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1、http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网2010 年中考数学复习必备教案年中考数学复习必备教案第四单元第第四单元第 28 课课时时 解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用知识点回顾知识点回顾知识点知识点 1 1：解直角三角形：解直角三角形1 1、解直角三角形的类型：、解直角三角形的类型：根据求解的条件分类，利用边角关系可有如下基本基本类型及其解法：（1 1）已知两边：）已知两边：两条直角边 a、b其解法：c=22ba，用 tanA=,求得A，B=90A斜边和一条直角边 c、a其解法：b=22ac，用 sinA=，求得A，B=90
2、A来源:Z。xx。k.Com（2 2）一边和一锐角：）一边和一锐角：一条直角边 a 和锐角 A：B=90A；用 tanA=ba,求得 b=；用 sinA=ca，求得 c=斜边 c 和锐角 A：B=90A；用 sianA=ca,求得 a=；用 cosA=cb,求得b=2 2、解直角三角形的方法（口诀、解直角三角形的方法（口诀）：“有斜用弦，无斜用切；宁乘毋除，取原避中”这两句话的意思是：当已知和求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可用已知数据又可用中间数据求解时，则用原始数据，尽量避免用中间数据【友情提示】【友情提示】解题
3、时方法要灵活，选择关系时尽量考虑用原始数据，减小误差；斜三角形问题可添加合适的辅助线转化为直角三角形问题。例例 1 1：（08 年宁夏中考）如图，在ABC中，C=90，sinA=54，AB=15，求ABC的周长和 tanA的值解析：解析：应用直角三角形边角关系求出各边长，再求出周长与 tanA 的值。http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网解：解：在Rt ABC中,C=90,AB=15Asin=ABBC=54,12BC912152222BCABACABC的周长为 36tanA=34ACBC同步检测一：同步检测一：1（2009湖南省益阳市）如图 3，先锋村准备在坡角为的山
4、坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为 5米，那么这两树在坡面上的距离 AB 为（）A.cos5B.cos5C.sin5D.sin52（2008 湖南益阳）AC是电杆AB的一根拉线，测得BC=6 米，ACB=52，则拉线AC的长为()A.526sin米B.526tan米C.6cos52米D.526cos米3.(2008(2008 年乐山市年乐山市)如图 ADCD，AB13，BC12，CD3，AD4，则 sinB=（）A、513B、1213、35、451.答案：1B.2D3A来源:学科网 ZXXK知识点知识点 2 2：解直角三角形的应用：解直角三角形的应用（1 1）仰角和俯角）仰角和俯角在进行测
5、量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做.5 米AB图 3ABCBDCAhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网（2 2）方位角）方位角指南或指北的方向线与目标方向线构成小于 900 的角,叫做.如图：点 A 在 O 的北偏东 30点 B 在点 O 的南偏西 45（西南方向）注意：方位角是指从正北方向开始顺时针旋转后所成的角。（3 3）坡度的概念，坡度与坡角的关系。）坡度的概念，坡度与坡角的关系。如右图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作 i，即 i，坡度通常用 l：m 的形式，例
6、如上图中的 1：2 的形式。坡面与水平面的夹角叫做坡角。从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是 ilh=，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。【友情提示】【友情提示】在解直角三角形的应用题时，要注意以下各点：要弄清仰角、俯角、坡度坡角、方向角等概念的意义；3045BOA东东西西北北南南铅铅直直视线视线仰角仰角俯角俯角视线视线视线视线水平线水平线http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网认真分析题意，画图并找出要求解的直角三角形。有些图形虽然不是直角三角形，但可通过添加适当的辅助线把它分割成一些直角三角形和矩形。选择合适的边角关系，使运算尽可能简便，并且不容易出错；
7、来源:学科网按题目中已知数的精确度进行近似计算，并按题目要求精确度确定答案，注明单位。来源:学|科|网 Z|X|X|K例例 2 2：（08 年河北）气象台发布的卫星云图显示，代号为 W 的台风在某海岛（设为点O）的南偏东45方向的B点生成，测得100 6kmOB 台风中心从点B以 40km/h 的速度向正北方向移动，经 5h 后到达海面上的点C处因受气旋影响，台风中心从点C开始以 30km/h 的速度向北偏西60方向继续移动以O为原点建立如图 12 所示的直角坐标系（1）台风中心生成点B的坐标为，台风中心转折点C的坐标为；（结果保留根号）（2）已知距台风中心 20km 的范围内均会受到台风的侵
8、袭如果某城市（设为点A）位于点O的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？解析解析：过点 C 作 CDOA 于点 D，构造直角三角形求出 CA 的长，然后根据速度求台风从生成到最初侵袭该城要经过的时间。解解：（1）(100 3100 3)B，(100 3 200 100 3)C，；（2）过点C作CDOA于点D，如图 2，则100 3CD 在RtACD中，30ACD，100 3CD，3cos302CDCA200CA20020630，5611，来源:学科网 ZXXK台风从生成到最初侵袭该城要经过 11 小时例例 3 3：（09 年广东深圳）如图，斜坡AC的坡
