探索实际问题与一元一次方程.docx

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1、探索实际问题与一元一次方程实际问题与一元一次方程 3.3实际问题与一元一次方程（第一课时）【教学任务分析】 教学目标学问技能1.会运用一元一次方程解决有关“营销问题”，能依据实际问题中所给数量关系列方程，并娴熟驾驭一元一次方程的解法2.了解售价、进价、利润、利润率、打折等之间关系，并能综合运用，解决实际问题.过程方法经验对“销售中的盈亏”等问题的相识分析，进一步培育学生建模思想、培育学生分析问题、解决问题的实力.情感看法通过相关应用题计算应用，感受数学在生活中的好用性和重要性，以及对我们决策的指导性，使学生酷爱数学、努力学好数学.重点列一元一次方程解决实际生活中的“营销问题”.难点依据实际问题

2、中的数量关系列一元一次方程.【教学环节支配】环节教学问题设计教学活动设计 情境引入【问题1】1.“商品销售”问题中有哪些相关量？它们之间的关系又怎样？成本价(进价),标价,销售价,实际售价，利润,盈利,亏损,利润率、打八折，2上面这些量之间有何关系?总结：（1）归为四种：售价、进价、利润、利润率.（2）关系：售价、进价、利润的关系式：商品利润=商品售价商品进价进价、利润、利润率的关系：商品售价、进价、利润率的关系：（3）售价中的几种说法及关系：标价、折扣数、商品实际售价之间关系:老师提出问题，学生探讨、并尝试在练习本上写出，组内沟通相识，每组出一名同学发表自己的观点，相互补充. 这是第一次系统

3、的分析销售问题中各量（名称）关系，依据学生零散阐述，系统归纳. 学生理解众多名称的意义，以以便于理解题意. 【问题2】依据以上分析完成下列各题：1商品原价200元，九折出售，卖价（实际售价）是元.2商品进价是30元，售价是50元，则利润是元.3某商品原来每件零售价是a元,现在每件降价10%,降价后每件零售价是元.4某种品牌的彩电降价20%以后，每台售价为a元，则该品牌彩电每台原价应为元.5某商品按定价的八折出售，售价是14.8元，则原定售价是.6.某商品的利润率是12%,进价为50元,则利润是元.【问题3】探究1某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25

4、%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？【分析】（1）两件衣服共卖了多少元？是盈是亏要看这家商店买进这件衣服时花了多少钱？（2）盈利的那件衣服的进价是多少？已知_和_求进价，可设进价为x元/件，依据利润率是25%可得利润是_；依据利润、进价、售价之间的关系可列方程为_,即可求出进价x.（3）亏损的那件衣服的进价是多少？已知_和_求进价，可设进价为y元/件，依据利润率是-25%可得利润是_；依据利润、进价、售价之间的关系可列方程为_,即可求出进价y.(4)因此是否盈亏取决于x+y-120大小.学生独立完成，师生共同核对，理解各名称含义和各量之间的相互关系提出问题，让学生揣测，是亏损还是

5、盈利，看法会不一样，从而引起学生新奇，调动大家主动性，渴望寻求真正答案. 因为问题中涉及两种商品，所以有两个进价、两个售价（相同）、两个利润率（互为相反数）、两个利润，所以它们之间关系困难，学生理解实力有限，加之前面没有系统讲解，难度较大.因此要引导学生，通过推理、逐个、逐步理清.不易过于简化.留意：解答过程中要用到两个关系式子：利润=售价-进价；利润=进价利润率.所以有肯定难度，要留意. 尝试应用2一商店把某商品按标价的八折出售仍可获得10%的利润.若该商品的进价是每件1600元，问该商品的标价是多少元变式一：商店对某商品按标价的8折出售，已知它的标价是2200元，打折后的销售利润率是10，

6、求此商品的进价？变式二：商店对标价为2200元的某商品打8折出售，已知它的进价为1600元，求此商品打折后的利润率？变式三：商店对标价为2200元的某商品打折出售，打折后仍可获得10的利润，已知它的进价为1600元，问此商品是按几折出售的？是由四个题组成，反映了进价、售价、实际售价、折扣、利润率之间的内在联系.学生独立（或分组）完成后老师讲评总结. 成果展示1.通过本节的学习你学到了哪些学问和方法？2.你有什么收获？谈谈你对数学相识和看法.学生总结、阐述，沟通.发表自己观点，老师评价激励、补充总结.补偿提高1.在我们的身边有一些股民，在每一次的股票交易中是或盈利或亏损.某股民将甲、乙两种股票卖

