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1、等差数列学案等差数列3.1等差数列（其次课时，等差数列的性质）教学目的：1.明确等差中项的概念.2.进一步娴熟驾驭等差数列的通项公式及推导公式.教学重点：等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用教学难点：敏捷应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题一、复习引入1等差数列的定义；2等差数列的通项公式：（1），（2），（3）3有几种方法可以计算公差dd=d=d=二、讲解新课：问题：假如在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满意什么条件？由定义得A-=-A，即：反之，若，则A-=-A由此可可得：成等差数列。也就是说，A=是a,A,b成等差数列的充要条件定义：若，A，成等差数列，那么
2、A叫做与的等差中项。不难发觉，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。如数列：1，3，5，7，9，11，13中5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。留意到，由此揣测：性质：在等差数列中，若m+n=p+q，则，即m+n=p+q(m,n,p,qN)（以上结论由学生证明）但通常由推不出m+n=p+q，特例：等差数列an中，与首尾“等距离”的随意两项和相等.即三、例题例1在等差数列中，若+=9,=7,求,.分析：要求一个数列的某项，通常状况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必需知道这个数列中的至少一项和
3、公差，或者知道这个数列的随意两项（知道随意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式+=+=9入手（答案：=2,=32）例2等差数列中，+=12,且=80.求通项分析：要求通项，仍旧是先求公差和其中至少一项的问题。而已知两个条件均是三项复合关系式，欲求某项必需消元（项）或再构造一个等式出来。（答案：=10+3(n1)=3n13或=23(n1)=3n+5）例3在等差数列中,已知450,求及前9项和（）.提示：由双项关系式：2，2及450,得5450,易得2180.()()()()9810.例4已知a、b、c的倒数成等差数列，那么，a2(b+c),b2(c+a),
4、c2(a+b)是否成等差数列。分析：将a、b、c的成等差数列转化为a+c=2b，再探究a2(b+c)+b2(c+a)=c2(a+b)，即a2(b+c)+b2(c+a)-c2(a+b)=0是否成立.例5已知两个等差数列5，8，11，和3，7，11都有100项，问它们有多少公共项.分析：两个等差数列的相同的项按原来的前后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数.（答案：25个公共项）四、练习：1.在等差数列中，已知，求首项与公差2.在等差数列中,若求3.在等差数列中若，求五、作业：课本：P114习题3.27.10，11.精析精练P117智能达标训练等差数列教案 教学设计22.1等差数
5、列整体设计教学分析本节课将探究一类特别的数列等差数列本节课支配2课时，第1课时是在生活中详细例子的基础上引出等差数列的概念，接着用不完全归纳法归纳出等差数列的通项公式，最终依据这个公式去进行有关计算第2课时主要是让学生明确等差中项的概念，进一步娴熟驾驭等差数列的通项公式及其推导的公式，并能通过通项公式与图象相识等差数列的性质让学生明白一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，使学生学会用图象与通项公式的关系解决某些问题在学法上，引导学生去联想、探究，同时激励学生大胆质疑，学会探究在问题探究过程中，先从视察入手，发觉问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳方法进行摸索，提出猜想，最终采
6、纳证明方法(或举反例)来检验所提出的猜想其中例1是巩固定义，例2到例5是等差数列通项公式的敏捷运用在教学过程中，应遵循学生的认知规律，充分调动学生的主动性，尽可能让学生经验学问的形成和发展过程，激发他们的学习爱好，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位使学生相识到生活离不开数学，同样数学也是离不开生活的学会在生活中挖掘数学问题，解决数学问题，使数学生活化，生活数学化数列在整个中学数学内容中处于一个学问汇合点的地位，许多学问都与数列有着亲密联系，过去学过的数、式、方程、函数、简易逻辑等学问在这一章均得到了较为充分的应用，而学习数列又为后面学习数列与函数的极限等内容作了铺垫教材实行将代数、
