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1、专题突破练09统计与统计案例(教师版）练 专题突破练 9 统计与统计案例 1.(2016 河南焦作高三一模,理 18)在市中学学业水平测试中,某校老师为了了解所教两个班 100名学生的数学得分状况,按成果分成六组:80,90),90,100),100,110),110,120),120,130),130,140)统计数据如下: 分数段 80,90) 90,100) 100,110) 110,120) 120,130) 130,140) 人数 2 8 30 30 20 10(1)请依据上表中的数据,完成频率分布直方图,并估算这 100 名学生的数学平均成果;(2)该老师确定在110,120),1
2、20,130),130,140)这三组中用分层抽样抽取 6名学生进行调研,然后再从这 6 名学生中随机抽取 2 名学生进行谈话,记这 2 名学生中有 ξ 名学生在120,130)内,求ξ 的分布列和数学期望. 解:(1)画出频率分布直方图如下:由频率分布直方图易知平均成果为 𝑦=10(85×0.002+95×0.008+105×0.03+115×0.03+125×0.02+135×0.01)=113.8. (2)由题知,在110,120),120,130),130,140)三组中,利用分层抽样抽
3、取的学生数分别为3,2,1, ∴ ξ 取 0,1,2. 因为 P(ξ=0)= C 20 C 4 2C 62=25 ,P(ξ=1)=C 21 C 4 1C 62=815 , P(ξ=2)= C 2 C 4 0C 62=115 , 所以 ξ 的分布列为ξ 0 1 2 P 25815115∴ Eξ=0×25 +1×815 +2×115=23 . 2.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣扬费,需了解年宣扬费 x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响.对近 8年的年宣
4、扬费 x i 和年销售量 y i (i=1,2,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.x y w ∑i=18(x i -x) 2∑i=18(w i -w) 2∑i=18(x i -x)(y i -y) ∑i=18(w i -w)(y i -y) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8 表中 w i =√𝑦 𝑖 ,𝑥 =18∑𝑖=18w i . (1)依据散点图推断,y=a+bx 与 y=c+d√x哪一个相宜作为年销售量
5、y 关于年宣扬费 x 的回来方程类型?(给出推断即可,不必说明理由) (2)依据(1)的推断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回来方程; (3)已知这种产品的年利润 z 与 x,y 的关系为 z=0.2y-x.依据(2)的结果回答下列问题: 年宣扬费 x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少? 年宣扬费 x 为何值时,年利润的预报值最大? 附:对于一组数据(u 1 ,v 1 ),(u 2 ,v 2 ),(u n ,v n ),其回来直线 v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=∑𝑖=1𝑛(𝑣
6、 𝑖 -𝑣)(𝑤 𝑖 -𝑤)∑𝑖=1𝑛(𝑣 𝑖 -𝑣) 2,𝛽= 𝑤 − 𝛾𝑣. 解:(1)由散点图可以推断,y=c+d√𝑦相宜作为年销售量 y 关于年宣扬费 x 的回来方程类型. (2)令 w=√𝑦,先建立 y 关于 w的线性回来方程. 由于𝑒=∑𝑖=18(
7、𝑥 𝑖 -𝑥)(𝑦 𝑖 -𝑦)∑𝑖=18(𝑥 𝑖 -𝑥) 2=108.81.6=68,𝑑= 𝑧 − 𝑒𝑥=563-68×6.8=100.6,所以 y 关于 w的线性回来方程为𝑧=100.6+68w,因此 y 关于 x 的回来方程为𝑧=100.6+68√𝑦. (3) 由(2)知,当 x
8、=49 时,年销售量 y 的预报值 𝑧=100.6+68√49=576.6, 年利润 z 的预报值𝑨 =576.6×0.2-49=66.32. 依据(2)的结果知,年利润 z 的预报值 𝑨 =0.2(100.6+68√𝑦)-x=-x+13.6√𝑦+20.12. 所以当√𝑦 =13.62=6.8,即 x=46.24 时,𝑨 取得最大值. 故年宣扬费为 46.24千元时,年利润的预报值最大. 3.(2016 山西阳泉高三模拟,理
