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1、九年级数学二次函数的应用培优教程考点方法破译1能熟练运用二次函数的性质解决实际问题；2能根据已知条件灵活地建立二次函数模型求解；3懂得分段函数概念，会根据需要建立分段函数，并能进行分类讨论，会求实际问题的极值.经典考题赏析【例】（甘肃）向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y=ax2+bx+c(a0)，若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的是（ ）A.第8秒 A.第10秒 A.第12秒 A.第15秒 【解法指导】根据对称性求对称轴，再根据图形确定.本例启示我们实际问题的二次函数求极值要判断对称轴处函数值是否存在.由题意，对称轴为，即x=1
2、0.5.根据其图象开口向下可知，离对称轴越近，炮弹越高，所以第10秒时炮弹高度最高，故应选B.【变式题组】1（庆阳）图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱二次函数桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4 m，如图（2）建立平面图直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）A. B. C. D. 2（兰州）如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间栓了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，栓绳子的地方距地面高度都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米.【例2】（长春）某商店经营一种水产品，成本为每千克40元的
3、水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为 元时，获得的利润最多.【解法指导】建立二次函数模型，配方或利用公式求解.解：设定价为x，月利润为y,则y=(50-40+x)(500-10x)=-10x2+600x-5000，所以当x=600/20=30时，y最大，即销售单价定为30元时，获得的利润最多.【变式题组】3（庆阳）兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y（元/平方米）随楼层数x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8），已知点（x，y）都在一个二次函数的图
4、象上（如图所示），则6楼房子的价格为 元/平方米.【例3】（济宁）某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80件，商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件，（1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？【解法指导】解：（1）（130-100）80=2400（元）（2）设应将售价定为x元，则销售利润当x=125时，y有最大值2500，应将售价定为125元时，最大销售利润是2500元.【变式题组】4（洛江）我区某工艺厂为迎接建国60周年，设计了一款成本为20
5、元/件的工艺品投放市场进行试销.经过调查，其中工艺品的销售单价x（元/件）与每天的销售量y（件）之间满足如图所示关系.（1）请根据图象直接写出当销售单价定为30元和40元时相应的日销售量；（2）试写出y与x之间的函数关系式；若物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价）【例4】（黔东南）凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出
6、，以每次提高20元的这种方法变化下去，（1）设每间包房收费提高x（元），则每间包房的收入为y1（元），但会减少y2间包房租出，请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式；（2）为了投资少而利润大，每间包房提高x（元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y（元），请写出y与x之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由.【解法指导】解：（1）y1=100+x，y2=x.（2）y=(100+x)(100-x), y=-(x-50)2+11250,中为提价前包房总收入为100100=10000，当x=50时，可获最大包房收入11250，因为1125010000，又因
7、为每次提价为20元，所以每间包房晚餐应提高40元或60元.【变式题组】5（武汉）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不得高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元，（1）求y与y元，x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？【例5】（重庆）某商场在销售旺季临近时，某品
8、牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售.（1）请建立销售价格y（元）与周次x之间的函数关系；（2）若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价z（元）与周次x之间的关系为，1x11，且x为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每件获得利润最大？并求最大利润为多少？【解法指导】本题（1）中要建立分段函数，（2）中也是分段函数关系，求最值要根据x的取值范围分类去求，最后比较确定最大利润.解：（1）（2）设利润为w 当x=5时，（元） 当x=11时，（元）综上可知，在第11
9、周进货并售出后，所获利润最大为每件元.【变式题组】6（扬州）红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来的40天内的日销售量（件）与时间（天）的关系如下表：未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与时间t（天）的函数关系式为：y1=1/4t+25(1t20且t为整数)；后20天每天的价格y2（元/件）与时间t（天）的函数关系式为：y1=-1/2t+40(21t40且t为整数)，下面我们来研究这种商品的有关问题. （1）认真分析上表中的数量关系，利用学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些之间的函数关系式； （2）请预测未来40天中哪一天的
10、销售利润最大，最大日销售利润是多少？ （3）在实际销售的前20天中该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a4）给希望工程，公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围. 【例6】（黔东南）如图，已知抛物线与x轴交于A（-4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C（0，-4），矩形DEFG的一边DG在线段AB上，顶点E、F分别在线段AC、BC上.（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点D的坐标为（m，0），矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并写出m的取值范围；（3）当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接GE并延长至点M，使ME=kGE
11、，若点M不在抛物线上，求k的取值范围.【解法指导】（1）由题意，可设抛物线的函数式为y=a(x-2)(x+4),把C（0，-4）代入，得-4=a(0-2)(0+4),抛物线的函数关系式为，即（2）由题意，又AO=OC=4，AD=4+ m，DE=4+ m，又，BO=2，GF=DE，BG=2+，DG=（AO+BO）-（AD+BG）=（4+2）-(4+ m)+( 2+)=.S=DGDE=(4+ m)= (-4m0)(3) 当m=-2时，矩形的面积最大，此时E（-2，-2），G（1，0）。设直线EG的解析式为y=kx+b,易求得，.令，整理得，解得0 （舍去，）.设射线GE与抛物线相交于点N，则点N的