7、几何打通的混编体系的主要目的是强化数学学问的内在联系，而数列正是在将各学问沟通方面发挥了重要作用因此本节内容是培育学生视察问题、启发学生思索问题的好素材三维目标1通过实例理解等差数列的概念，通过生活中的实例抽象出等差数列模型，让学生相识到这一类数列是现实世界中大量存在的数列模型同时经验由发觉几个详细数列的等差关系，归纳出等差数列的定义的过程2探究并驾驭等差数列的通项公式，由等差数列的概念，通过归纳或迭加或迭代的方式探究等差数列的通项公式通过与一次函数的图象类比，探究等差数列的通项公式的图象特征与一次函数之间的联系3通过对等差数列的探讨，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，渗透特别与一般的辩
8、证唯物主义观点，加强理论联系实际，激发学生的学习爱好重点难点教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式，等差中项及性质，会用公式解决一些简洁的问题教学难点：概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法，以及从函数、方程的观点看通项公式，并会解决一些相关的问题课时支配2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(干脆导入)老师引导学生先复习上节课学过的数列的概念以及通项公式，可有意识地在黑板上(或课件中)出示几个数列，如：数列1,2,3，数列0,0,0，数列0,2,4,6，等，然后干脆引导学生阅读教材中的实例，不知不觉中就已经进入了新课思路2.(类比导入)老师首先引导学生复习上节课所学的数列的概念及通项
9、公式，使学生明白我们现在要探讨的就是一列数由此我们联想：在初中我们学习了实数，探讨了它的一些运算与性质，那么我们能不能也像探讨实数一样，来探讨它的项与项之间的关系、运算和性质呢？由此导入新课推动新课新知探究提出问题1回忆数列的概念，数列都有哪几种表示方法？2阅读教科书本节内容中的3个背景实例，熟识生活中常见现象，写出由3个实例所得到的数列.3视察数列，它们有什么共同特点？4依据数列的特征，每人能再举出2个与其特征相同的数列吗？5什么是等差数列？怎样理解等差数列？其中的关键字词是什么？6数列存在通项公式吗？假如存在，分别是什么？7等差数列的通项公式是什么？怎样推导？活动：老师引导学生回忆上节课所
10、学的数列及其简洁表示法列表法、通项公式、递推公式、图象法，这些方法从不同角度反映了数列的特点然后引导学生阅读教材中的实例模型，指导学生写出这3个模型的数列：22,22.5,23,23.5,24,24.5，；2,9,16,23,30；89,83,77,71,65,59,53,47.这是由日常生活中常常遇到的实际问题中得到的数列视察这3个数列发觉，每个数列中相邻的后项减前项都等于同一个常数当然这里我们是拿后项减前项，其实前项减后项也是一个常数，为了后面内容的学习便利，这个依次不能颠倒至此学生会相识到，具备这个特征的数列模型在生活中有许多，如上节提到的堆放钢管的数列为100,99,98,97，某体育
11、场一角的看台的座位排列：第一排15个座位，向后依次为17,19,21,23，等等以上这些数列的共同特征是：从第2项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等差)这就是我们这节课要探讨的主要内容老师先让学生试着用自己的语言描述其特征，然后给出等差数列的定义等差数列的定义：一般地，假如一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示老师引导学生理解这个定义：这里公差d肯定是由后项减前项所得，若前项减后项则为d，这就是为什么前面3个模型的分析中总是说后项减前项而不说前项减后项的缘由明显3个模型数列都是等差数列，公差依
12、次为0.5,7，6.老师进一步引导学生分析等差数列定义中的关键字是什么？(学生在学习中常常遇到一些概念，能否抓住定义中的关键字，是能否正确、深化地理解和驾驭概念的重要条件，这是学好数学及其他学科的重要一环因此老师应当教会学生如何深化理解一个概念，以培育学生分析问题、相识问题的实力)这里“从其次项起”和“同一个常数”是等差数列定义中的核心部分用递推公式可以这样描述等差数列的定义：对于数列an，若anan1d(d是与n无关的常数或字母)，n2，nN*，则此数列是等差数列这是证明一个数列是等差数列的常用方法点拨学生留意这里的“n2”，若n包括1，则数列是从第1项向前减，明显无从减起若n从3起先，则会
