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1、人教版八年级数学下册16.1二次根式第1课时教学设计八年级数学下册16.1二次根式教案（人教版） 161二次根式教学内容二次根式的概念及其运用教学目标学问与技能目标：理解二次根式的概念，并利用（a0）的意义解答详细题目过程与方法目标：提出问题，依据问题给出概念，应用概念解决实际问题情感与价值目标：通过本节的学习培育学生：利用规定精确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生视察、分析、发觉问题的实力教学重难点关键1重点：形如（a0）的式子叫做二次根式的概念；2难点与关键：利用“（a0）”解决详细问题教法：1、引导发觉法:通过老师细心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建立分式的模型，引导学生
2、视察、类比、参加问题探讨，使感性相识上升为理性相识，充分体现了老师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用；2、讲练结合法:在例题教学中，引导学生阅读，与平方根进行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培育学生的阅读习惯和规范的解题格式。学法：1、类比的方法通过视察、类比，使学生感悟二次根式的模型，形成有效的学习策略。2、阅读的方法让学生阅读教材及材料，体验肯定的阅读方法，提高阅读实力。3、分组探讨法将自己的看法在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的沟通与合作。4、练习法采纳不同的练习法，巩固所学的学问；利用教材进行自检，小组内进行他检，提高学生的素养。媒体设计：
3、PPT课件，展台。课时支配：1课时。 教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数y=，那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐标是_问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，C=90，那么AB边的长是_老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3因为点在第一象限，所以x=，所以所求点的坐标（，）问题2：由勾股定理得AB=二、探究新知很明显、，都是一些正数的算术平方根像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式因此，一般地，我们把形如（a0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号议一议：1-1有算术平方根吗？20的算
4、术平方根是多少？3当a0，有意义吗？例1下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、（x0）、-、（x0，y0）分析：二次根式应满意两个条件：第一，有二次根号“”；其次，被开方数是正数或0解：二次根式有：、（x0）、-、（x0，y0）；不是二次根式的有：、例2当x是多少时，在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数肯定要大于或等于0，所以3x-10，才能有意义解：由3x-10，得：x当x时，在实数范围内有意义三、应用拓展例3当x是多少时，+在实数范围内有意义？分析：要使+在实数范围内有意义，必需同时满意中的0和中的x+10解：依题意，得由得：x-由得：x-1当x-且x-1时，+
5、在实数范围内有意义例4(1)已知y=+5，求的值(答案:2)(2)若+=0，求a2022+b2022的值(答案:)四、归纳小结本节课要驾驭：1形如（a0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号2要使二次根式在实数范围内有意义，必需满意被开方数是非负数五、布置作业一、选择题1下列式子中，是二次根式的是（）A-BCDx2下列式子中，不是二次根式的是（）ABCD3已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A5BCD以上皆不对二、填空题1形如_的式子叫做二次根式2面积为a的正方形的边长为_3负数_平方根三、综合提高题1某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计须要，底面应做成正方