12、横坐标为，过N作x轴的垂线交x轴于H，则，若点M不在抛物线上，即点M不与N重合，k的取值范围是k0，且k.【变式题组】7（株洲）如图1，RtABC中，A=90，tanB=,点P在线段AB上运动，点Q、R分别在线段BC、AC上，且使得四边形APQR是矩形，设AP的长为x，矩形APQR的面积为y，已知y是x 的函数，其图象是过点（12，36）的抛物线的一部分（如图2所示）.（1）AB的长（2）当AP为何值时，矩形APQR的面积最大，并求出最大值.演练巩固反馈提高01（莆田）出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可信出(6-x)个，则当x= 元时，一天出售该种文具盒的总利润 y最大.02（临沂）矩形A
13、BCD中，AD=8cm，AB=6cm，动点E从点C开始沿边CB向点B以2cm/s的速度运动，动点F从点C同时出发沿边CD向D以1cm/s的速度运动至点D停止.如图可得到矩形CFHE，设运动时间为x(单位:s)，此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y(单位；cm2)，则y 与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ）03（烟台）某商场将价为2000元的冰箱以2400克售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台.（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元
14、，请写出 y与x之间的函数关系式，（不要求写出自变量的取值范围）；（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？04（滨州）某商品的进价为每件40元，当售价为每期件60元，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件，在确保盈利的前提下，解答下列问题：（1）若设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y 元，请写出 y与x的函数关系式并求出自变量x的取值范围；（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？（3）请画出上述函数的
15、大致图象.05（青岛）某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查，调查发现这种水产品的每千克售价y1（元）与销售月份x（月）满足关系式，而其每千克成本y2（元）与销售月份x（月）满足的函数关系如图所示.（1）试确定b、c的值；（2）求出这种水产品每千克的利润y（元）与销售月份x（月）之间的函数关系式.06（凉山州）我州有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场价格20元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元；但冷冻存放这批野生菌每天需要支出各种费用310元，而且这类野生菌在冷库中最多
16、保存160天，同时平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售.（1）设x天后每千克野生菌的市场价格为y元，试写出y与x之间的函数关系式；（2）若存放x天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为p元，试写出p与x之间的函数关系式；(3)李经理将这批野生菌存放多少天后出售可获得最大利润W元？（利润=销售总额-收购成本-各种费用）07（茂名）我市某工艺厂为配合北京奥运，设计了一款成本为20元的工艺品投放市场进行试销，经过调查得到如下数据：（1）把上表中的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想每天销售量与销售单价的函数关系，并求出函数关系式；（2）当销售单价定为多少时
17、，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价）（3）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？培优升级奥赛检测01（兰州）一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m.（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图所示），求抛物线的解析式；（2）求支柱EF的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由.02（包头）某商场试销一
18、种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y ( 件)与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b，且x=65时，y=55 ； x=75时，y=45.（1）求一次函数y=kx+b的表达式；（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？03（黄石）为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡。国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴，规定每购买一台彩电。政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y (台)与补贴款额x(元)之间大致满足如图所示的一次函数
19、关系.随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z（元）会相应降低。且z与x之间也大致满足如图所示的一次函数关系.（1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y和每台家电的收益Z与政府补贴款额x之间的函数关系式；（3）要使该商场销售彩电的总收益W（元）最大，政府应将每台补贴款额x定为多少？并求出总收益W的最大值.04（黄冈）新星电子科技公司积极应对2008年世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线.由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来
20、，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算一次）.公司累积获得的利润y(万元)与销售时间第x（月）之间的函数关系式（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）对应的都在如图所示的图象上，该图象从左至右，依次是线段OA，曲线AB和曲线BC，其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为抛物线的顶点，曲线BC为另一抛物线y=-5x2+205x-1230的一部分，且点A、B、C的横坐标分别为4，10，12.（1）求该公司累积获得的利润y(万元)与时间第x（月）之间的函数关系式；（2）直接写出第x个月所获得S（万元）与时间x(月) 之间的函数关系式（不需要写出计算过程）（3）
21、前12个月中，第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？05（荆州）由于国家重点扶持节能环保产业，某种节能产品的销售市场逐渐回暖.某经销商销售这种产品，年初与生产厂家签订了一份进货合同，约定一年内进价为01万元/台，并预付了5万元押金，他计划一年内要达到一定的销售量，且完成此销售量所用的进货总金额加上押金控制在不低于34万元，但不高于40万元.若一年内该产品售价y（万元/台）与月次x(1x12,且为整数)满足关系式：，一年后发现实际每月的销售量P（台）与月次x之间存在如图所示的变化趋势.（1）直接写出实际每月的销售量P（台）与月次x之间的函数关系式；（2）求前3个月中每月的实际销售利润W（万元）与月次x之间的函数关系式；（3）试判断全年哪一个月的售价最高，并指出最高售价；（4）请通过计算说明他这一年是否完成了年初计划的销售量.