若若波波强强度增量为度增量为dIdI(dI0dI0)，则，则:惠更斯原理本讲稿第四十四页，共四十六页