9、度（坡比）为 1:3，x/kmy/km北东AOBC6045图 12x/kmy/kmAOBC6045图 2DABCDhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网ABCDAC10 米坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB14 米试求旗杆BC的高度解析：解析：延长 BC 交 AD 于 E 点，构造直角三角形，由坡比为13，可知CAE=30，运用解直角三角形知识可求出 CE、AE 的长度，在 RtABE 中运用勾股定理，可求得 BE，BC=BE-CE.解：解：延长BC交AD于E点，则CEAD在 RtAEC中，AC10，由坡比为 13可知：CAE30，CEACs
10、in3010125，AEACcos3010325 3在 RtABE中，BE22ABAE2214(5 3)11BEBCCE，BCBECE11-56（米）答：旗杆的高度为 6 米例例 4 4：（09 年四川成都）某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时，开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度如图，他们先在点 C 测得教学楼 AB 的顶点 A 的仰角为 30，然后向教学楼前进 60 米到达点 D，又测得点 A 的仰角为 45。请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度(计算过程和结果均不取近似值)来源:Zxxk.Com解析解析：由仰角的定义可知ABD=45，ACE=30，
11、在 RtABC 中运用解直角三角形知识可以求得 BC=3AB，由 BC-BD=CD,得3AB-AB=60，AB=30（3+1）米。来源:Zxxk.Com解：解：如图，由已知可得ACB=30，ADB=45在 RtABD 中，BD=AB.又在 RtABC 中，tan30=BCAB，BCAB=33，即 BC=3AB.BC=CDBD，3AB=CDAB，即（31）AB=60.AB=1360=30（31）（米）ABCDEhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网答：教学楼的高度为 30（31）米.同步检测二：同步检测二：1.（2009黑龙江省哈尔滨市）如图，一艘轮船以每小时 20 海
12、里的速度沿正北方向航行，在 A 处测得灯塔 C 在北偏西 30方向，轮船航行 2 小时后到达 B 处，在 B 处测得灯塔 C 在北偏西 60方向当轮船到达灯塔 C 的正东方向的 D 处时，求此时轮船与灯塔 C 的距离（结果保留根号）2.（2009内蒙古包头市）如图，线段ABDC、分别表示甲、乙两建筑物的高，ABBCDCBC，从B点测得D点的仰角为 60从A点测得D点的仰角为30，已知甲建筑物高36AB 米（1）求乙建筑物的高DC；（2）求甲、乙两建筑物之间的距离BC（结果精确到 0.01 米）（参考数据：21.41431.732，）3.（2009山西省）有一水库大坝的横截面是梯形ABCD，AD
13、BCEF，为水库的水面，点E在DC上，某课题小组在老师的带领下想测量水的深度，他们测得背水坡AB的长为 12 米，迎水坡上DE的长为 2 米，135120BADADC，求水深（精确到0.1 米，21.411.73，3）来源:Zxxk.ComD乙CBA甲http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网ABCDEF水深MGHhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网参考答案：参考答案：来源来源:学科网学科网 1.解：由题意得CAB=30，CBD=60，ACB=30ACB=CAB，BC=AB=202=40CDB=90，sinCBD=BCCD，即 sin60=BC
14、CD=23CD=BC23=4023=203此时轮船与灯塔 C 的距离为 203海里.2.解：（1）过点A作AECD于点E，根据题意，得6030DBCDAE ，36AEBCECAB，米，来源:Zxxk.Com设DEx，则36DCDEECx，在RtAED中，tantan30DEDAEAE，33AExBCAEx，在RtDCB中，36tantan6033DCxDBCBCx，3361854xxxDC，（米）（2）3BCAEx，18x，3 1818 1.73231.18BC（米）3.【解析】分别过点 A、D 作梯形的高，图形便分为两个直角三角形和一个矩形，在直角三角形中利用锐角三角函数计算出 AM、DG、
15、DH，即可求出水深.【答案】解：分别过AD、作AMBC于MDGBC，于G过E作EHDG于H，则四边形AMGD为矩形,135120ADBCBADADC，456030BDCGGDC，在RtABM中，2sin126 22AMABBD乙CBA甲Ehttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网6 2DG 在RtDHE中，3cos232DHDEEDH6 21.41 1.73HGDGDH-366.7答：水深约为 6.7 米随堂检测：随堂检测：1.1.（09 年福建漳州）三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan的值是（）A34B43C35D452.2.（09 年河北）如图是某商场一楼与二楼之
16、间的手扶电梯示意图其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，ABC=150，BC的长是 8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（）A833mB4 mC4 3mD8 m3.3.(09 年湖北恩施)如图，在ABC 中，C=90,B=60,D 是 AC 上一点，ABDE 于E,且,1,2DECD则BC的长为()A.2B.334C.32D.344.4.（09 年遂宁）如图，已知ABC 中，AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，那么 AC 边上的中线 BD 的长为cm.5.（09 年益阳）如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形（第 1 题）ABCD150第 2 题h?图5?E?D?C?B
