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1、高一数学必修二知识点总结：多面体高一数学集合学问点总结 高一数学集合学问点总结 一学问归纳： 1集合的有关概念。 1）集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）其中每一个对象叫元素 留意：集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。 集合中的元素具有确定性（a?A和a?A，二者必居其一）、互异性（若a?A，b?A，则ab）和无序性（a,b与b,a表示同一个集合）。 集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必需符号条件 2）集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法 3）集合的分类：有限集，无限
2、集，空集。 4）常用数集：N，Z，Q，R，N* 2子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。 1）子集：若对xA都有xB，则AB（或AB）； 2）真子集：AB且存在x0B但x0A；记为AB（或，且） 3）交集：AB=xxA且xB 4）并集：AB=xxA或xB 5）补集：CUA=xxA但xU 留意：?A，若A?，则?A； 若，则； 若且，则A=B（等集） 3弄清集合与元素、集合与集合的关系，驾驭有关的术语和符号，特殊要留意以下的符号：（1）与、?的区分；（2）与的区分；（3）与的区分。 4有关子集的几个等价关系 AB=AAB；AB=BAB；ABCuACuB； ACuB=空集CuAB；CuAB=I
3、AB。 5交、并集运算的性质 AA=A，A?=?，AB=BA；AA=A，A?=A，AB=BA； Cu(AB)=CuACuB，Cu(AB)=CuACuB； 6有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n1个非空子集，2n2个非空真子集。 二例题讲解： 【例1】已知集合M=xx=m+,mZ,N=xx=,nZ,P=xx=,pZ，则M,N,P满意关系 A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM 分析一：从推断元素的共性与区分入手。 解答一：对于集合M：xx=,mZ；对于集合N：xx=,nZ 对于集合P：xx=,pZ，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示
4、被6除余1的数，所以MN=P，故选B。 分析二：简洁列举集合中的元素。 解答二：M=，N=，,，P=，,，这时不要急于推断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。 =N，N，MN，又=M，MN， =P，NP又N，PN，故P=N，所以选B。 点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。 变式：设集合，则（B） AM=NBMNCNMD 解： 当时，2k+1是奇数，k+2是整数，选B 【例2】定义集合A*B=xxA且xB，若A=1,3,5,7,B=2,3,5，则A*B的子集个数为 A）1B）2C）3D）4 分析：确定集合A*B子集的个数，首先要
5、确定元素的个数，然后再利用公式：集合A=a1，a2，an有子集2n个来求解。 解答：A*B=xxA且xB，A*B=1,7，有两个元素，故A*B的子集共有22个。选D。 变式1：已知非空集合M1,2,3,4,5，且若aM，则6?aM，那么集合M的个数为 A）5个B）6个C）7个D）8个 变式2：已知a,bAa,b,c,d,e,求集合A. 解：由已知，集合中必需含有元素a,b. 集合A可能是a,b,a,b,c,a,b,d,a,b,e,a,b,c,d,a,b,c,e,a,b,d,e. 评析本题集合A的个数实为集合c,d,e的真子集的个数，所以共有个. 【例3】已知集合A=xx2+px+q=0,B=x
6、x2?4x+r=0,且AB=1,AB=?2,1,3,求实数p,q,r的值。 解答：AB=11B12?41+r=0,r=3. B=xx2?4x+r=0=1,3,AB=?2,1,3,?2B,?2A AB=11A方程x2+px+q=0的两根为-2和1， 变式：已知集合A=xx2+bx+c=0,B=xx2+mx+6=0,且AB=2,AB=B，求实数b,c,m的值. 解：AB=21B22+m?2+6=0,m=-5 B=xx2-5x+6=0=2,3AB=B 又AB=2A=2b=-(2+2)=4,c=22=4 b=-4,c=4,m=-5 【例4】已知集合A=x(x-1)(x+1)(x+2)0,集合B满意：A
7、B=xx-2，且AB=x1p= 分析：先化简集合A，然后由AB和AB分别确定数轴上哪些元素属于B，哪些元素不属于B。 解答：A=x-2-1或x1。由AB=x1-2可知-1,1B，而(-,-2)B=。-1或x -1或x 综合以上各式有B=x-1x5 变式1：若A=xx3+2x2-8x0，B=xx2+ax+b0,已知AB=xx-4，AB=,求a,b。（答案：a=-2，b=0） 点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应留意用数形结合的方法，作出数轴来解之。 变式2：设M=xx2-2x-3=0,N=xax-1=0，若MN=N，求全部满意条件的a的集合。 解答：M=-1,3,MN=N,NM 当时，ax-
8、1=0无解，a=0 综得：所求集合为-1，0， 【例5】已知集合，函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q，若PQ，求实数a的取值范围。 分析：先将原问题转化为不等式ax2-2x+20在有解，再利用参数分别求解。 解答：（1）若，在内有有解 令当时， 所以a-4,所以a的取值范围是 变式：若关于x的方程有实根,求实数a的取值范围。 解答： 点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类探讨，但并不是全部的问题都要探讨，怎样可以避开探讨是我们思索此类问题的关键。 三.随堂演练 选择题 1下列八个关系式0=00 00其中正确的个数 （A）4（B）5（C）6（D）7 2集合1，2，3的真子集共有
9、 （A）5个（B）6个（C）7个（D）8个 3集合A=xB=C=又则有 （A）（a+b）A(B)(a+b)B(C)(a+b)C(D)(a+b)A、B、C任一个 4设A、B是全集U的两个子集，且AB，则下列式子成立的是 （A）CUACUB（B）CUACUB=U （C）ACUB=（D）CUAB= 5已知集合A=，B=则A= （A）R（B） （C）（D） 6下列语句：（1）0与0表示同一个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为 1，2，3或3，2，1；（3）方程（x-1）2(x-2)2=0的全部解的集合可表示为1，1，2；（4）集合是有限集，正确的是 （A）只有（1）和（4）（B）只有（2）和（