9、 17)某校举办学生综合素养大赛,对该校学生进行综合素养测试,学校对测试成果(10 分制)大于或等于 7.5的学生颁发荣誉证书,现从 A和 B 两班中各随机抽 5名学生进行抽查,其成果记录如下: A 7 7 7.5 9 9.5 B 6 x 8.5 8.5 y由于表格被污损,数据 x,y 看不清,统计人员只记得 x<y,且 A和 B 两班被抽查的 5 名学生成果的平均值相等,方差也相等. (1)若从 B班被抽查的 5名学生中随意抽取 2名学生,求被抽取 2名学生都颁发了荣誉证书的概率; (2)从被抽查的 10 名学生中任取 3名,X表示抽取的学生中获得荣誉证书的人数,求 X的数学期望. 解
10、:(1) 𝑦 A =15 (7+7+7.5+9+9.5)=8, 𝑦 B =15 (6+x+8.5+8.5+y), 𝑦 A = 𝑦 B , ∴ x+y=17, 𝑠 A2=15 (1+1+0.25+1+2.25)=1.1, 𝑠 B2=15 4+(x-8)2 +0.25+0.25+(y-8) 2 , 𝑠 A2= 𝑠 B2 ,得(x-8) 2 +(y-8) 2 =1, 由 解得 𝑦 8,𝑧 = 9或 𝑦 9,
11、19911; = 8. x<y, ∴ x=8,y=9, 记2 名学生都颁发了荣誉证书为事务 C,则事务 C 包含C 42 =6个基本领件, 共有C 52 =10个基本领件, ∴ P(C)=610=35 ,即 2名学生都颁发了荣誉证书的概率为35 . (2)由题意知 X全部可能的取值为 0,1,2,3, P(X=0)=C 3C 103=1120 , P(X=1)= C 71 C 3 2C 103=21120 , P(X=2)= C 72 C 3 1C 103=63120 , P(X=3)=C 73C 103=35120 , EX=0×1120 +1&
12、times;21120 +2×63120 +3×35120=2110 . 4.(2016 山西晋城高三二模,理 18)随着手机的发展,微信越来越成为人们沟通的一种方式,某机构对运用微信沟通的看法进行调查,随机抽取了 50人,他们年龄的频数分布及对运用微信沟通赞成人数如下表: 年龄(单位:岁) 15,25) 25,35) 35,45) 45,55) 55,65) 65,75) 频 数 5 10 15 10 5 5 赞成人数 5 10 12 7 2 1 (1)若以年龄 45岁为分界点,由以上统计数据完成下面 2×2 列联表,并推断是否在犯错误的概率不超过 0.0
13、1的前提下认为运用微信沟通的看法与人的年龄有关;年龄不低于 45岁的人数 年龄低于 45 岁的人数 合计 赞成不赞成合计(2)若从年龄在55,65),65,75)的被调查人中各随机选取 4人进行追踪调查,记选中的 4 人中赞成运用微信沟通人数为 ξ,求随机变量 ξ 的分布列及数学期望. 参考数据如下: P(K 2 ≥k 0 ) 0.050 0.010 0.001 k 03.841 6.635 10.828K 2 =𝑛(𝑏𝑒-𝑐𝑑) 2(𝑏+𝑐)(𝑑+
14、𝑒)(𝑏+𝑑)(𝑐+𝑒) (n=a+b+c+d) 解:(1)2×2列联表如下:年龄不低于 45岁的人数 年龄低于 45 岁的人数 合计 赞成 10 27 37 不赞成 10 3 13 合计 20 30 50 所以 K 2 =50×(10×3-10×27) 2(10+10)(27+3)(10+27)(10+3) ≈9.98>6.635. 所以在犯错误的概率不超过 0.01的前提下认为运用微信沟通的看法与人的年龄有关. (2)ξ 全部可能取值有 0
15、,1,2,3, P(ξ=0)= C 32C 52 C 42C 52 =310×610=950 , P(ξ=1)= C 21 C 3 1C 52C 42C 52 +C 32C 52 C 41 C 1C 52=610×610+310×410=1225 , P(ξ=2)= C 2 C 3 0C 52C 42C 52 +C 21 C 3 1C 52C 41 C 1C 52=110×610+610×410=310 , P(ξ=3)= C 2 C 3 0C 52C 41 C 1C 52=110×410=125 . 所以 ξ 的分布列是 ξ 0 1 2 3P 9501225310125所以 ξ 的期望值是 Eξ=0+ 1225+35+325=3025=65 .