13、漏掉a2a1的差，这也不符合定义，如数列1,3,4,5,6，明显不是等差数列，因此要从意义上深刻理解等差数列的定义老师进一步引导学生探究数列的通项公式，学生依据已经学过的数列通项公式的定义，视察每一数列的项与序号之间的关系会很快写出：an21.50.5n，an7n5，an6n95.以上这几个通项公式有共同的特点，无论是在求解方法上，还是在所求的结果方面都存在很多共性老师点拨学生探求，对随意等差数列a1，a2，a3，an，依据等差数列的定义都有：a2a1d，a3a2d，a4a3d，所以a2a1d，a3a2d(a1d)da12d，a4a3d(a12d)da13d.学生很简单猜想出等差数列的通项公式
14、ana1(n1)d后，老师适时点明：我们归纳出的公式只是一个猜想，严格的证明须要用到后面的其他学问老师可就此进一步点拨学生：数学猜想在数学领域中是很重要的思索方法，后面还要特地探究它数学中有许多闻名的猜想，如哥德巴赫猜想常被称为数学皇冠上的明珠，对于它的证明中国已处于世界领先地位许多闻名的数学结论都是从猜想起先的但要留意，数学猜想仅是一种数学想象，在未得到严格的证明前不能当作正确的结论来用这里我们归纳猜想的等差数列的通项公式ana1(n1)d是经过严格证明白的，只是现在我们学问受限，无法证明，所以说我们先承认它激励学生只要创新探究，独立思索，也会有自己的新颖发觉老师依据教学实际状况，也可引导学
15、生得出等差数列通项公式的其他推导方法例如：方法一(叠加法)：an是等差数列，anan1d，an1an2d，an2an3d，a2a1d.两边分别相加得ana1(n1)d，所以ana1(n1)d，方法二(迭代法)：an是等差数列，则有anan1d，an2ddan22dan3d2dan33da1(n1)d.所以ana1(n1)d.探讨结果：(1)(4)略(5)假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列其中关键词为“从第2项起”、“等于同一个常数”(6)三个数列都有通项公式，它们分别是：an21.50.5n，an7n5，an6n95.(7)可用叠加法和迭
16、代法推导等差数列的通项公式：ana1(n1)d.应用示例例1(教材本节例2)活动：本例的目的是让学生熟识公式，使学生从中体会公式与方程之间的联系教学时要使学生相识到等差数列的通项公式其实就是一个关于an、a1、d、n(独立的量有3个)的方程，以便于学生能把方程思想和通项公式相结合，解决等差数列问题本例中的(2)是推断一个数是否是某等差数列的项这个问题可以看作(1)的逆问题须要向学生说明的是，求出的项数为正整数，所给数就是已知数列中的项，否则，就不是已知数列中的项本例可由学生自己独立解决，也可做板演之用，老师只是对有困难的学生赐予恰当点拨点评：在数列中，要让学生明确解方程的思路变式训练(1)10
17、0是不是等差数列2,9,16，的项，假如是，是第几项？假如不是，请说明理由；(2)20是不是等差数列0，312，7，的项，假如是，是第几项？假如不是，请说明理由解：(1)由题意，知a12，d927.因而通项公式为an2(n1)77n5.令7n5100，解得n15，所以100是这个数列的第15项(2)由题意可知a10，d312，因而此数列的通项公式为an72n72.令72n7220，解得n477.因为72n7220没有正整数解，所以20不是这个数列的项 例2一个等差数列首项为125，公差d0，从第10项起每一项都比1大，求公差d的范围活动：老师引导学生视察题意，思索条件“从第10项起每一项都比1
18、大”的含义，应转化为什么数学条件？是否仅是a101呢？d0的条件又说明什么？老师可让学生合作探究，放手让学生探讨，不要怕学生出错解：d0，设等差数列为an，则有a1a2a3a9a10a11，由题意，得1a10a11，a1a2a91，即a101a91?125101d1，12591d1，解得875d325.点评：本例学生很简单解得不完整，解完此题后让学生反思解题过程本题主要训练学生敏捷运用等差数列的通项公式以及对公差的深刻理解 变式训练在数列an中，已知a11，1an11an13(nN*)，求a50.解：已知条件可化为1an11an13(nN*)，由等差数列的定义，知1an是首项为1a11，公差为
19、d13的等差数列，1a501(501)13523.a50352. 例3已知数列an的通项公式anpnq，其中p、q是常数，那么这个数列是否肯定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？活动：要判定an是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，依据anan1(n1)是不是一个与n无关的常数这事实上给出了推断一个数列是否是等差数列的一个方法：假如一个数列的通项公式是关于正整数的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列因而把等差数列通项公式与一次函数联系了起来本例设置的“旁注”，目的是为了揭示等差数列通项公式的结构特征：对于通项公式形如anpnq的数列，肯定是等差数列，一次项系数p就是这个等差数列的公差，
