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1、http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网96 棱柱、棱锥和球棱柱、棱锥和球一、明确复习目标1.理解棱柱、棱锥的有关概念，掌握棱柱、棱锥的性质和体积计算；2.会画棱柱、棱锥的直观图，能运用前面所学知识分析论证多面体内的线面关系，并能进行有关角和距离的计算.3了解球、球面的概念,掌握球的性质及球的表面积、体积公式,理解球面上两点间距离的概念,了解与球内接、外切几何问题的解法二建构知识网络一、棱柱(1)棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.(2)棱柱的性质：侧棱、侧面、横截面、纵截面的性质侧棱
2、都相等，侧面都是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.(3)棱柱的分类：按底面多边形的边数分类：三棱柱，四棱柱，n 棱柱.按侧棱与底面的位置关系分类:斜棱柱其他直棱柱正棱柱直棱柱棱柱(4)特殊的四棱柱:四棱柱 平行六面体直平行六面体长方体 正四棱柱 正方体.请在“”上方添上相应的条件.(5)长方体对角线定理:长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和.(6)棱柱的体积公式:ShV柱,S是棱柱的底面积,h是棱柱的高.二、棱锥1.定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥.如果一个棱锥的
3、底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥.2.正棱锥的性质侧棱、侧面的性质和一些 Rt(1)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形.(2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形.3.一般棱锥的性质定理：如果棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥高的平方比.http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网4.棱锥的体积:V=31Sh，其 S 是棱锥的底面积，h 是高.三、球1.定义：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球
4、面。球面所围成的几何体叫做球体.球面是到定点的距离小于或等于定长的点的集合.过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长叫做两点的球面距离.地球上的径度是个二面角，纬度是个线面角。2.性质：平面截球所得的截面是圆.（1）球心和球面圆心的连线垂直于截面；（2）球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r 的关系：22rRd3.S球=4R2；V球=34R3.三、双基题目练练手1.如图，在斜三棱柱 ABCA1B1C1中，BAC=90，BC1AC，则 C1在底面 ABC 上的射影 H 必在()A.直线 AB 上;B.直线 BC 上;C.直线 AC 上;D.ABC 内部A1ABB1CC12如图，正三棱
5、锥 PABC 顶点 P 在底面上的射影在ABC 内部，M 是侧面 PAB上的点，且 M 到点 P 的距离等于 M 到底面的距离,则点 M 的轨迹是()A椭圆的一段B.双曲线的一段C.一段抛物线D.直线段MCBAP3.(2005 全国卷 II)将半径都为 1 的 4 个铅球完全装入形状为正四面体的容品里，这个正四面体的高最小值为（）A3623 B3622 C3624 D362344.三条弦 PA、PB、PC 两两垂直的，且3,5PAPB，15PC，则过点 P、A、B、http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网C 的球面 O 的半径 R=；5.斜三棱柱的一个侧面的面积为 S，
6、这个侧面与它所对的棱的距离为 d，那么这个三棱柱的体积为_.6.在三棱锥 SABC 中，ASB=ASC=BSC=60，则侧棱 SA 与侧面 SBC 所成的角的大小是_.ACSB7.地球的半径为 R,北纬 450纬线上有 2 点 A、B 间的球面距离为大圆周长的16，则 A、B 两地间纬线长为答案提示：1-3.AAC；4.2325.21dS;6 arccos33;7.22R1提示：BC1在上底面的射影垂直于 AC，必为 AB.法二：AC平面 ABC1，从而平面 ABC1平面 ABC4先确定点 P、A、B、C 所在的球面及其直径.5.补上一个相同的棱柱成为平行六面体；或割成三个相同的三棱锥.四、经