7、出,甲种股票卖出1500元，盈利20%；乙种股票卖出1600元，但亏损20%，该股民在这次交易中是盈利还是亏损?盈利或亏损多少元?2.平邑县某琴行同时卖出两台钢琴，每台售价为9600元.其中一台盈利20%，另一台亏损20%.这次琴行是_(填亏损或盈利)若是盈利盈利多少？若是亏损多少？变式应用，对比与例题，条件改变时，解法不变.对比学习，课下自选完成. 作业设计必做题:课本第习题3.4第2，3，4题；选做题：课本习题3.4第7题老师布置作业，并提出要求.学生课下独立完成，持续课堂. 授课老师：2022年10月31日 3.4实际问题与一元一次方程- 3.4实际问题与一元一次方程 【本讲教化信息】

8、一.教学内容： 1.体会数学建模思想. 2.进一步探究如何用一元一次方程解决实际问题. 二.学问要点： 1.数学建模 这里所讲的数学建模是利用数学方法（一元一次方程）解决实际问题的一种实践.即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式（一元一次方程）表达，建立起数学模型，然后运用数学方法进行求解.建立数学模型的这个过程就称为数学建模. 2.用一元一次方程解决实际问题的几个留意事项 （1）先弄清题意，找出相等关系，再根据相等关系来选择未知数和列代数式，比先设未知数，再找出含有未知数的代数式，再找相等关系更为合理. （2）所列方程两边的代数式的意义必需一样，单位要统一，数量关

9、系肯定要相等. （3）要养成“验”的好习惯，即所求结果要使实际问题有意义. （4）不要漏写“答”、“设”和“答”都不要丢掉单位名称. （5）分析过程可以只写在草稿纸上，但肯定要仔细. 三.重点难点： 1.重点：进一步体现一元一次方程与实际的亲密联系，渗透数学建模思想，培育运用一元一次方程分析和解决实际问题的实力. 2.难点：本讲问题的背景和表达都比较贴近实际，其中有些数量关系比较隐藏，所以在探究过程中正确地列方程是主要难点.突破难点的关键是弄清问题背景，分析清晰有关数量关系，特殊是找出可以作为列方程依据的主要相等关系. 【典型例题】 例1.墙上钉着一根彩绳围成的梯形形态的饰物，如图中实线所示.

10、小明将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如图中虚线所示.小明所钉长方形的长、宽各为多少厘米？ 分析：饰物形态改变前后有两个不变的量，一个是周长，另一个是改变前梯形的上底和改变后长方形的宽.依据题意可设长方形的长为x，则长方形的周长为2x210，梯形的周长为101010610652.则2x2052，从而解得x16. 解：设小明所钉长方形的长为x，依据题意得： 2x2101010610610 整理得，2x2052 解得，x16 由于饰物改变前后长度为10的边没有改变，所以长方形的一边长为10厘米. 答：长方形的长为16厘米，宽为10厘米. 评析：图形改变问题的等量关系往往是改变前后的

11、周长相等、面积相等、体积相等. 例2.一批货物，甲把原价降低10元卖出，用售价的10%做积累，乙把原价降低20元，用售价的20%做积累，若两种积累一样多，则这批货物的原售价是多少？ 分析：设这批货物的原售价为x元，则甲的积累是（x10）10%元，乙的积累是（x20）20%，相等关系是：甲的积累乙的积累. 解：设这批货物的原售价为x元，依据题意得： （x10）10%（x20）20% 化简得：x102（x20） 即x102x40 解得x30 答：这批货物的原售价为30元. 评析：这个问题的相等关系比较简洁，难点是对两个百分数的处理. 例3.（2022年广东湛江）某足球竞赛的计分规则为胜一场得3分，