20、首项是pq.因此可以深化学生对等差数列的理解，同时还可以从多个角度去看待等差数列的通项公式，有利于以后更好地把握等差数列的性质在教学时老师要依据学生解答的状况，点明这点解：当n2时，取数列an中的随意相邻两项an1与an(n2)anan1(pnq)p(n1)qpnq(pnpq)p为常数，所以an是等差数列，首项a1pq，公差为p.点评：(1)若p0，则an是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，.(2)若p0，则an是关于n的一次式，从图象上看，表示数列的各点(n，an)均在一次函数ypxq的图象上，一次项的系数是公差p，直线在y轴上的截距为q.(3)数列an为等差数列的充要条件是其通项a
21、npnq(p、q是常数)，称其为第3通项公式变式训练已知数列的通项公式an6n1.问这个数列是等差数列吗？若是等差数列，其首项与公差分别是多少？解：an1an6(n1)1(6n1)6(常数)，an是等差数列，其首项为a16115，公差为6.点评：该训练题的目的是进一步熟识例3的内容须要向学生强调，若用anan1d，则必需强调n2这一前提条件，若用an1and，则可不对n进行限制 知能训练1(1)求等差数列8,5,2，的第20项；(2)401是不是等差数列5，9，13，的项？假如是，是第几项？2求等差数列3,7,11，的第4项与第10项答案：1解：(1)由a18，d583，n20，得a208(2
22、01)(3)49.(2)由a15，d9(5)4，得这个数列的通项公式为an54(n1)4n1.由题意知，本题是要回答是否存在正整数n，使得4014n1成立解这个关于n的方程，得n100，即401是这个数列的第100项2解：依据题意可知a13，d734.该数列的通项公式为an3(n1)4，即an4n1(n1，nN*)a444115，a10410139.课堂小结1先由学生自己总结回顾这节课都学习了哪些学问？要留意的是什么？都用到了哪些数学思想方法？你在这节课里最大的收获是什么？2老师进一步集中强调，本节学习的重点内容是等差数列的定义及通项公式，等差数列的基本性质是“等差”这是我们探讨有关等差数列的
23、主要动身点，是推断、证明一个数列是否为等差数列和解决其他问题的一种基本方法，要留意这里的“等差”是对随意相邻两项来说的作业习题22A组1、2.设计感想本教案设计突出了重点概念的教学，突出了等差数列的定义和对通项公式的相识与应用等差数列是特别的数列，定义恰恰是其特别性也是本质属性的精确反映和高度概括，精确地把握定义是正确相识等差数列，解决相关问题的前提条件通项公式是项与项数的函数关系，是探讨一个数列的重要工具因为等差数列的通项公式的结构与一次函数的解析式亲密相关，因此通过函数图象探讨数列性质成为可能本教案设计突出了教法学法与新课程理念的接轨，引导综合运用视察、归纳、猜想、证明等方法探讨数学，这是
24、一种特别重要的学习方法；在问题探究求解中，经常是先从视察入手，发觉问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳方法进行摸索，提出猜想，最终采纳证明方法(或举反例)来检验所提出的猜想本教案设计突出了发散思维的训练通过一题多解，多题一解的训练，比较优劣，换个角度视察问题，这是数学发散思维的基本素养只有在学习过程中有意识地将学问迁移、组合、融合，激发新奇心，体验多样性，学懂学透，融会贯穿，创新思维才能与日俱增(设计者：周长峰) 第2课时导入新课思路1.(复习导入)上一节课我们探讨了数列中的一个重要概念等差数列的定义，让学生回忆这个定义，并举出几个等差数列的例子接着老师引导学生探究自己所举等差数列例
25、子中项与项之间有什么新的发觉？比如，在同一个等差数列中，与某一项“距离”相等的两项的和会是什么呢？由此绽开新课思路2.(干脆导入)老师先引导学生回顾上一节所学的内容：等差数列的定义以及等差数列的通项，之后干脆提出等差中项的概念让学生探究，由此而绽开新课推动新课新知探究提出问题1请学生回忆上节课学习的等差数列的定义，如何证明一个数列是等差数列？2等差数列的通项公式是怎样得出来的？它与一次函数有什么关系？3什么是等差中项？怎样求等差中项？4依据等差中项的概念，你能探究出哪些重要结论呢？活动：借助课件，老师引导学生先回忆等差数列的定义，一般地，假如一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常