7、典例题做一做【例 1】如图，设三棱锥 SABC 的三个侧棱与底面 ABC 所成的角都是 60，又BAC=60，且SABC.ABCDSO（1）求证：SABC 为正三棱锥；（2）已知 SA=a，求 SABC 的全面积.证明（1）：正棱锥的定义中，底面是正多边形；顶点在底面上的射影是底面的中心，两个条件缺一不可.作三棱锥 SABC 的高 SO，O 为垂足，连结 AO 并延长交 BC 于 D.http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网ABCDSOEF因为 SABC，所以 ADBC.又侧棱与底面所成的角都相等，从而 O 为ABC 的外心，OD 为 BC 的垂直平分线，所以 AB=A
8、C.又BAC=60，故ABC 为正三角形，且 O为其中心.所以 SABC 为正三棱锥.解（2）：在 RtSAO 中，由于 SA=a，SAO=600，所以 SO=23a，AO=21a.因 O 为重心，所以 AD=23AO=43a，BC=2BD=2ADcot600=23a，OD=31AD=41a.在 RtSOD 中，SD2=SO2OD2=（23a）2（41a）2=1613，则 SD=1413a.于是，（SSABC）全=21（23a）2sin60321413a23a=16)393(3a2.思悟探讨（1）求正棱锥的侧面积或全面积还可以利用公式S正棱锥底=cosS正棱锥侧（为侧面与底面所成的二面角）.（
9、2）注意到高 SO=23a，底面边长 BC=23a 是相等的，因此这类正三棱锥还有高与底面边长相等的性质，反之亦真.（3）正三棱锥中，若侧棱与底面边长相等，则可称为正四面体，因此正四面体是特殊的正三棱锥，但正三棱锥不一定是正四面体.【例 2】三棱锥 ABCD 的两条棱 AB=CD=6，其余各棱长均为 5，求三棱锥的内切球半径.ABCFOD E解法一：易知内切球球心 O 到各面的距离相等.设 E、F 为 CD、AB 的中点，则 O 在 EF 上且 O 为 EF 的中点.在ABE 中，AB=6，AE=BE=4，OH=873.http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网解法二：设
10、球心 O 到各面的距离为 R.则 431SBCDR=VABCD，SBCD=2164=12，VABCD=2VCABE=67.43112R=67.R=873.评述：正多面体与球的切接问题常借助体积求解.【例 3】（2006 邯郸一模）已知，三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧棱与底面成 600的角，ABAC，BC1A1C1，AB=4，AC=3.(1).求证：截面 ABC1底面 ABC；(2).求三棱柱 ABC-A1B1C1的体积的最小值；(3).求三棱柱 ABC-A1B1C1体积最小时，截面 A1BC1与底面 ABC 所成二面角的大小.B1A1C1CBA证(1)：在三棱柱 ABC-A1B1C1中,A
11、C A1C1,BC1A1C1,BC1AC,又ABAC,AC面 ABC1,面 ABC1面 ABC.解（2）：作 C1H面 ABC 于 H,则 H 在 AB 上，连 CH，则HCC1=600当 H 与 A重合时 CH 最短，棱柱的高 C1H=CHtan600=3CH 最短三棱柱 ABC-A1B1C1的体积 V 最小.此时，ACC1=600,C1H=AC1=33V=112AB AC C H14 33318 3.2 解（3）设面 ABC 交面 A1BC1于直线 m,则 m 为二面角的棱.ACA1C1,AC面 A1BC1,ACm,ABm,又 AC1面 ABC,由三垂线定理知 C1Bm,ABC1为所求二面
12、角的平面角.在RtABC1中，tanABC1=133.4ACAB433arctan所求二面角为【例 4】如图，三个 1212 cm 的正方形，都被连结相邻两边中点的直线分成 A、Bhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网两片如图（1），把 6 片粘在一个正六边形的外面如图（2），然后折成多面体如图（3），求此多面体的体积.EDC解法一：补成一个正方体，如图甲，V=21V正方体=21123=864 cm3.甲乙解法二：补成一个三棱锥，如图乙，V=V大三棱锥3V小三棱锥=864 cm3.解法三：如图（3）7 设 C 是所在棱的中点，截面 CDE 把几何体截成两部分，沿 DE
13、把上部分翻转过来可拼成正方体的下一半.思考讨论补形的方法可将不规则的几何体转化成规则的几何体，这是求多面体体积的常用方法.五提炼总结以为师1.棱柱、棱锥的概念和性质是研究解决问题的依据，要能正确利用这些知识进行图中点、线、面的位置关系的分析和计算；2.三棱锥的等（体）积变换是解决点到面的距离的常见方法之一；“割”“补”是解决立体几何，尤其是体积问题的常用技巧.正棱锥的四个“特征”直角三角形，是将“空间问题”转化为“平面问题”的桥梁.3.球的概念和性质以及面积、体积是解决有关问题的重要依据；它的轴截面是解决问题的重要“场所”，球半径、截面圆半径、圆心距都在这个图形内，它把空间问题转化为平面问题.
