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1、第三章导数及其应用第 1 讲变化率与导数、导数的运算一、选择题1 设函数f(x)是 R 上以 5 为周期的可导偶函数，则曲线yf(x)在x5 处的切线的斜率为()A15B0C.15D5解析因为f(x)是 R 上的可导偶函数，所以f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)在x0 处取得极值，即f(0)0，又f(x)的周期为 5，所以f(5)0，即曲线yf(x)在x5 处的切线的斜率为 0，选 B.答案B2函数 f(x)是定义在(0，)上的可导函数，且满足 f(x)0，xf(x)f(x)b，则必有()Aaf(b)bf(a)Bbf(a)af(b)Caf(a)f(b)Dbf(b)0)，F(x)xfxfx
2、x2，由条件知 F(x)b0，faafbb，即 bf(a)0)，则 f(2)的最小值为()A1232B128a1aC88a2aD16解析f(2)88a2a，令 g(a)88a2a，则 g(a)82a2，由 g(a)0得 a12，由 g(a)0 得 0a12，a12时 f(2)有最小值f(2)的最小值为 881221216.故选 D.答案D4 已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)lnx，则f(1)()AeB1C1De解析由f(x)2xf(1)lnx，得f(x)2f(1)1x，f(1)2f(1)1，则f(1)1.答案B5 等比数列an中，a12，a84，函数f(x)x(x
3、a1)(xa2)(xa8)，则f(0)()A26B29C212D215解析函数f(x)的展开式含x项的系数为a1a2a8(a1a8)484212，而f(0)a1a2a8212，故选 C.答案C6已知函数 f(x)，g(x)分别是二次函数 f(x)和三次函数 g(x)的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示，设函数 h(x)f(x)g(x)，则()Ah(1)h(0)h(1)Bh(1)h(1)h(0)Ch(0)h(1)h(1)Dh(0)h(1)h(1)解析由图象可知 f(x)x，g(x)x2，则 f(x)12x2m，其中 m 为常数，g(x)13x3n，其中 n 为常数，则 h(x)12x213
4、x3mn，得 h(0)h(1)h(1)答案D二、填空题7曲线 yx(3ln x1)在点(1,1)处的切线方程为_解析yx(3ln x1)，y3ln x1x3x3ln x4，ky|x14，所求切线的方程为 y14(x1)，即 y4x3.答案y4x38若过原点作曲线yex的切线，则切点的坐标为_，切线的斜率为_解析yex，设切点的坐标为(x0，y0)则y0 x0ex0，即ex0 x0ex0，x01.因此切点的坐标为(1，e)，切线的斜率为 e.答案(1，e)e9已知函数f(x)在 R 上满足f(x)2f(2x)x28x8，则曲线yf(x)在x1 处的导数f(1)_.解析f(x)2f(2x)x28x
5、8，x1 时，f(1)2f(1)188，f(1)1，即点(1,1)，在曲线yf(x)上又f(x)2f(2x)2x8，x1 时，f(1)2f(1)28，f(1)2.答案210同学们经过市场调查，得出了某种商品在 2011 年的价格 y(单位：元)与时间t(单位：月)的函数关系为：y2t220t(1t12)，则 10 月份该商品价格上涨的速度是_元/月解析y2t220t(1t12)，y2t220t 2t220t t220tt220t20t240tt220t2.由导数的几何意义可知 10 月份该商品的价格的上涨速度应为 y|t104010102201023.因此 10 月份该商品价格上涨的速度为 3
6、 元/月答案3三、解答题11求下列函数的导数：(1)y(2x1)n，(nN*)；(2)yln(x 1x2)；(3)yex1ex1；(4)y2xsin(2x5)解(1)yn(2x1)n1(2x1)2n(2x1)n1.(2)y1x 1x212x2 1x211x2.(3)yex1ex112ex1y2exex12.(4)y2sin(2x5)4xcos(2x5)12设函数f(x)x32ax2bxa，g(x)x23x2，其中xR，a、b为常数，已知曲线yf(x)与yg(x)在点(2,0)处有相同的切线l.(1)求a、b的值，并写出切线l的方程；(2)若方程f(x)g(x)mx有三个互不相同的实根 0、x1
7、、x2，其中x1x2，且对任意的xx1，x2，f(x)g(x)0m14；又对任意的xx1，x2，f(x)g(x)m(x1)恒成立，特别地，取xx1时，f(x1)g(x1)mx1m成立，即 0mm0，x1x22m0，故 0 x10，则f(x)g(x)mxx(xx1)(xx2)0；又f(x1)g(x1)mx10，所以函数在xx1，x2上的最大值为 0，于是当m0 时对任意的xx1，x2，f(x)g(x)m(x1)恒成立综上：m的取值范围是14，013设函数 f(x)axbx，曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 7x4y120.(1)求 f(x)的解析式；(2)证明：曲线 yf(x)上
8、任一点处的切线与直线 x0 和直线 yx 所围成的三角形面积为定值，并求此定值(1)解方程 7x4y120 可化为 y74x3，当 x2 时，y12.又 f(x)abx2，于是2ab212，ab474，解得a1，b3.故 f(x)x3x.(2)证明设 P(x0，y0)为曲线上任一点，由 f(x)13x2知，曲线在点 P(x0，y0)处的切线方程为 yy013x20(xx0)，即 yx03x013x20(xx0)令 x0 得，y6x0，从而得切线与直线 x0 交点坐标为0，6x0.令 yx，得 yx2x0，从而得切线与直线 yx 的交点坐标为(2x0,2x0)所以点 P(x0，y0)处的切线与直
9、线 x0，yx 所围成的三角形面积为12|6x0|2x0|6.故曲线 yf(x)上任一点处的切线与直线 x0 和直线 yx 所围成的三角形面积为定值，此定值为 6.14设 f(x)ln(x1)x1axb(a，bR，a，b，为常数)，曲线 yf(x)与直线 y32x 在(0,0)点相切(1)求 a，b 的值；(2)证明：当 0 x2 时，f(x)0 时，2 x11x11x2，故 x1x21.记 h(x)f(x)9xx6，则h(x)1x112 x154x622 x12x154x62x64x154x62x63216x14x1x62.令 g(x)(x6)3216(x1)，则当 0 x2 时，g(x)3(x6)22160.因此 g(x)在(0,2)内是递减函数，又由 g(0)0，得 g(x)0，所以 h(x)0.因此 h(x)在(0,2)内是递减函数，又 h(0)0，得 h(x)0.于是当 0 x2 时，f(x)9xx6.