26、数，即anan1d(n2，nN*)，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(通常用字母“d”表示)再一起回顾通项公式，等差数列an有两种通项公式：anam(nm)d或anpnq(p、q是常数)由上面的两个公式我们还可以得到下面几种计算公差d的方法：danan1；dana1n1；danamnm.对于通项公式的探究，我们用归纳、猜想得出了通项公式，后又用叠加法及迭代法推导了通项公式老师指导学生阅读课本等差中项的概念，引导学生探究：假如我们在数a与数b中间插入一个数A，使三个数a，A，b成等差数列，那么数A应满意什么样的条件呢？由定义可得AabA，即Aab2.反之，若Aab2，则Aab
27、A，由此可以得Aab2?a，A，b成等差数列由此我们得出等差中项的概念：假如三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项假如A是x和y的等差中项，则Axy2.依据我们前面的探究不难发觉，在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项如数列：1,3,5,7,9,11,13中5是3与7的等差中项，也是1和9的等差中项9是7和11的等差中项，也是5和13的等差中项等差中项及其应用问题的解法关键在于抓住a，A，b成等差数列?2Aab，以促成将等差数列转化为目标量间的等量关系或干脆由a，A，b间的关系证得a，A，b成等差数列依据等差中项的概念我们来
28、探究这样一个问题：如上面的数列1,3,5,7,9,11,13，中，我们知道2a5a3a7a1a9a2a8，那么你能发觉什么规律呢？再验证一下，结果有a2a10a3a9a4a8a5a72a6.由此我们猜想这个规律可推广到一般，即在等差数列an中，若m、n、p、qN*且mnpq，那么amanapaq，这个猜想与上节的等差数列的通项公式的猜想方法是一样的，是我们归纳出来的，没有严格证明，不能说它就肯定是正确的让学生进一步探究怎样证明它的正确性呢？只要运用通项公式加以转化即可设首项为a1，则amana1(m1)da1(n1)d2a1(mn2)d，apaqa1(p1)da1(q1)d2a1(pq2)d.
29、因为我们有mnpq，所以上面两式的右边相等，所以amanapaq.由此我们的一个重要结论得到了证明：在等差数列an的各项中，与首末两项等距离的两项的和等于首末两项的和另外，在等差数列中，若mnpq，则上面两式的右边相等，所以amanapaq.同样地，我们还有：若mn2p，则aman2ap.这也是等差中项的内容我们自然会想到由amanapaq能不能推出mnpq呢？举个反例，这里举个常数列就可以说明结论不成立这说明在等差数列中，amanapaq是mnpq成立的必要不充分条件由此我们还进一步推出an1andan2an1，即2an1anan2，这也是证明等差数列的常用方法同时我们通过这个探究过程明白：
30、若要说明一个猜想正确，必需经过严格的证明，若要说明一个猜想不正确，仅举一个反例即可探讨结果：(1)(2)略(3)假如三个数x，A，y成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，且Axy2.(4)得到两个重要结论：在数列an中，若2an1anan2(nN*)，则an是等差数列在等差数列中，若mnpq(m、n、p、qN*)，则amanapaq.应用示例例1在等差数列an中，若a1a69，a47，求a3，a9.活动：本例是一道基本量运算题，运用方程思想可由已知条件求出a1，d，进而求出通项公式an，则a3，a9不难求出应要求学生驾驭这种解题方法，理解数列与方程的关系解：由已知，得a1a15d9，a13d
31、7，解得a18，d5.通项公式为ana1(n1)d85(n1)5n13.a32，a932.点评：本例解法是数列问题的基本运算，应要求学生娴熟驾驭，当然对学有余力的同学来说，老师可引导探究一些其他解法，如a1a6a4a39.a39a4972.由此可得da4a3725a9a45d32.点评：这种解法奇妙，技巧性大，需对等差数列的定义及重要结论有深刻的理解变式训练已知数列an对随意的p，qN*满意apqapaq，且a26，那么a10等于()A165B33C30D21答案：C解析：依题意知，a2a1a12a1，a112a23，an1ana1an3，可知数列an是等差数列，a10a19d39330. 例
32、2(教材本节例5)活动：本例是等差数列通项公式的敏捷运用正如边注所说，相当于已知直线过点(1,17)，斜率为0.6，求直线在x轴下方的点的横坐标的取值范围可放手让学生完成本例变式训练等差数列an的公差d0，且a2a412，a2a48，则数列an的通项公式是()Aan2n2(nN*)Ban2n4(nN*)Can2n12(nN*)Dan2n10(nN*)答案：D解析：由题意知a2a412a2a48d0?a26a42?a18，d2，所以由ana1(n1)d，得an8(n1)(2)2n10. 例3已知a、b、c成等差数列，那么a2(bc)，b2(ca)，c2(ab)是否成等差数列？活动：老师引导学生思