14、4.要正确地区别球面上两点间的直线距离与球面距离.搞清纬度、经度、纬度差、经度差等概念.同步练习9.69.6 棱柱、棱锥和球棱柱、棱锥和球【选择题】1.P 是长方体 AC1上底面 A1C1内任一点，设 AP 与三条棱 AA1、AB、AD 所成的角为、，则 cos2+cos2+cos2的值是（）http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网A.1B.2C.23D.不确定2.长方体的一个顶点上三条棱长为 3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上,这个球的表面积是（）A.202B.252C.50D.2003各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体积为 16，则这个球的表面积是（）
15、A.16B.20C.24D.32【填空题】4.过棱锥高的三等分点作两个平行于底面的截面，它们将棱锥的侧面分成三部分的面积的比（自上而下）为_.5.（2004 年北京）地球仪上北纬 30纬线的长度为 12cm，该地球仪的半径是_cm，表面积是_cm2.6.已知球面上的三点 A、B、C，AB=6，BC=8，AC=10，球的半径为 13，则球心到平面 ABC 的距离为.答案提示：1-3ACC；4.135;5.43192;6.距离为 12.【解答题】7.（2006 山东）如图，已知平面111A B C平行于三棱锥VABC的底面 ABC，等边1AB C所在的平面与底面 ABC 垂直，且ACB=90，设2
16、,ACa BCa（1）求证直线11BC是异面直线1A B与11AC的公垂线；（2）求点 A 到平面 VBC 的距离；（3）求二面角A VBC的大小.ABCA1VB1C1证明（）平面1 1 1ABC平面A B C，1111/,/BCBC ACACBCAC111BCAB又平面1ABC平面ABC，平面1ABC平面ABCAC，BC平面1ABC，111BCACB 平面111BCAB，又11111ACBCC，1111BCABB.11BC为1AB与11AC的公垂线.解（）：过 A 作1ADBC于 D，1ABC为正三角形，D 为1BC的中点.http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网BC
17、平面1ABCBCAD，又1BCBCC，AD平面VBC，线段 AD 的长即为点 A 到平面VBC的距离.在正1ABC中，332322ADACaa.点 A 到平面VBC的距离为3a.解法 2：取 AC 中点 O 连结1BO，则1BO平面ABC，且1BO=3a.由（）知1BCBC，设 A 到平面VBC的距离为 x，11BABCA BB CVV，即11132BC AC BO11132BC BC x,解得3xa.即 A 到平面VBC的距离为3a.则11|cos,|dABAB n111|cos|AB nABABn2 33.2aaA到平面VBC的距离为3a.(III)过D点作DHVB于H，连AH，由三重线定
18、理知AHVBAHD是二面角A VBC的平面角.在Rt AHD中，11113.B DDHADaB DHB BCBCB B115.5B D BCDHaB Btan15ADAHDDH.arctan 15AHD.所求二面角大小为 arctan15.8.已知三棱锥 SABC 的三条侧棱 SA、SB、SC 两两互相垂直且长度分别为 a、b、c，设 O 为 S 在底面 ABC 上的射影.求证：（1）O 为ABC 的垂心；（2）O 在ABC 内；ABCDSOEF（3）设 SO=h，则21a+21b+21c=21h.证明：（1）SASB，SASC，http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网