12、平一场得1分，负一场得0分.一个队踢14场球负5场共得19分，问这个队胜了几场？ 分析：依据题意，所得的19分是踢胜的场数和踢平的场数所得的积分，而踢胜的场数和踢平的场数共1459场，假如设胜了x场，那么踢平的场数就是9x场.分别乘它们的分值，和为19. 解：设胜了x场，依据题意得： 3x1（14x5）19 即3x9x19 解得x5 答：这个队胜了5场. 评析：积分多少与胜、平、负的场数相关，同时也与竞赛积分规定有关，假如对体育竞赛有肯定了解，会有助于理解题意. 例4.（2022年安徽）某石油进口国这个月的石油进口量比上个月削减了5%，由于国际油价上涨，这个月进口石油的费用反而比上个月增加了1

13、4%.求这个月的石油价格相对上个月的增长率. 分析：数量关系如下表： 上个月 这个月 石油进口量 1 15% 进口石油费用 1 114% 石油价格 1 1x解：设这个月的石油价格相对上个月的增长率为x.依据题意得： （1x）（15%）114% 解得x20% 答：这个月的石油价格相对上个月的增长率为20%. 评析：借助表格来分析较困难的数量关系.这道题所用的相等关系是：数量价格费用. 例5.（2022年上海）2022年以来，我市药店主动实施药品降价，累计降价的总金额为269亿元.五次药品降价的年份与相应降价金额如下表所示，表中缺失了2022年，2022年的相关数据.已知2022年药品降价金额是2

14、022年药品降价金额的6倍，结合表中信息，求2022年和2022年的药品降价金额. 年份 2022 2022 2022 2022 2022 降价金额（亿元） 54 35 40分析：相等关系较为明显，可以依据累计降价的总金额为269亿元列方程，结合表格假如设2022年降价金额为x亿元，则2022年降价金额为6x亿元，有54x35406x269. 解：设2022年降价金额为x亿元，依据题意得： 54x35406x269 整理得，7x140 解得，x20 6x620120 答：2022年和2022年药品降价金额分别是20亿元和120亿元 评析：这个问题是以表格形式传递信息的，这种形式在现实中很普遍，

15、重点培育从不同形式获得有关数据信息，是值得留意的问题. 例6.（2022年希望杯初一第1试）初一（1）班有学生60人，其中参与数学小组的有36人，参与英语小组的人数比参与数学小组的人数少5人，并且这两个小组都不参与的人数比两个小组都参与的人数的多2人，则同时参与这两个小组的人数是（） A.16B.12C.10D.8 分析：数量关系如下：全班共60人；参与数学小组的36人；参与英语小组的是36531人；设同时参与两个小组的人数是x人；两个小组都不参与的人数是（x2）人.如图所示，可以得另外两个数量关系：只参与数学小组的（36x）人；只参与英语小组的（31x）人.图中四部分相加和为60.即（x2）

16、（36x）（365x）x60.解得：x12. 解：B 评析：这道题的数量关系特别困难，但是结合图形可以使其变得很明朗. 【方法总结】 应用数学学问去探讨和和解决实际问题，遇到的第一项工作就是建立恰当的数学模型.从这一意义上讲，可以说数学建模是一切科学探讨的基础.没有一个较好的数学模型就不行能得到较好的探讨结果，所以，建立一个较好的数学模型乃是解决实际问题的关键之一.数学建模将各种学问综合应用于解决实际问题中，是培育和提高同学们应用所学学问分析问题、解决问题的实力的必备手段之一. 【模拟试题】（答题时间：60分钟） 一.选择题 1.试验中学七年级（2）班有学生56人，已知男生人数比女生人数的2倍

17、少11人，求男生和女生各多少人？下面设未知数的方法，合适的是（） A.设总人数为x人B.设男生比女生多x人 C.设男生人数是女生人数的x倍D.设女生人数为x人 2.甲厂的年产值为7450万元，比乙厂的年产值的5倍还多420万元，若设乙厂的年产值为x万元，下列所列方程中错误的是（） A.5x4207450B.74505x420 C.7450（5x420）0D.5x4207450 3.某种品牌的彩电降价30%后，每台售价为a元，则该品牌彩电每台原价应为（） A.0.7a元B.0.3a元C.元D.元 4.A、B两城相距720km，普快列车从A城动身120km后，特快列车从B城开往A城，6h后两车相遇

