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1、统计概率与数列综合经典题（含详解答案）高考数学热点难点：统计概率与数列综合经典题 1随着科学技术的飞速发展，网络也已经渐渐融入了人们的日常生活，网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广阔消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据(其中x=1表示2015 年，x=2表示 2016 年，依次类推；y 表示人数)：x 1 2 3 4 5 y(万人) 20 50 100 150 180（1）试依据表中的数据，求出 y 关于 x 的线性回来方程，并预料到哪一年该公司的网购人数能超过 300 万人； （2）该公司为了吸引网购者，特殊推出玩网
2、络嬉戏，送免费购物券活动，网购者可依据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在成功大本营，则网购者可获得免费购物券 500 元；若遥控车最终停在失败大本营，则网购者可获得免费购物券 200 元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是12，方格图上标有第 0格、第 1 格、第 2 格、第 20 格。遥控车起先在第 0 格，网购者每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次.若掷稀奇数，遥控车向前移动一格（从 k 到 1 k + ）若掷出偶数遥控车向前移动两格（从 k 到 2 k + ），直到遥控车移到第 19 格成功大本营）或第 20 格（失败大本营）时，嬉戏结束。设遥控车移到第 (1
3、 19) n n 格的概率为nP ，试证明 1 n nP P - - 是等比数列，并求网购者参加嬉戏一次获得免费购物券金额的期望值. 附：在线性回来方程ˆˆ ˆ y bx a = + 中，12 21ˆ ˆˆ ,ni iiniix y nx yb a y b xx nx=-= = -. 2冠状病毒是一个大型病毒家族，己知可引起感冒以及中东呼吸综合征和严峻急性呼吸综合征等较严峻疾病.而今年出现新型冠状病毒是以前从未在人体中发觉的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严峻病例中，感染可
4、导致肺炎、严峻急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡. 某医院为筛查冠状病毒，须要检验血液是否为阳性，现有 n（ n*N ）份血液样本，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，则须要检验 n 次.方式二：混合检验，将其中 k（ k*N 且 2 k ）份血液样本分别取样混合在一起检验. 若检验结果为阴性，这 k份的血液全为阴性，因而这 k 份血液样本只要检验一次就够了，假如检验结果为阳性，为了明确这 k 份血液原委哪几份为阳性，就要对这 k 份再逐份检验，此时这 k 份血液的检验次数总共为 1 k + . 假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率
5、为 p（ 01 p ）.现取其中 k（ k*N 且 2 k ）份血液样本，记采纳逐份检验方式，样本须要检验的总次数为1x ，采纳混合检验方式，样本须要检验的总次数为2x . （1）若 ( ) ( )1 2E E x x = ，试求 p 关于 k 的函数关系式 ( ) p f k = ； （2）若 p 与干扰素计量nx 相关，其中1 2, , ,nx x x （ 2 n ）是不同的正实数， 满意11 x = 且n N * （ 2 n ）都有1 2 2 21132 211 2 1nn nii ix x xex x x x-=+- =-成立. （i）求证：数列 nx 等比数列； （ii）当3411
6、px= -时，采纳混合检验方式可以使得样本须要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求 k 的最大值 3在读书活动中，某市图书馆的科技类图书和时政类图书是市民借阅的热门图书.为了丰富图书资源，现对已借阅了科技类图书的市民（以下简称为问卷市民）进行随机问卷调查，若不借阅时政类图书记 1 分，若借阅时政类图书记 2 分，每位市民选择是否借阅时政类图书的概率均为12，市民之间选择意愿相互独立. （1）从问卷市民中随机抽取 4 人，记总得分为随机变量 x ，求 x 的分布列和数学期望； （2）（i）若从问卷市民中随机抽取 ( N ) m m+ 人，记总分恰为 m 分的概率为mA ，求数列
7、 mA 的前 10 项和； （）在对全部问卷市民进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为 n 分的概率为nB （比如：1B 表示累计得分为 1 分的概率，2B 表示累计得分为 2 分的概率，N n+ ），摸索求nB 与1 nB-之间的关系，并求数列 nB 的通项公式. 4如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很便利地网购，网络外卖也起先成为不少人日常生活中重要的一部分，其中高校生更是频频运用网络外卖服务. A 市教化主管部门为驾驭网络外卖在该市各高校的发展状况，在某月从该市高校生中随机调查了 100人，并将这 100 人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖
8、消费金额不超过 3000 元）：消费金额（单位：百元） 0,5( 5,10( 10,15( 15,20( 20,25( 25,30频数 2035251055( ) 1 由频数分布表可以认为，该市高校生网络外卖消费金额 Z （单位：元）近似地听从正态分布 ( )2, N m s，其中 m 近似为样本平均数 x （每组数据取区间的中点值，660 s = ）.现从该市任取 20 名高校生，记其中网络外卖消费金额恰在 390 元至 2370 元之间的人数为 X ，求 X 的数学期望； ( ) 2 A 市某高校后勤部为激励高校生在食堂消费，特地给参加本次问卷调查的高校生每人发放价值 100 元的饭卡，并
9、推出一档勇闯关，送大奖的活动.规则是：在某张方格图上标有第 0 格、第 1 格、第 2 格、第 60 格共 61 个方格.棋子起先在第 0 格，然后掷一枚匀称的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是12，其中01 P = ），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从 k 到 1 k + ），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从 k 到2 k + ）.重复多次，若这枚棋子最终停在第 59 格，则认为闯关胜利，并赠送 500 元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第 60 格，则认为闯关失败，不再获得其他嘉奖，活动结束. 设棋子移到第 n 格的概率为nP ，求证：当 1 59 n 时， 1 n nP P - -
10、是等比数列； 若某高校生参加这档闯关嬉戏，试比较该高校生闯关胜利与闯关失败的概率大小，并说明理由. 参考数据：若随机变量 x 听从正态分布 ( )2, N m s，则 ( ) 0. 6827 P m s x m s - + = ，( ) 2 2 0.9545 P m s x m s - + = „ ， ( ) 3 3 0.9973 P m s x m s - + = „ . 5在某次世界新能源汽车大会上着眼于全球汽车产业的转型升级和生态环境的持续改善.某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对 100 辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽
11、车所装载的燃料或电池所能够供应给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行分析，得到如下的频率分布直方图： （1）估计这 100 辆汽车的单次最大续航里程的平均值 x （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）. （2）依据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程 X 近似地听从正态分布 ( )2, N m s，经计算第（1）问中样本标准差 s 的近似值为 50.用样本平均数 x 作为 m 的近似值，用样本标准差 s 作为 s 的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在 250 千米到 400 千米之间的概率. 参考数据：若随机变量 ξ 听从正态分布 ( )2, N
12、 m s，则 ( ) 0. 6827 P m s x m s - + „ ，( 2 2 ) 0.9545 P m s x m s - + „ ， ( 3 3 ) 0.9973 P m s x m s - ，解得 8 x . 故预料到 2022 年该公司的网购人数能超过 300 万人 （2）遥控车起先在第 0 格为必定事务，01 P = ，第一次掷骰子出现奇数，遥控车移到第一格，其概率为12,即112P = .遥控车移到第 n （ 2 19 n 剟 ）格的状况是下列两种，而且也只有两种. 遥控车先到第 2 n- 格，又掷稀奇数，其概率为212nP -遥控车先到第 1 n
13、- 格，又掷出偶数，其概率为112nP- 所以2 11 12 2n n nP P P- -= + ，1 1 21( )2n n n nP P P P- - - - = - - 当 1 19 n 剟 时，数列1 n nP P - - 是公比为12- 的等比数列 2 31 2 1 3 2 11 1 1 11 , ( ) , ( ) , ( )2 2 2 2nn nP P P P P P P - - = - - = - - = - - = -以上各式相加，得2 31 1 1 11 ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2nnP - = - + - + - + - =1 1( ) 1 ( )3 2