19、SA平面 SBC，BC平面 SBC.SABC.而 AD 是 SA 在平面 ABC 上的射影，ADBC.同理可证 ABCF，ACBE，故 O 为ABC 的垂心.（2）证明ABC 为锐角三角形即可.不妨设 abc，则底面三角形 ABC 中，AB=22ba为最大，从而ACB 为最大角.用余弦定理求得：cosACB=2222222cacbc0，ACB 为锐角，ABC 为锐角三角形.故 O 在ABC 内.（3）SBSC=BCSD，故 SD=22cbbc，21SD=21b+21c，又 SASD=ADSO，21SO=222SDaAD=2222SDaSDa=21a+21SD=21a+21b+21c=21h.9
20、.如图，三棱锥VABC 中，VA底面 ABC，ABC=90.（1）求证：V、A、B、C 四点在同一球面上；（2）过球心作一平面与底面内直线 AB 垂直，求证：此平面截三棱锥所得的截面是矩形.证明：（1）取VC 的中点 M，VA底面 ABC，ABC=90，BCVB.在 RtVBC 中，M 为斜边VC 的中点，MB=MC=MV.同 理，在 RtVAC 中，MA=MV=MC.MV=MC=MA=MB.V、A、B、C 四点在同一圆面上，M 是球心.（2）取 AC、AB、VB 的中点分别为 N、P、Q，连结 NP、PQ、QM、MN，则 MNPQ就是垂直于AB的三棱锥VABC的截面，易证PQMN是平行四边形
21、.又VABC，QPVA，NPBC，QPPN.故截面 MNPQ 是矩形.10（1994 全国）如图，已知 A1B1C1ABC 是正三棱柱，D 是 AC 中点(1)证明 AB1平面 DBC1；(2)假设 AB1BC1，求以 BC1为棱，DBC1与 CBC1为面的二面角的度数VCBAhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网(1)证明：A1B1C1ABC 是正三棱柱，四边形 B1BCC1是矩形连结 B1C 交 BC1于 E，则 B1E=EC连结 DE在AB1C 中，AD=DC，DEAB1又 AB1平面 DBC1，DE平面 DBC1，AB1平面 DBC1(2)解：作 DFBC，垂
22、足为 F，则 DF面 B1BCC1，连结 EF，则 EF是 ED 在平面 B1BCC1上的射影AB1BC1，由(1)知 AB1DE，DEBC1，则 BC1EF，DEF 是二面角的平面角设 AC=1，则 DC=21ABC 是正三角形，在 RtDCF 中，DF=DCsinC=43，CF=DCcosC=41取 BC 中点 GEB=EC，EGBC在 RtBEF 中，EF2=BFGF，又 BF=BCFC=43，GF=41，EF2=4341，即 EF=43tgDEF=14343EFDFDEF=45故二面角为 45【探索题】1.（2006 江西），在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都
23、相切的球）球心O，且与BC、DC分别截于E、F.如果截面将四面体分为体积相等的两部分,设四棱锥ABEFD与三棱锥AEFC的表面积分别为1S、2S,则必有()A.12SSC.12SS=D.1S、2S大小关系不能确定2 边长为 a 的正三角形，要拼接成一个正三棱柱且不剩料，应如何设计?（在图中用虚线画出）http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网C1B1A1CBA解:1.C提示：设内切球半径为 r,截面 AEF 的面积为 S，由 VA-BEFD=VA-CEF得121211()()33SS rSS rSS2.解：设 O 为ABC 的中心，连结 OA、OB、OC，并设 OA、OB、OC 的中点分别为 A1、B1、C1，过 A1、B1、C1分别向三边作垂线，则所得三个矩形即为三个侧面，三个角上的小四边形拼在一起即为上底面【变式】ABC 若为一般三角形，又如何拼接？（取 O 为三角形的内心，其余同）