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1、中考数学专题：菱形在二次函数中综合问题（原卷版）专题33 菱形在二次函数中的综合问题 1、如图，已知抛物线yx2bxc与x轴交于点A，B，AB2，与y轴交于点C，对称轴为直线x2 （1）求抛物线的函数表达式； （2）依据图像，干脆写出不等式x2bxc0的解集： （3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为： 2、如图，已知抛物线经过点和点，与轴交于点. （1）求此抛物线的解析式； （2）若点是直线下方的抛物线上一动点（不点，重合），过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为. 用含的代数式表示线段的长； 连接，求的面积最大时点的坐标； （
2、3）设抛物线的对称轴与交于点，点是抛物线的对称轴上一点，为轴上一点，是否存在这样的点和点，使得以点、为顶点的四边形是菱形？假如存在，请干脆写出点的坐标；假如不存在，请说明理由. 3、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3），点P是直线BC下方抛物线上的随意一点 （1）求这个二次函数y=x2+bx+c的解析式 （2）连接PO，PC，并将POC沿y轴对折，得到四边形POPC，假如四边形POPC为菱形,求点P的坐标 （3）假如点P在运动过程中，能使得以P、C、B为顶点的三角形与AOC相像，恳求出此时点P的坐标 4
3、、如图，在平面直角些标系中，二次函数yax2+bx的图象经过点A（1，0），C（2，0），与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D （1）求二次函数的表达式及其顶点的坐标； （2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求PB+PD的最小值； （3）M（x，t）为抛物线对称轴上一个动点，若平面内存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有 个 5、如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点的坐标为（3，0），B点在原点的左侧，与y轴交于点C（0，3），点P是直线BC上方的抛物线上一动点 （1）求这个二次函数的表达式； （2）连接PO、PC
4、，并把POC沿CO翻折，得到四边形POPC（如图1所示），那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请此时点P的坐标：若不存在，请说明理由； （3）当点P运动到什么位置时，四边形ABCP的面积最大，并求出其最大值 6、如图，抛物线与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BCx轴，垂足为点C(3，0). （1）求直线AB的函数关系式； （2）动点P在线段OC上从原点动身以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PNx轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N. 设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围； （3）设在（2）的条件下（不考
5、虑点P与点O，点C重合的状况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由 7、已知，在平面直角坐标系内始终线l1:y=-x+3分别与x轴、y轴交于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点，y轴右侧部分抛物线上有一动点C，过点C作y轴的平行线交直线l1于点D. （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，C在第一象限，求以CD为直径的E的最大面积，并推断此时E与抛物线的对称轴是否相切？若不相切，求出访得E与该抛物线对称轴相切时点C的横坐标； （3）坐标平面内是否存在点M，使B、C、D、M为顶点的四边形为菱形？若
6、存在，干脆写出点M的坐标；不存在，请说明理由. 8、如图，二次函数y=x2+3x+m的图象与x轴的一个交点为B(4,0)，另一个交点为A，且与y轴相交于C点 （1）求m的值及C点坐标； （2）在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M，使得它与B，C两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由 （3）P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q，当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标(干脆写出答案)； 9、如图，抛物线y=12x2x4与坐标轴相交于A、B、C三点，P是线段AB上一动点（端点除外），过P作PD/AC，交BC于点D，连接CP (1)干脆写出A、B、C的坐
7、标； (2)求抛物线y=12x2x4的对称轴和顶点坐标； (3)求PCD面积的最大值，并推断当PCD的面积取最大值时，以PA、PD为邻边的平行四边形是否为菱形 10、定义：对于抛物线yax2+bx+c（a、b、c是常数，a0），若b2ac，则称该抛物线为黄金抛物线例如：yx2x+1是黄金抛物线 （1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式； （2）将黄金抛物线yx2x+1沿对称轴向下平移3个单位 干脆写出平移后的新抛物线的解析式； 新抛物线如图所示，与x轴交于A、B（A在B的左侧），与y轴交于C，点P是直线BC下方的抛物线上一动点，连结PO、PC，并把POC沿CO翻折，得到四边形POPC，
8、那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，恳求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由 当直线BC下方的抛物线上动点P运动到什么位置时，四边形 OBPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形OBPC的最大面积 11、如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C(0,3)，与x轴分别交于点A，点B(3,0).点P是直线BC上方的抛物线上一动点. （1）求二次函数y=ax2+2x+c的表达式； （2）连接PO，PC，并把POC沿y轴翻折，得到四边形POPC.若四边形POPC为菱形，恳求出此时点P的坐标； （3）当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边
9、形ACPB的最大面积. 12、如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax22ax3a(a0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l：ykxb与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD4AC (1)求A，B两点的坐标及抛物线的对称轴； (2)求直线l的函数解析式(其中k，b用含a的式子表示)； (3)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若ACE的面积的最大值为，求a的值； (4)设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，干脆写出点P的坐标；若不能，请说明理由 13、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线（
10、）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC （1）干脆写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）； （2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若ACE的面积的最大值为，求a的值； （3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由 14、如图1，抛物线y=33x2+233x+3与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点经过点A的直线l与y轴交于点D（0，3） （1）求A、B两点的坐标及
11、直线l的表达式； （2）如图2，直线l从图中的位置动身，以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向运动，运动中直线l与x轴交于点E，与y轴交于点F，点A 关于直线l的对称点为A，连接FA、BA，设直线l的运动时间为t（t0）秒探究下列问题： 请干脆写出A的坐标（用含字母t的式子表示）； 当点A落在抛物线上时，求直线l的运动时间t的值，推断此时四边形ABEF的形态，并说明理由； （3）在（2）的条件下，探究：在直线l的运动过程中，坐标平面内是否存在点P，使得以P，A，B，E为顶点的四边形为矩形？若存在，请干脆写出点P的坐标； 若不存在，请说明理由 15、如图，已知抛物线与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1 （1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标 （2）动点M从点O动身，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O动身，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒 当t为何值时，四边形OMPN为矩形 当t0时，BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由