10、3） （C）只有（2）（D）以上语句都不对 7设S、T是两个非空集合，且ST，TS，令X=S那么SX= （A）X（B）T（C）（D）S 8设一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式，则不等式ax2+bx+c0的解集为 （A）R（B）（C）（D） 填空题 9.在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为 10.若A=1,4,x,B=1,x2且AB=B，则x= 11.若A=xB=x,全集U=R，则A= 12.若方程8x2+(k+1)x+k-7=0有两个负根，则k的取值范围是 13设集合A=,B=x,且AB，则实数k的取值范围是。 14.设全集U=x为小于20的非负奇数，若A（CUB）=3
11、，7，15，（CUA）B=13，17，19，又（CUA）（CUB）=，则AB= 解答题 15(8分)已知集合A=a2,a+1,-3,B=a-3,2a-1,a2+1,若AB=-3，求实数a。 16(12分)设A=，B=， 其中xR,假如AB=B，求实数a的取值范围。 四.习题答案 选择题 12345678 CCBCBCDD 填空题 9(x,y)10.0,11.x,或x312.13.14.1,5,9,11 解答题 15.a=-1 16.提示：A=0，-4，又AB=B，所以BA （）B=时，4（a+1）2-4(a2-1)0，得a-1 ()B=0或B=-4时，0得a=-1 （）B=0，-4，解得a=1
12、 综上所述实数a=1或a-1 高一数学学问点难点总结 高一数学学问点难点总结 立体几何初步 NO.1柱、锥、台、球的结构特征 棱柱 定义：有两个面相互平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都相互平行，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱。 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体。 分类：以底
13、面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥 几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相像，其相像比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 棱台 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台 几何特征：上下底面是相像的平行多边形侧面是梯形侧棱交于原棱锥的顶点 圆柱 定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。 几何特征：底面是全等的圆;母线与轴平行;轴与底面圆的半径垂直;侧面绽开图是一个矩形。
14、 圆锥 定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体。 几何特征：底面是一个圆;母线交于圆锥的顶点;侧面绽开图是一个扇形。 圆台 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：上下底面是两个圆;侧面母线交于原圆锥的顶点;侧面绽开图是一个弓形。 球体 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：球的截面是圆;球面上随意一点到球心的距离等于半径。 NO.2空间几何体的三视图 定义三视图 定义三视图：正视图(光线从几何体的前面对后面正投影);侧视图(从左向右)、俯视图(从上向下) 注：正视图反映了物体上下、左右的位
15、置关系，即反映了物体的高度和长度; 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度; 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 NO.3空间几何体的直观图斜二测画法 斜二测画法 斜二测画法特点 原来与x轴平行的线段仍旧与x平行且长度不变; 原来与y轴平行的线段仍旧与y平行，长度为原来的一半。 直线与方程 直线的倾斜角 定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特殊地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0180 直线的斜率 定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用
16、k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当时，。当时，;当时，不存在。 过两点的直线的斜率公式： （留意下面四点） (1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90; (2)k与P1、P2的依次无关; (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标干脆求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 幂函数 定义 形如y=xa(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。 定义域和值域 当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不怜悯况如下：假如a为随意实数，则函数的定义域为大于0的全部实数;假如a为负数，则x确定不能为0，不过这时函数的定义
17、域还必需根据q的奇偶性来确定，即假如同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的全部实数;假如同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的全部实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不怜悯况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域 性质 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种状况来探讨各自的特性： 首先我们知道假如a=p/q，q和p都是整数，则x(p/q)=q次根号(x的p次方)，假如q是奇数，函数的定义域是R，假如q是偶数，函数的定义域是0，+)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x