33、索a、b、c成等差数列可转化为什么形式的等式？本题的关键是考察在ac2b的条件下，是否有以下结果：a2(bc)c2(ab)2b2(ac)老师可让学生自己探究完成，必要时赐予恰当的点拨解：a、b、c成等差数列，ac2b.又a2(bc)c2(ab)2b2(ca)a2ba2cac2bc22b2c2ab2(a2b2ab2)(bc22b2c)(a2cac2)ab(a2b)bc(c2b)ac(ac)abcabc2abc0，a2(bc)c2(ab)2b2(ac)a2(bc)，b2(ca)，c2(ab)成等差数列点评：假如a、b、c成等差数列，常转化为ac2b的形式，反之，假如求证a、b、c成等差数列，常改证
34、ac2b.有时还需运用一些等价变形技巧，才能获得胜利例4在1与7之间顺次插入三个数a、b、c，使这五个数成等差数列，求此数列活动：老师引导学生从不同角度加以考虑：一是利用等差数列的定义与通项；一是利用等差中项加以处理让学生自己去探究，老师一般不要赐予提示，对个别探究有困难的学生可适时地给以点拨、提示解：(方法一)设这些数组成的等差数列为an，由已知，a11，a57，71(51)d，即d2.所求的数列为1,1,3,5,7.(方法二)1，a，b，c,7成等差数列，b是1,7的等差中项，a是1，b的等差中项，c是b,7的等差中项，即b1723，a1b21，cb725.所求数列为1,1,3,5,7.点
35、评：通过此题可以看出，应多角度思索，多角度视察，正像前面所提出的那样，尽量换个角度看问题，以开阔视野，培育自己求异发散的思维实力变式训练数列an中，a32，a71，且数列1an1是等差数列，则a11等于()A25B.12C.23D5答案：B解析：设bn1an1，则b313，b712，因为1an1是等差数列，可求得公差d124，所以b11b7(117)d23，即a111b11112. 例5某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4千米(不含4千米)计费10元假如某人乘坐该市的出租车前往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，须要支付多少元的车费？活动：老师引导学生从实
36、际问题中建立数学模型在这里也就是建立等差数列的数学模型引导学生找出首项和公差，利用等差数列通项公式的学问解决实际问题解：依据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客须要支付1.2元所以，我们可以建立一个等差数列an来计算车费令a111.2表示4km处的车费，公差d1.2，那么，当出租车行至14km处时，n11，此时须要支付车费a1111.2(111)1.223.2(元)答：须要支付车费23.2元点评：本例中令a111.2，这点要引起学生留意，这样一来，前往14km处的目的地就相当于n11，这点极简单弄错知能训练 1已知等差数列an中，a1a3a5a74，则a2a4a6等于
37、()A3B4C5D62在等差数列an中，已知a12，a2a313，则a4a5a6等于()A40B42C43D45答案：1解析：由a1a3a5a74，知4a44，即a41.a2a4a63a43.答案：A2解析：a2a313，2a13d13.a12，d3.而a4a5a63a53(a14d)42.答案：B课堂小结1先由学生自己总结回顾这节课都学习了哪些学问？要留意的是什么？都用到了哪些数学思想方法？你是如何通过旧学问来获得新学问的？你在这节课里最大的收获是什么？2老师进一步画龙点睛，本节课我们在上节课的基础上又推出了两个很重要的结论，一个是等差数列的证明方法，一个是等差数列的性质，要留意这些重要结论
38、的敏捷运用作业课本习题22A组5、6、7.设计感想本教案是依据课程标准、学生的认知特点而设计的，设计的活动主要都是学生自己完成的特殊是上节课通项公式的归纳、猜想给学生留下了很深的记忆；本节课只是接着对等差数列进行这方面的探究本教案除了支配教材上的两个例题外，还针对性地选择了既具有典型性又具有启发性的几道例题及变式训练为了学生的课外进一步探究，在备课资料中摘选了部分备用例题及备用习题，目的是让学生对等差数列的有关学问作进一步拓展探究，以开阔学生的视野本教案的设计意图还在于，加强数列与函数的联系这不仅有利于学问的融会贯穿，加深对数列的理解，运用函数的观点和方法解决有关数列的问题，而且反过来可使学生
39、对函数的相识深化一步，让学生体会到数学是好玩的，探究是愉悦的，归纳猜想是令人激昂的，借此激发学生的数学学习爱好备课资料一、备用例题【例1】梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度解：设an表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知条件，可知a133，a12110，n12，所以a12a1(121)d，即得1103311d，解之，得d7.因此a233740，a340747，a454，a561，a668，a775，a882，a989，a1096，a11103.答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm
40、，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.【例2】已知1a，1b，1c成等差数列，求证：bca，cab，abc也成等差数列证明：因为1a，1b，1c成等差数列，所以2b1a1c，化简得2acb(ac)，所以有bcaabcbcc2a2abacbaca2c2ac2aca2c2acac2acac2bac22acb.因而bca，cab，abc也成等差数列【例3】设数列anbn都是等差数列，且a135，b175，a2b2100，求数列anbn的第37项的值分析：由数列anbn都是等差数列，可得anbn是等差数列，故可求出数列anbn的公差和通项解：设数列anbn的公差分别为d1，d
41、2，则(an1bn1)(anbn)(an1an)(bn1bn)d1d2为常数，所以可得anbn是等差数列设其公差为d，则公差d(a2b2)(a1b1)100(3575)10.因而a37b3711010(371)250.所以数列anbn的第37项的值为250.点评：若一个数列未告知我们是等差数列时，应先由定义法判定它是等差数列后，方可运用通项公式ana1(n1)d.但对客观试题则可以干脆运用某些重要结论，干脆判定数列是否为等差数列二、备用习题1已知等差数列an中，a7a916，a41，则a12的值是()A15B30C31D642在数列an中3an13an2(nN*)，且a2a4a7a920，则a
42、10为()A5B7C8D103在等差数列an中，a13a8a15120，则3a9a11的值为()A6B12C24D484已知方程(x22xm)(x22xn)0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|mn|等于()A1B.34C.12D.385在等差数列an中，a53，a62，则a4a5a10_.6已知a、b、c成等差数列，且a、b、c三数之和为15，若a2，b29，c2也成等差数列，求a、b、c.7设1ab，1ac，1bc成等差数列，求证：a2，b2，c2也成等差数列8成等差数列的四个数之和为26，其次数与第三数之积为40，求这四个数9有一批影碟机(VCD)原销售价为每台800元，在甲、乙两
43、家家电商场均有销售甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所买各台单价均削减20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售某单位需购买一批此类影碟机，问去哪一家商场购买花费较少？参考答案：1A方法一：a7a9a4a12，a1215.方法二：数列an成等差数列，a7a92a8.a88.又a4，a8，a12成等差数列，公差da8a47.a12a8d8715.2C由已知得an1an23，an是首项为a1，公差d23的等差数列a2a4a7a94a118d20，解得a12，a10223(101)8.3Da1a152a8，a13a8a155
44、a8120.a824.而3a9a113(a18d)(a110d)2a114d2(a17d)2a848.4C设a114，a214d，a3142d，a4143d，而方程x22xm0中的两根之和为2，方程x22xn0中的两根之和也是2，a1a2a3a416d4.d12.a114，a474是一个方程的两个根，a234，a354是另一个方程的两个根716，1516为m或n.|mn|12.5496解：由已知得2bac，abc15，2b29a2c2，解之，得a8，b5，c2，或a2，b5，c8.7证明：由已知得1ab1bc21ac，化简得a2c22b2，a2，b2，c2成等差数列8解：设这四个数为a3d，ad，ad，a3d，则由题设得a3dadada3d26，adad40，解得a132，d32，或a132，d32.所求四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.9解：设某单位需购买影碟机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元时，售价依台数n成等差数列anan780(n1)(20)80020n，解不等式an440,80020n440，得n18.当购买台数小于18时，每台售价为8002n元，在台数大于或等于18时，每台售价440元到乙商场购买，每台售价为80075%600(元)，作差(80020n)n600n20n(10n)，当n10时，600n(80020