18、.若普快列车是特快列车速度的，且设普快列车速度为xkm/h，则下列所列方程错误的是（） A.7206x6x120B.7201206（xx） C.6x6x120720D.6（xx）120720 5.用两根长12cm的铁丝分别围成正方形和长与宽之比为21的长方形，则长方形和正方形的面积依次为（） A.9cm2和8cm2B.8cm2和9cm2C.32cm2和36cm2D.36cm2和32cm2 *6.有一位旅客携带了30kg重的行李从上海乘飞机去北京，按民航总局规定：旅客最多可免费携带20kg重的行李，超重部分每千克按飞机票价格1.5%购买行李票，现该旅客购买了180元的行李票，则他的飞机票价格应是

19、（） A.800元B.1000元C.1200元D.1500元 二.填空题 1.（2022年河北）一件运动衣按原价的八折出售时，售价是40元，则原价为_元. 2.买4本练习本与3枝铅笔一共用了4.7元.已知铅笔每枝0.5元，则练习本每本_元. *3.一个长方形鸡场的一边靠墙，墙的对面有一个2m宽的门，另三边（门除外）用篱笆围成，篱笆总长33m，若鸡场的长宽32（尽量用墙），则鸡场的长为_m，宽为_m. 4.某市居民2022年末的储蓄存款达到9079万元，比2022年末的储蓄存款的15倍还多4万元，则2022年末的存款为_. 5.（2022年甘肃省白银）某商店销售一批服装，每件售价150元，打8折

20、出售后，仍可获利20元，设这种服装的成本价为每件x元，则x满意的方程是_. *6.（2022年广东茂名）依法纳税是每个公民应尽的义务，新的中华人民共和国个人所得税法规定，从2022年3月1日起，公民全月工薪不超过2000元的部分不必纳税，超过2000元的部分应缴纳个人所得税，此项税款按下表分段累进计算.黄先生4月份缴纳个人所得税税金55元，那么黄先生该月的工薪是_元. 全月应纳税所得税额 税率 不超过500元的部分 5% 超过500元至2000元的部分 10% 三.列方程解应用题 1.（2022年吉林）据某统计数据显示，在我国的664座城市中，按水资源状况可分为三类：暂不缺水城市、一般缺水城市

21、和严峻缺水城市.其中，暂不缺水城市数比严峻缺水城市数的4倍少50座，一般缺水城市数是严峻缺水城市数的2倍.求严峻缺水城市有多少座？ *2.甲、乙两个工人接受了加工一批服装的任务，规定两人各加工这批服装的一半，已知乙的工作效率相当于甲的，工作了8小时，甲完成了自己的任务，这时乙还差24件服装没有完成.这批服装共有多少件？ 3.如图所示，小红将一个正方形剪去一个宽为4cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上沿平行短边的方向剪去一个宽为5cm的长条.若两次剪下的长条面积正好相等，那么每一长条的面积为多少？原正方形的面积为多少？ *4.为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采纳价格调控手段以达到节约

22、用水的目的.该市规定了如下的用水标准：每户每月的用水不超过6m3时，水费按每立方米a元收费；超过6m3时，不超过部分每立方米仍按a元收费，超过部分每立方米按b元收费. 该市居民张大爷一家今年3、4月份的用水量和水费如下表： 月份 用水量/m3 水费/元 3 5 7.5 4 9 27设该户每月用水量为x（m3），应缴水费y（元）. （1）求a、b的值，写出用水不超过6m3和超过6m3时，y与x之间的代数表达式； （2）若张大爷一家今年5月份的用水量为8m3，该户5月份应缴的水费是多少？ *5.振华中学为进一步推动素养教化，把素养教化落到实处，利用课外爱好小组活动开展棋类教学活动，以提高学生的思维

23、实力，开发智力，七年级一班有50名同学，通过活动发觉只有1人象棋、围棋都不会下，有30人象棋、围棋都会下，且会下象棋的学生比会下围棋的学生多7人. （1）若设会下围棋的有x个人，你能列出方程并证明x是35、36、37三个数中的哪一个吗？ （2）你知道只会下象棋不会下围棋的人数吗？ 【试题答案】 一.选择题 1.D2.D3.D4.B5.B6.C 二.填空题 1.50 2.0.8 3.1510（提示：可设长为3x，宽为2x，则3x2x2x233） 4.605万元 5.x200.8150 6.2800提示：设黄先生4月份的工薪是x元，假如x在2000元2500元，则5%（x2000）55，解得x31