18、=1/(xk)，明显x0，函数的定义域是(-，0)(0，+).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 解除了为0与负数两种可能，即对于x0，则a可以是随意实数; 解除了为0这种可能，即对于x0和x0的全部实数，q不能是偶数; 解除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的全部实数，a就不能是负数。 指数函数 指数函数 (1)指数函数的定义域为全部实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的状况，则必定使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。 (2)指数函数的值域为大于0的实数集合。 (3
19、)函数图形都是下凹的。 (4)a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。 (5)可以看到一个明显的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 (6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。 (7)函数总是通过(0，1)这点。 (8)明显指数函数无界。 奇偶性 定义 一般地，对于函数f(x) (1)假如对于函数定义域内的随意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇
20、函数。 (2)假如对于函数定义域内的随意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。 (3)假如对于函数定义域内的随意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。 (4)假如对于函数定义域内的随意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。 高一数学必修二学问点总结：空间两直线的位置关系 高一数学必修二学问点总结：空间两直线的位置关系 空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面 1、按是否共面可分为两类： (1)共面：
21、平行、相交 (2)异面： 异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。 异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。 两异面直线所成的角：范围为(0，90)esp.空间向量法 两异面直线间距离:公垂线段(有且只有一条)esp.空间向量法 2、若从有无公共点的角度看可分为两类： (1)有且仅有一个公共点相交直线;(2)没有公共点平行或异面 直线和平面的位置关系： 直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行 直线在平面内有多数个公共点 直线和平面相交有且只有一个公共点 直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面
22、内的射影所成的锐角。 空间向量法(找平面的法向量) 规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0角 由此得直线和平面所成角的取值范围为0，90 最小角定理:斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角 三垂线定理及逆定理:假如平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直 直线和平面垂直 直线和平面垂直的定义：假如一条直线a和一个平面内的随意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面相互垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。 直线与平面垂直的判定定理：假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条
23、直线垂直于这个平面。 直线与平面垂直的性质定理：假如两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。直线和平面平行没有公共点 直线和平面平行的定义：假如一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。 直线和平面平行的判定定理：假如平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 直线和平面平行的性质定理：假如一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 高一数学必修二学问点总结：两个平面的位置关系 高一数学必修二学问点总结：两个平面的位置关系 (1)两个平面相互平行的定义：空间两平面没有公共点 (2)两个平面的位置关
24、系： 两个平面平行-没有公共点;两个平面相交-有一条公共直线。 a、平行 两个平面平行的判定定理：假如一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 两个平面平行的性质定理：假如两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。b、相交 二面角 (1)半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。 (2)二面角：从一条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的取值范围为0，180 (3)二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。 (4)二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。 (5)二面角的平面角：以二面角的棱上随意一点为端点，在两个面内分别作
25、垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 (6)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。 高一数学必修二学问点总结：两平面垂直 两平面垂直的定义：两平面相交，假如所成的角是直二面角，就说这两个平面相互垂直。记为 两平面垂直的判定定理：假如一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直 两个平面垂直的性质定理：假如两个平面相互垂直，那么在一个平 二面角求法：干脆法(作出平面角)、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法(留意求出的角与所须要求的角之间的等补关系) 第19页 共19页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页