6、形，试问底面边长应是多少？2当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？3若+有意义，则=_4.使式子有意义的未知数x有（）个A0B1C2D多数5.已知a、b为实数，且+2=b+4，求a、b的值 答案:一、1A2D3B二、1（a0）23没有三、1设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：x=2依题意得：，当x-且x0时，x2在实数范围内没有意义3.4B5a=5，b=-4板书设计：16.1.1.二次根式（1）情境引入例2学生板演二次根式的定义例3例1例4小结 16.1二次根式(2)教学内容1（a0）是一个非负数；2（）2=a（a0）教学目标学问与技能目标：理解（a0）是一个非负数和（）2=a（a0），
7、并利用它们进行计算和化简过程与方法目标：过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出（a0）是一个非负数，用详细数据结合算术平方根的意义导出（）2=a（a0）；最终运用结论严谨解题情感与价值目标：通过本节的学习培育学生：利用规定精确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生视察、分析、发觉问题的实力教学重难点关键1重点：（a0）是一个非负数；（）2=a（a0）及其运用2难点、关键：用分类思想的方法导出（a0）是一个非负数；用探究的方法导出（）2=a（a0）教法：1、引导发觉法:通过老师细心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建立分式的模型，引导学生视察、类比、参加问题探讨，使感性相识上升为理性
8、相识，充分体现了老师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用；2、讲练结合法:在例题教学中，引导学生阅读、类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培育学生的阅读习惯和规范的解题格式。学法：1、类比的方法通过视察、类比，使学生理解（a0）是一个非负数和（）2=a（a0），形成有效的学习策略。2、阅读的方法让学生阅读教材及材料，体验肯定的阅读方法，提高阅读实力。3、分组探讨法将自己的看法在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的沟通与合作。4、练习法采纳不同的练习法，巩固所学的学问；利用教材进行自检，小组内进行他检，提高学生的素养。媒体设计：PPT课件，展台。课时支配：1课
9、时。 教学过程一、复习引入（学生活动）口答1什么叫二次根式？2当a0时，叫什么？当a0时，有意义吗？老师点评（略）二、探究新知议一议：（a0）是一个什么数呢？老师点评：（a0）是一个非负数做一做：依据算术平方根的意义填空：（）2=_；（）2=_；（）2=_；（）2=_；（）2=_；（）2=_；（）2=_老师点评：是4的算术平方根，依据算术平方根的意义，是一个平方等于4的非负数，因此有（）2=4同理可得：（）2=2，（）2=9，（）2=3，（）2=，（）2=，（）2=0，所以（）2=a（a0）例1、计算1（）22（3）23（）24（）2分析：我们可以干脆利用（）2=a（a0）的结论解题解：（）2
10、=，（3）2=32（）2=325=45，（）2=，（）2=三、巩固练习计算下列各式的值：（）2（）2（）2（）2（4）2四、应用拓展例2、计算1（）2（x0）2（）23（）24（）2分析：（1）因为x0，所以x+10；（2）a20；（3）a2+2a+1=（a+1）0；（4）4x2-12x+9=（2x）2-22x3+32=（2x-3）20所以上面的4题都可以运用（）2=a（a0）的重要结论解题解：（1）因为x0，所以x+10（）2=x+1（2）a20，（）2=a2（3）a2+2a+1=（a+1）2又（a+1）20，a2+2a+10，=a2+2a+1（4）4x2-12x+9=（2x）2-22x3+
11、32=（2x-3）2又（2x-3）204x2-12x+90，（）2=4x2-12x+9例3、在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3（2）x4-4(3)2x2-3分析：(略)五、归纳小结本节课应驾驭：1（a0）是一个非负数；2（）2=a（a0）;反之:a=（）2（a0）六、布置作业一、选择题1下列各式中、，二次根式的个数是（）A4B3C2D12数a没有算术平方根，则a的取值范围是（）Aa0Ba0Ca0Da=0二、填空题1（-）2=_2已知有意义，那么是一个_数三、综合提高题1计算（1）（）2（2）-（）2（3）（）2（4）（-3）2(5)2把下列非负数写成一个数的平方的形式:（1）5（2）3.
12、4（3）（4）x（x0）3已知+=0，求xy的值4在实数范围内分解下列因式:（1）x2-2（2）x4-93x2-5 答案:一、1B2C；二、132非负数；三、1（1）（）2=9（2）-（）2=-3（3）（）2=6=；（4）（-3）2=9=6(5)-62（1）5=（）2；（2）3.4=（）2；（3）=（）2；（4）x=（）2（x0）3xy=34=81；4.（1）x2-2=（x+）（x-）（2）x4-9=（x2+3）（x2-3）=（x2+3）（x+）（x-）；(3)略板书设计：16.1.二次根式（2）情境引入例1学生板演1（a0）是一个非负数；例22（）2=a（a0）;反之:a=（）2（a0）例3
