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1、03届,普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文）及答案2003年一般高等学校招生全国统一考试 数 学（文史类）（北京卷） 本试卷分第卷（选择题）第卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟 第卷（选择题 共50分） 留意事项： 1答第卷前，考生务必将自己姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上. 3考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回. 参考公式： 三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式 其中、分别表示上、下底面 周长，表示斜高或母线长
2、. 球体的体积公式：，其中R表示球的半径. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1设集合等于 （ ） A B C D 2设，则 （ ） Ay3>y1>y2 By2>y1>y3 Cy1>y2>y3 Dy1>y3>y2 3“”是“”的 （ ） A必要非充分条件 B充分非必要条件 C充分必要条件 D既非充分又非必要条件 4已知，是平面，m，n是直线.下列命题中不正确的是 （ ） A若m，=n，则m/n B若mn，=n，则n C若m，m，则 D若m，则 5如图，直线过椭圆的左焦点F1和 一
3、个顶点B，该椭圆的离心率为 （ ） A B C D 6若且的最小值是 （ ） A2 B3 C4 D5 7假如圆台的母线与底面成60角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为 （ ） A B C D 8若数列的通项公式是，则等于（ ） A B C D 9从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上， 其中黄瓜必需种植，不同的种植方法共有 （ ） A24种 B18种 C12种 D6种 10某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令 其中i=1，2，k，且j=1，
4、2，k，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（ ） A B C D 第卷（非选择题 共100分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 11已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为 12函数中， 是偶函数. 13以双曲线右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是 14将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为 三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15（本小题满分13分） 已知函数 （）求的最小正周期； （）求的最大值、最小值. 16（本小题满
5、分13分） 已知数列是等差数列，且 （）求数列的通项公式； （）令求数列前n项和的公式. 17（本小题满分15分） 如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC的中点，AB=a. （）求证：直线A1DB1C1； （）求点D到平面ACC1的距离； （）推断A1B与平面ADC的位置关系， 并证明你的结论. 18（本小题满分15分） 如图，A1，A为椭圆的两个顶点，F1，F2为椭圆的两个焦点. （）写出椭圆的方程及准线方程； （）过线段OA上异于O，A的任一点K作OA的垂线，交椭圆于P，P1两点，直线 A1P与AP1交于点M. 求证：点M在双曲线上. 19（本小题满分14分） 有三个新兴城镇，分别位
6、于A，B，C三点处，且AB=AC=13km，BC=10km.今安排合建一个中心医院，为同时便利三镇，打算建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系如图） （）若希望点P到三镇距离的平方和为最小， 点P应位于何处？ （）若希望点P到三镇的最远距离为最小， 点P应位于何处？ 20（本小题满分14分） 设是定义在区间上的函数，且满意条件： （i） （ii）对随意的 （）证明：对随意的 （）推断函数是否满意题设条件； （）在区间1，1上是否存在满意题设条件的函数，且使得对随意的 若存在，请举一例：若不存在，请说明理由. 绝密启用前 2003年一般高等学校招生全国统一考试 数学试题（文史类）（北京卷）
7、参考解答 一、选择题：本题考查基本学问和基本运算. 每小题5分，满分50分. 1A 2D 3A 4A 5D 6B 7C 8B 9B 10C 二、填空题：本题考查基本学问和基本运算.每小题4分,满分16分. 113 12 13 14 三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本学问，考查运算实力，满分13分. （）解：因为 所以的最小正周期 （）解：因为所以的最大值为,最小值为 16本小题主要考查等差、等比数列等基本学问，考查综合运用数学学问和方法解决问题的实力.满分13分. （）解：设数列公
8、差为，则 又 所以 （）解：由得 将式减去式，得 所以 17本小题主要考查直线与平面的位置关系，正棱柱的性质，棱锥的体积等基本学问，考查空间想象实力和逻辑推理实力. 满分15分. （）证法一：点D是正ABC中BC边的中点，ADBC， 又A1A底面ABC，A1DBC ，BCB1C1，A1DB1C1. 证法二：连结A1C1，则A1C=A1B. 点D是正A1CB的底边中BC的中点， A1DBC ，BCB1C1，A1DB1C1. （）解法一：作DEAC于E， 平面ACC1平面ABC， DE平面ACC1于E，即DE的长为点D到平面ACC1的 距离. 在RtADC中，AC=2CD= 所求的距离 解法二：设
9、点D到平面ACC1的距离为， 体积 即点D到平面ACC1的距离为. （）答：直线A1B/平面ADC1，证明如下： 证法一：如图1，连结A1C交AC1于F，则F为A1C的中点，D是BC的中点，DFA1B， 又DF 平面ADC1，A1B平面ADC1，A1B平面ADC1. 证法二：如图2,取C1B1的中点D1，则ADA1D1，C1DD1B， AD平面A1D1B，且C1D平面A1D1B， 平面ADC1平面A1D1B，A1B平面A1D1B，A1B平面ADC1. 18本小主要考查直线、椭圆和双曲线等基本学问，考查分析问题和解决问题的实力.满分15分. （）解：由图可知, 该椭圆的方程为 准线方程为 （）证
10、明：设K点坐标,点P、P1的坐标分别记为， 其中则 直线A1P，P1A的方程分别为： 式除以式得化简上式得代入式得 于是，直线A1P与AP1的交点M的坐标为 因为 所以，直线A1P与AP1的交点M在双曲线. 19本小题主要考查函数，不等式等基本学问，考查运用数学学问分析问题和解决问题的实力.满分14分. （）解：设P的坐标为（0，），则P至三镇距离的平方和为 所以，当时，函数取得最小值. 答:点P的坐标是 （）解法一：P至三镇的最远距离为 由解得记于是 因为在上是增函数，而上是减函数. 所以时,函数取得最小值. 答:点P的坐标是 解法二：P至三镇的最远距离为 由解得记于是 函数的图象如图，因此
11、， 当时，函数取得最小值.答:点P的坐标是 解法三：因为在ABC中，AB=AC=13,且， 所以ABC的外心M在线段AO上,其坐标为, 且AM=BM=CM. 当P在射线MA上，记P为P1；当P在射线 MA的反向延长线上，记P为P2， 这时P到A、B、C三点的最远距离为 P1C和P2A，且P1CMC，P2AMA，所以点P与外心M 重合时，P到三镇的最远距离最小. 答:点P的坐标是 20本小题考查函数、不等式等基本学问，考查综合运用数学学问分析问题和解决问题的实力.满分14分.（）证明：由题设条件可知，当时，有 即 （）答：函数满意题设条件.验证如下： 对随意的， 当 当 当不妨设 有 所以，函数满意题设条件. （）答：这样满意的函数不存在.理由如下： 假设存在函数满意条件，则由得 由于对随意的，都有 所以， 与冲突，因此假设不成立，即这样的函数不存在.