24、00，不符合题意；假如x在2500元4000元，则10%（x2000500）5%50055，解得x2800.所以黄先生4月份的工薪是2800元. 三.列方程解应用题 1.解：设严峻缺水城市有x座，依据题意得： 4x502xx664 解得，x102 答：严峻缺水城市有102座. 2.解：设甲每小时加工服装x件，则乙的工作效率是每小时加工x件，依据题意得： 8xx824 去分母整理得：8x120 8x正好是甲完成的工作量，这个工作量又是总数的一半，所以这批服装有1202240件. 答：这批服装共有240套. 另解：设这批服装共有2x件，则x（x24），解得x120，2x240. 3.解：设原正方形

25、的边长为xcm，列方程为： 4x5（x4） 解得，x20 42080（cm2），2020400（cm2） 答：每一长条的面积为80cm2，原正方形的面积为400cm2. 4.解：（1）3月份用水5m3不超过6m3，所以水费按每立方米a元收取，所以5a7.5，所以a1.5； 4月份用水9m3，所以7.5（96）b27，解得：b6.5. 不超过6m3时，y1.5x； 超过6m3时，y7.56.5（x6） （2）由（1）可得当x8时，y7.56.5（x6） 即y7.56.5220.5（元） 答：略 5.（1）设会下围棋的学生有x人，则会下象棋的学生为（x7）人，那么只会下围棋的学生有（x30）人，只

26、会下象棋的学生为（x730）人，依据题意得： xx730501， 把x35，x36，x37分别代入方程，有x36成立， 所以会下围棋的有36人. （2）会下象棋不会下围棋的有x7303673013（人）. 探究实际问题与一元一次方程 数学教学设计授课老师：授课时间：课型:新授课题：3.4探究实际问题与一元一次方程主备人教学目标基础学问：驾驭一元一次方程得解法，了解销售中的数量关系。基本技能：能够分析实际问题中的数量关系，找相等关系，列出一元一次方程。基本思想方法：通过将实际问题转化成数学问题，培育学生的建模思想；基本活动阅历体会解决实际问题的一般步骤及盈亏中的关系教学重点探究并驾驭列一元一次方

27、程解决实际问题的方法，教学难点找出已知量与未知量之间的关系及相等关系。教具资料打算老师打算：课件学生打算：书、本教学过程自备补充集备补充一、创设情景引入新课视察图片引课（见大屏幕）二、探究探究销售中的盈亏问题:1、商品原价200元，九折出售，卖价是元.2、商品进价是30元，售价是50元，则利润是元.2、某商品原来每件零售价是a元,现在每件降价10%,降价后每件零售价是元.3、某种品牌的彩电降价20%以后，每台售价为a元，则该品牌彩电每台原价应为元.4、某商品按定价的八折出售，售价是14.8元，则原定售价是.（学生总结公式）熟识各个量之间的联系有助于熟识利润、利润率售价进价之间联系三、探究一某商

28、店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利25，另一件亏损25，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏?分析：售价=进价+利润售价=(1+利润率)进价 练习：（1）随州某琴行同时卖出两台钢琴，每台售价为960元。其中一台盈20%，另一台亏损20%。这次琴行是盈利还是亏损，或是不盈不亏？（2）某文具店有两个进价不同的计算器都卖64元，其中一个盈利60%，另一个亏本20%.这次交易中的盈亏状况？（3）某商场把进价为1980元的商品按标价的八折出售，仍获利10%,则该商品的标价为元. 注:标价n/10=进（1+率）（4）2、我国政府为解决老百姓看病难的问题，确定下调药品的价格，某

29、种药品在2022年涨价30%后，2022降价70%至a元，则这种药品在2022年涨价前价格为元.四、小结通过本节课的学习你有哪些收获？你还有哪些怀疑？亏损还是盈利对比售价与进价的关系才能加以推断 小组探讨解决提出质疑优生展示讲解质疑五、作业布置：板书设计一元一次方程的应用-盈亏问题相关的关系式：例题课后反思售价、进价、利润、利润率、标价、折扣数这几个量之间的关系肯定清晰，之后才能敏捷运用，通过变式练习加强记忆提高实力。 第15页 共15页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页