13、小结 16.1二次根式(3)教学内容:a（a0）教学目标学问与技能目标：理解=a（a0）并利用它进行计算和化简过程与方法目标：通过详细数据的解答，探究=a（a0），并利用这个结论解决详细问题情感与价值目标：通过本节的学习培育学生：利用规定精确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生视察、分析、发觉问题的实力 教学重难点关键1重点：a（a0）2难点：探究结论3关键：讲清a0时，a才成立教法：1、引导发觉法:通过老师细心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建立分式的模型，引导学生视察、类比、参加问题探讨，使感性相识上升为理性相识，充分体现了老师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用
14、；2、讲练结合法:在例题教学中，引导学生阅读类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培育学生的阅读习惯和规范的解题格式学法：1、类比的方法通过视察、类比，使学生感悟a（a0），形成有效的学习策略。2、阅读的方法让学生阅读教材及材料，体验肯定的阅读方法，提高阅读实力。3、分组探讨法将自己的看法在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的沟通与合作。4、练习法采纳不同的练习法，巩固所学的学问；利用教材进行自检，小组内进行他检，提高学生的素养。媒体设计：PPT课件，展台。课时支配：1课时。教学过程:一、复习引入1形如（a0）的式子叫做二次根式；2（a0）是一个非负数；3()2a（a0）那
15、么，我们猜想当a0时，=a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题二、探究新知填空：=_；=_；=_；=_；=_；=_（老师点评）：依据算术平方根的意义，我们可以得到：=2；=0.01；=；=；=0；=因此，一般地：=a（a0）例1、化简（1）（2）（3）（4）分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32，所以都可运用=a（a0）去化简解：（1）=3（2）=4（3）=5（4）=3三、应用拓展例2、填空：当a0时，=_；当a0时，=_，并依据这一性质回答下列问题（1）若=a，则a可以是什么数？（2）若=-a，则a可以是什么数？（3）a，则a可以是什么
16、数？分析：=a（a0），要填第一个空格可以依据这个结论，其次空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a0时，=，那么-a0（1）依据结论求条件；（2）依据其次个填空的分析，逆向思想；（3）依据（1）、（2）可知=a，而a要大于a，只有什么时候才能保证呢？a0解：（1）因为=a，所以a0；（2）因为=-a，所以a0；（3）因为当a0时=a，要使a，即使aa所以a不存在；当a0时，=-a，要使a，即使-aa，a0综上，a0例3、当x2，化简-分析：(略)四、归纳小结本节课应驾驭：=a（a0）及其运用，同时理解当a0时，a的应用拓展五、布置作业一、选择题1的值是（）A0BC4D以上都不
17、对2a0时，、-，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（）A=-B-C-D-=二、填空题1-=_2若是一个正整数，则正整数m的最小值是_三、综合提高题1先化简再求值：当a=9时，求a+的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17两种解答中，_的解答是错误的，错误的缘由是_2若1995-a+=a，求a-19952的值（提示：先由a-20000，推断1995-a的值是正数还是负数，去掉肯定值）3.若-3x2时，试化简x-2+。 答案:一、1C2A；二、1-00225；三、1甲甲没有先判定1-a是正数还是负数2由已知得
18、a-20000，a2000所以a-1995+=a，=1995，a-2000=19952，所以a-19952=20003.10-x板书设计：16.1.二次根式（3）情境引入例2学生板演a（a0）例3 例1练习小结 人教版八年级数学下册16.2二次根式的乘除第1课时教学设计 一、内容和内容解析 1内容 二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质，化简二次根式 2内容解析 二次根式是初中阶段“数与式”内容的最终一章，因此担当着整理“数与式”的内容、方法和基本思想的任务本节探讨二次根式的乘法运算运算法则是运算的依据，因此教材通过“探究”栏目，引导学生利用二次根式的性质，从详细数字运算中发觉规律，进而归纳