14、n - - - 12 11 ( )3 2nnP+ = - - （ 0,1,2, ,19 n = ）， 获胜的概率20192 11 ( )3 2P = - - 失败的概率1920 181 1 112 3 2P P = = + （ ） 设参加嬉戏一次的顾客获得实惠券金额为 X 元， 200 X = 或 500 X 的期望20 19 192 1 1 1 1500 1 ( ) 200 1 ( ) 100 4 ( )3 2 3 2 2EX = - + + = - 参加嬉戏一次的顾客获得实惠券金额的期望值为191100 4 ( )2 - ，约 400 元. 2（1）解：由已知，1k x = ， ( )11
15、 P x = ，得 ( )1E k x = ， 2x 的全部可能取值为 1， 1 k + ， ∴ ( ) ( )21 1kP p x = = - ， ( ) ( )21 1 1kP k p x = + = - - . ∴ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 1 1 1 1 1k k kE p k p k k p x = - + + - - = + - - . 若 ( ) ( )1 2E E x x = ，则 ( ) 1 1kk k k p = + - - ， ( )11kpk- = ，∴111kpk - = ，∴111kpk =
16、- .∴p 关于 k 的函数关系式为( )111kf kk = - ，（ k*N ，且 2 k ）.（2）（i）证明：当 2 n = 时，1 2 2 22 2 132 21 2 2 1x x xex x x x- =-，∴1231xex= ，令12310xq ex= = ，则1 q ， 11 x = ，∴下面证明对随意的正整数 n，13nnx e-=. 当 1 n = ，2 时，明显成立； 假设对随意的 n k = 时，13kkx e-=，下面证明 1 n k = + 时， 31kkx e+=； 由题意，得1 2 2 21 1 132 211 2 1k
17、k kii ix x xex x x x-+ +=+- =-，∴1 22131 21 2 2 3 1 131 1 1 1 11kkk k k kxe xx x x x x x x xe-+- + - + + + + = -，∴11 23 31 22131 2 1 23 3 3111 11 1kkk kke exe xe e x e- -+ -+ - - + = - - ，( ) 2 12312131 2 23 3111 1kkkkkx exe xe e-+-+ - - + =- -， ∴( ) 2 1 223 3 3 31 11 0k k kk ke
18、x e e x- - - + + + - - = ，23 3 31 11 1 0k kk ke x e x- - + + - + = . ∴ 31kkx e+=或23 31kkx e-+= -（负值舍去）.∴ 31kkx e+=成立. ∴由可知， nx 为等比数列，13nnx e-=. （ii）解：由（i）知，3341 11 1 px e= - = -，( ) ( )1 2E E x x ，∴( ) 1 1kk k k p + - - ，得( )31 11kkpk e . 设 ( )1ln3f x x x = - （ 0 x ）， ( )
19、33xf xx- =，∴当 3 x 时，( )0 f x¢< ，即 ( ) f x 在 ) 3,+ 上单调减. 又 ln4 1.3863 ，41.33333 ，∴4ln43 ； ln5 1.6094 ，51.66673 .∴5ln53 . ∴k 的最大值为 4. 3解（1）x 的可能取值为 4，5，6，7，8， 0 441 1( 4) C ( ) ,2 16P x = = =1 1 341 1 1( 5) C ( ) ,2 4(2 )P x = = =2 2 241 1 3( 6) C ,2( ) ( )2 8P x =
20、= = ，3 3 141 1 1( 7) C ,2( ) ( )2 4P x = = =4 4 041 1 1( 8) C2( ) ( )2 16P x = = =全部 x 的分布列为 x4 5 6 7 8 P116 14 38 14 116所以数学期望1 1 3 1 1( ) 4 5 6 7 8 616 4 8 4 16E x = + + + + = . （2）（i）总分恰为 m 分的概率为1( )2mmA = ， 所以数列 mA 是首项为12，公比为12的等比数列，前 10 项和10101 1(1 )10232 21102412S-= =-. （ii）已调查过的累计得分恰为 n 分的概率为
21、nB ，得不到 n 分的状况只有先得 1 n - 分，再得 2 分，概率为1 11 1,2 2nB B-= .因为1112n nB B-+ = ，即1112n nB B-= - + ， 所以12 1 2( )3 2 3n nB B- = - - ，则 23 nB - 是首项为12 13 6B - = - ，公比为12- 的等比数列， 所以12 1 1( )3 6 2nnB- = - - ，所以2 1 1( )3 3 2nnB = + - . 4解：( ) 1250 0.2 750 0.35 1250 0.25 1750 0.1 x = + + + 2250 0.05 + + 27500.05