17、?A（第 3 题）（第 4 题）http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网ABC沿直线BC平移得到CBA，使点B与C重合，连结BA，则CBAtan的值为.来源来源:Zxxk.Com:Zxxk.Com6.6.（09 年朝阳）如图，ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DEAB于点E，DFAC于点F若2BC，则DEDF_7.（09 年温州）ABC 中，C=90，AB=8，cosA=43，则 AC 的长是8.8.计算：01)2008(260cos.9.计算：10182sin45(2)310.（08 年绍兴）地震发生后，一支专业搜救队驱车前往灾区救援如图，汽车在一条南北走向
18、的公路上向北行驶，当在A处时，车载 GPS（全球卫星定位系统）显示村庄C在北偏西25方向，汽车以 35km/h 的速度前行 2h 到达B处，GPS 显示村庄C在北偏西52方向（1）求B处到村庄C的距离；（2）求村庄C到该公路的距离（结果精确到 0.1km）（参考数据：sin260.438 4?，cos260.898 8?，sin520.788 0?，cos520.615 7?）FEBCDA（第 6 题图）AC(B)BAC（第 5 题）http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网11.（08 年青岛）在一次课题学习课上，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图
19、所示，其中，AB 表示窗户，且 AB2 米，BCD 表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线 CD 的最小夹角为 18.6，最大夹角为 64.5请你根据以上数据，帮助小明同学计算出遮阳蓬中 CD 的长是多少米？（结果保留两个有效数字）（参考数据：sin18.60.32，tan18.60.34，sin64.50.90，tan64.52.1）12.（09 年广东省）如图所示，A、B两城市相距 100 km现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30和B城市的北偏西45的方向上 已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km 为半径的圆形区
20、域内 请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区为什么？（参考数据：31.73221.414，）13.（09 年黄冈）如图，在海面上生产了一股强台风，台风中心（记作点M）位于滨海市（记作点A）的南偏西 15，距离为61 2千米，且位于临海市（记作点B）正西方向60 3第 12 题4530ADBANBC（第 10 题图）http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网千米处台风中心正以 72 千米/时的速度沿北偏东 60的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变），距离台风中心 60 千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭（1）滨海市、临海市是否会受到此次台风的侵袭？请说明
21、理由（2）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时？随堂检测答案：随堂检测答案：1.A1.A 2.B2.B 3.B3.B 4.4.2135.5.316.6.37.7.6 68.8.解：原式=12121=29.9.解：10182sin45(2)322 221 32 2210.10.解：过C作CDAB，交AB于D（1）52CBD，26A，26BCA，70BCAB，即B处到村庄C的距离为 70km（2）在RtCBD中，sin52CDCB70 0.788055.2即村庄C到该公路的距离约为 55.2kmAMB（滨海市）（临海市）ANBChttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永
22、久免费组卷搜题网11.11.解：设 BC 的长为 x 米，则 AC 的长为（2x）米，由于为 18.6，为 64.5，所以ADC，CDB在 RtACD 中，AC（x2）米，ACD90，ADC64.5，CD0tan64.5AC在 RtBCD 中，BCx 米，ACD90，BDC18.6，CD0tan18.6BC0tan64.5AC0tan18.6BC，tan18.6（x2）tan64.5x即 x1.5，BC1.5 米，CD1.50.324.7（米）答：遮阳蓬中 CD 的长是 4.7 米.12.12.解：过点P作PCABC，是垂足，则3045APCBPC，ACPCtan30BCPE，tan45,AC
23、BCAB，PCtan30PCtan45=100，311003PC，50 33503 1.73263.450PC答：森林保护区的中心与直线AB的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区13.13.解：（1）设台风中心运行的路线为射线MN于是601545AMN ，906030BMN 过点A作1AHMN于H，故1AMH为等腰直角三角形P答案 12 题图FBCAEhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网61 2AM，故16160AH 滨海市不会受到台风的侵袭再过B作2BHMN于2H 由于60 3MB，230H MB，故230 360BH 故临海市会受到台风侵袭（2）以点B为圆心，60 为半径作圆与射线MN分别交于12T T故1260BTBT在12BT H中，212130 33sin602BHBT HBT故锐角1260BT H 又12BTBT，故12BT H为等边三角形1 2TT 来源:Zxxk.Com当台风中心点Q位于线段1 2TT内时，160QBT B，点B在以Q为圆心，60为半径的圆的圆形区域内，此时临海市会受到台风侵袭，即台风中心经过线段1 2TT上所用的时间605726（小时）临海市受到台风侵袭时间为56小时AMB（滨海市）（临海市）60 361 2T1H1H2T2