19、得出二次根式的乘法法则 基于以上分析，确定本节课的教学重点：探究二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质 二、目标和目标解析 1教学目标 （1）经验二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质的形成过程；会进行简洁的二次根式的乘法运算； （2）会用公式化简二次根式 2目标解析 （1）学生能通过计算发觉规律并对其进行一般化的推广，得出乘法法则的内容； （2）学生能利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质，化简二次根式 三、教学问题诊断分析 本节课的学习中，学生在得出乘法法则和积的算术平方根的性质后，对于何时该选用何公式简化运算感到困难运算习惯的养成与符号意识的养成、运算实力的形成紧密相关，由于该
20、内容与以前学过的实数内容有较多的联系，例如，整式中的乘法公式在二次根式的运算中也成立，在教学中，要多从联系性上下力气，培育学生良好的运算习惯 在教学时，通过实例运算，对于将一个二次根式化为最简二次根式，一般有两种状况：（1）假如被开方数是分数或分式（包括小数），可以采纳干脆利用分式的性质，结合二次根式的性质进行化简（例见教科书例6解法1），也可以先写成算术平方根的商的形式，再利用分式的性质处理分母的根号（例见教科书例6解法2）；（2）假如被开方数不含分母，可以先将它分解因数或分解因式，然后吧开得尽方的因数或因式开出来，从而将式子化简 本节课的教学难点为：二次根式的性质及乘法法则的正确应用和二次
21、根式的化简 四、教学过程设计 1复习引入，探究新知 我们前面已经学习了二次根式的概念和性质，本节课起先我们要学习二次根式的乘除本节课先学习二次根式的乘法 问题1什么叫二次根式？二次根式有哪些性质？ 师生活动学生回答 【设计意图】乘法运算和二次根式的化简须要用到二次根式的性质 问题2教材第6页“探究”栏目，计算结果如何？有何规律？ 师生活动学生计算、思索并尝试归纳，引导学生用自己的语言描述乘法法则的内容 【设计意图】学生在自主探究的过程中发觉规律，运用类比思想，由特别到一般地，采纳不完全归纳的方法得出二次根式的乘法法则要求学生用数学语言和文字分别描述法则，以培育学生的符号意识 2视察比较，理解法
22、则 问题3简洁的根式运算 师生活动学生动手操作，老师检验 问题4成立的条件是什么？等式反过来有什么价值？ 师生活动学生回答，给出正确答案后，老师给出积的算术平方根的性质 【设计意图】让学生运用法则进行简洁的二次根式的乘法运算，以检验法则的驾驭状况乘法法则反过来就是积的算术平方根的性质，性质是为运算服务的，积的算术平方根的性质将积的算术平方根分解成几个因数或因式的算术平方根的积，利用整式的运算法则、乘法公式等可以简化二次根式，培育学生的运算实力 3例题示范，学会应用 例1化简：（1）；（2） 师生活动提问：你是怎么理解例（1）的？ 假如学生回答不完善，再追问：这个问题中，就干脆将结果算成可以吗？
23、你认为本题怎样才达到了化简的效果？ 师生合作回答上述问题对于根式运算的最终结果，一般被开方数中有开得尽方的因数或因式，应依据二次根式的性质将其移出根号外 再提问：你能仿照第（1）题的解答，能自己解决（2）吗？ 【设计意图】通过运算，培育学生的运算实力，明确二次根式化简的方向积的算术平方根的性质可以进行二次根式的化简 例2计算：（1）；（2）；（3） 师生活动学生计算，老师检验 （1）在被开方数相乘的时候，就可以考虑因数或因式分解，由干脆可得而不必先写成再分解； （2）二次根式的乘法运算类似于整式的乘法运算，交换律、结合律都是适用的对于根号外有系数的根式在相乘时，可以将系数先相乘作为积的系数，再
24、对根式进行运算； （3）例（3）的运算是选学内容让学有余力的学生学到“根号下为字母的二次根式”的运算本题先利用积的算术平方根的性质，得到，然后利用二次根式的乘法法则，变成，由于可以推断，因此干脆将x移出根号外 【设计意图】引导学生刚好总结，强调利用运算律进行运算，利用乘法公式简化运算让学生相识到，二次根式是一类特别的实数，因此满意实数的运算律，关于整式运算的公式和方法也适用 教材中虽然指明，如未特殊说明，本章中全部的字母都表示正数，但仍应强调，看到根号就要留意被开方数的符号可以依据二次根式的概念对字母的符号进行推断，在移出根号时正确处理符号问题 4巩固概念，学以致用 练习：教科书第7页练习第1
25、题第10页习题162第1题 【设计意图】巩固性练习，同时检验乘法法则的驾驭状况 5归纳小结，反思提高 师生共同回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题： （1）你能说明二次根式的乘法法则是如何得出的吗？ （2）你能说明乘法法则逆用的意义吗？ （3）化简二次根式的基本步骤是怎样？一般对最终结果有何要求？ 6布置作业：教科书第7页第2、3题习题162第1，6题 五、目标检测设计 1下列各式中，肯定能成立的是（） AB CD 【设计意图】考查二次根式的概念和性质，这是进行二次根式的乘法运算的基础 2化简_ 【设计意图】二次根式是特别的实数，实数的相关运算法则也适用于二次根式 3已知，化简二次根式的结