22、1050 = ， 因为 Z 听从正态分布 ( )21050,660 N，所以( ) ( )0.9545 0.6827390 2370 2 0.9545 0.81862P Z P Z m s m s- = - ， 所以该高校生闯关胜利的概率大于闯关失败的概率. 5解：（1）0.002 50 205 0.004 50 255 0.009 50 305 0.004 50 355 0.001 50 405 300 x = + + + + =（千米） （2）由 (300 X N，250 ) 0.9545 0.6827(250 400) 0.9545 0.81862P X- 获胜的概率大 此方案能胜利吸引
23、顾客购买该款新能源汽车 6解（1）由题意可知 X 全部可能的取值为：1 - ， 0 ， 1( ) ( ) 1 1 P X a b =- = - ； ( ) ( )( ) 0 1 1 P X ab a b = = + - - ； ( ) ( ) 1 1 P X a b = = -则 X 的分布列如下：X1 -01P( ) 1 a b -( )( ) 1 1 ab a b + - -( ) 1 a b - （2）0.5 a = ， 0.8 b =0.5 0.8 0.4 a = = ， 0.5 0.8 0.5 0.2 0.5 b = + = ， 0.5 0.2 0.1 c = =（i）( )1 11
24、,2, ,7i i i ip ap bp cp i- += + + = 即 ( )1 10.4 0.5 0.1 1,2, ,7i i i ip p p p i- += + + = 整理可得：( )1 15 4 1,2, ,7i i ip p p i- += + = ( )( )1 14 1,2, ,7i i i ip p p p i+ - - = - = 1 i ip p+ - ( ) 0,1,2, ,7 i = 是以1 0p p - 为首项， 4 为公比的等比数列 （ii）由（i）知：( )1 1 0 14 4i ii ip p p p p+- = - = 78 7 14 p p p - =
25、 ，67 6 14 p p p - = ，01 0 14 p p p - = 作和可得：( )8 80 1 78 0 1 1 11 4 4 14 4 4 11 4 3p p p p p- - = + + = = =- 1834 1p =- ( )4 40 1 2 34 4 0 1 18 41 4 4 1 3 1 14 4 4 41 4 3 4 1 4 1 257p p p p p- - = - = + + + = = = =- - + 4p 表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为 0.5，乙药治愈率为0.8 时，认为甲药更有效的概率为410.0039257p = ，此时得
26、出错误结论的概率特别小，说明这种试验方案合理. 7（1）棋子起先在第 1 站是必定事务，11 P = ； 棋子跳到第 2 站，只有一种状况，第一次掷硬币正面对上， 其概率为1,2212P = ； 棋子跳到第 3 站，有两种状况，第一次掷硬币反面对上，其概率为12；前两次掷硬币都是正面对上，其概率为1 1 1,2 2 4 =31 1 32 4 4P = + = ； （2）棋子棋子跳到第 2 n+ ( )*1 97, n n N 站，有两种状况：棋子先跳到第 n 站，又掷硬币反面对上，其概率为12nP ；棋子先跳到第 1 n+ 站，又掷硬币正面对上，其概率为112nP + .故2 11 12 2n
27、 n nP P P+ += + . ( )2 1 112n n n nP P P P+ + + - = - - 又2 112P P - = - ， 数列 ( )1( 1,2,3,n nP P n+- = ,98) 是以12- 为首项，12- 为公比的等比数列.（3）由（2）得112nn nP P+ - = - . ( ) ( )99 99 98 98 97P P P P P = - + - + ( )2 1 1P P P + - +98 971 12 2 = - + - + 112 + - + 99112112 - - = - - 982 13 3 2= + 所以获胜的概率为99981 113
28、 3 2P - = - 8解（1）X 可能取值为 3，4，5，6 ( )31 133 27P X = = = ， ( )2132 1 643 3 27P X C = = = ， ( )2232 1 1253 3 27P X C = = = ， ( )32 863 27P X = = = ， 故其分布列为 X3 4 5 6 P127 627 1227 827( ) 5 E X = . （2）总分恰为 m 的概率13mmA = ， 故661 1(1 )3643 3172913S-= =-. （3）已调查过的累计得分恰为 n分的概率为nB ，得不到 n 分的状况只有先得 1 n - 分，再得 2 分，概率为123nB-，而113B = ， 故1213n nB B- = ，即1213n nB B-= - + ， 可得13 2 35 3 5n nB B- - = - - ，13 45 15B - = - ， 所以13 4 25 15 3nnB- - =- - 可得3 2 25 5 3nnB = + - .