26、果是（） ABCD 【设计意图】巩固二次根式的性质，利用积的算术平方根的性质正确化简二次根式 八年级数学下册二次根式的乘除（第2课时）教学设计 八年级数学下册二次根式的乘除（第2课时）教学设计 一、内容和内容解析 1内容 二次根式的除法法则及其逆用，最简二次根式的概念。 2内容解析 二次根式除法法则及商的算术平方根的探究，最简二次根式的提出，为二次根式的运算指明白方向，学习了除法法则后，就有比较丰富的运算法则和公式依据，将一个二次根式化成最简二次根式，是加减运算的基础. 基于以上分析，确定本节课的教学重点：二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，最简二次根式. 二、目标和目标解析 1教学目标
27、 （1）利用归纳类比的方法得出二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质； （2）会进行简洁的二次根式的除法运算; (3)理解最简二次根式的概念. 2目标解析 （1）学生能通过运算，类比二次根式的乘法法则，发觉并描述二次根式的除法法则； （2）学生能理解除法法则逆用的意义，结合二次根式的概念、性质、乘除法法则，对简洁的二次根式进行运算. (3)通过视察二次根式的运算结果，理解最简二次根式的特征，能将二次根式的运算结果化为最简二次根式. 三、教学问题诊断分析 本节内容主要是在做二次根式的除法运算时，分母含根号的处理方式上，学生可能会出现困难或简单失误，在除法运算中，可以先计算后利用商的算术平方根的
28、性质来进行，也可以先利用分式的性质，去掉分母中的根号，再结合乘法法则和积的算术平方根的性质来进行.二次根式的除法与分式的运算类似，假如分子、分母中含有相同的因式，可以干脆约去，以简化运算.教学中不能只是列举题型，应以各级各类习题为载体，引导学生把握运算过程，估计运算结果，明确运算方向. 本节课的教学难点为：二次根式的除法法则与商的算术平方根的性质之间的关系和应用. 四、教学过程设计 1复习提问，探究规律 问题1二次根式的乘法法则是什么内容？化简二次根式的一般步骤怎样？ 师生活动学生回答。 【设计意图】让学生回忆探究乘法法则的过程，类比该过程，学生可以探究除法法则 2视察思索，理解法则 问题2教
29、材第8页“探究”栏目，计算结果如何？有何规律？ 师生活动学生回答，给出正确答案后，老师引导学生思索，并总结二次根式除法法则： . 问题3对比乘法法则里字母的取值范围，除法法则里字母的取值范围有何改变？ 师生活动学生思索，回答。学生能说明依据分数的意义知道，分母不为零就可以了. 【设计意图】学生通过自主探究，采纳类比的方法，得出二次根式的除法法则后，要明确字母的取值范围，以免在处理更为困难的二次根式的运算时出现错误. 问题4对例题的运算你有什么看法？是如何进行的？ 师生活动学生利用法则干脆运算，一般根号下不含分母和开得尽方的因数. 【设计意图】让学生初步利用二次根式的性质、乘除法法则进行简洁的运
30、算. 问题5对比积的算术平方根的性质，商的算术平方根有没有类似性质？ 师生活动学生类比地发觉，商的算术平方根等于算术平方根的商，即.利用该性质可以进行二次根式的化简. 3例题示范，学会应用 例1计算：（1）；（2）；（3）. 师生活动提问：你有几种方法去掉分母中的根号？去分母的依据分别是什么？ 再提问：第（2）用什么方法计算更简捷？第（3）题根号下含字母在移出根号时应留意什么？ 【设计意图】通过详细问题，让学生在实际运算中培育运算实力，训练运算技能， 问题5你能从例题的解答过程中，总结一下二次根式的运算结果有什么特征吗？ 师生活动学生总结，师生共同补充、完善。要总结出： （1）这些根式的被开方
31、数都不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （3）分母中不含根号； 【设计意图】引导学生刚好总结，提出最简二次根式的概念，要强调，在二次根式的运算中，一般要把最终结果化为最简二次根式. 问题6课件展示一组二次根式的计算、化简题. 【设计意图】让学生用总结出的结论进行二次根式的运算. 4巩固概念，学以致用 例2教材第9页例7. 师生活动提问本题是以长方形面积为背景的数学问题，二次根式的除法运算在此发挥什么作用？ 再提问章引言中的问题现在能解决了吗？ 【设计意图】巩固性练习，同时培育学生应用二次根式的乘除运算法则解决实际问题的实力。 5归纳小结，反思提高 师生共同回顾本节课所学内
32、容，并请学生回答以下问题： （1）除法运算的法则如何？对等式中字母的取值范围有何要求？ （2）你能说明最简二次根式须要满意的条件吗？ 6布置作业：教科书第10页练习第1，2，3题； 教科书习题16.2第10，11题. 五、目标检测设计 1在、中，最简二次根式为. 【设计意图】考查对最简二次根式的概念的理解. 2化简下列各式为最简二次根式：；. 【设计意图】复习二次根式的运算法则和运算性质.激励学生用不同方法进行计算.对于分母含二次根式的处理，要结合整式的乘法公式进行计算. 3化简：（1）；（2）. 【设计意图】综合运用二次根式的概念、性质和运算法则进行二次根式的运算. 第20页 共20页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页