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1、1江苏省南通市江苏省南通市 20152015 年中考数学试卷及答案解析年中考数学试卷及答案解析一.选择题（每小题 3 分，共 30 分，四个选项只有一个是符合题意的）1（3 分）（2015南通）如果水位升高 6m 时水位变化记作+6m，那么水位下降 6m 时水位变化记作（）A3mB3mC6mD6m考点：正数和负数分析：首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答解答：解：因为上升记为+，所以下降记为，所以水位下降 6m 时水位变化记作6m故选：D点评：考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为
2、正，则另一个就用负表示2（3 分）（2015南通）下面四个几何体中，俯视图是圆的几何体共有（）A1 个B2 个C3 个D4 个考点：简单几何体的三视图.分析：根据俯视图是从上面看所得到的图形判断即可解答：解：从上面看，三棱柱的俯视图为三角形；圆柱的俯视图为圆；四棱锥的俯视图是四边形；球的俯视图是圆；俯视图是圆的几何体共有 2 个故选：B点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图3（3 分）（2015南通）据统计：2014 年南通市在籍人口总数约为 7700000 人，将 7700000用科学记数法表示为（）A0.77107B7.7107C0.77106D7.7106考点：科
3、学记数法表示较大的数.分析：2科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数解答：解：将 7700000 用科学记数法表示为 7.7106故选 D点评：此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值4下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）ABCD考点：中心对称图形；轴对称图形.分析：根据轴对称图形与中心对
4、称图形的概念求解解答：解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故 A 正确；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故 B 错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故 C 错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故 D 错误故选：A点评：本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念 轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合5（3 分）（2015南通）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A5，6，10B5，6，11C3，4，8D4a，4a，8a（a0）考点：三角形三边关系.分析：根据三角形
5、的三边关系对各选项进行逐一分析即可解答：解：A、105610+5，三条线段能构成三角形，故本选项正确；B、115=6，三条线段不能构成三角形，故本选项错误；C、3+4=78，三条线段不能构成三角形，故本选项错误；D、4a+4a=8a，三条线段不能构成三角形，故本选项错误3故选 A点评：本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边差小于第三边是解答此题的关键6（3 分）（2015南通）如图，在平面直角坐标系中，直线 OA 过点（2，1），则 tan的值是（）ABCD2考点：解直角三角形；坐标与图形性质.分析：设（2，1）点是 B，作 BCx 轴于点 C，根据三角函数的
6、定义即可求解解答：解：设（2，1）点是 B，作 BCx 轴于点 C则 OC=2，BC=1，则 tan=故选 C点评：本题考查了三角函数的定义，理解正切函数的定义是关键7（3 分）（2015南通）在一个不透明的盒子中装有 a 个除颜色外完全相同的球，这 a 个球中只有 3 个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出 1 个球记下颜色再放回盒子通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在 20%左右，则 a 的值约为（）A12B15C18D21考点：利用频率估计概率.分析：4在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解解答：解：由题意可得，100
7、%=20%，解得，a=15故选：B点评：本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率 关键是根据红球的频率得到相应的等量关系8（3 分）（2015南通）关于 x 的不等式 xb0 恰有两个负整数解，则 b 的取值范围是（）A3b2B3b2C3b2D3b2考点：一元一次不等式的整数解.分析：表示出已知不等式的解集，根据负整数解只有1，2，确定出 b 的范围即可解答：解：不等式 xb0，解得：xb，不等式的负整数解只有两个负整数解，3b2故选 D点评：此题考查了一元一次不等式的整数解，弄清题意是解本题的关键9（3 分）（2015南通）在 20km 越野赛中，甲乙两选手的行程 y（单位：km）随
8、时间 x（单位：h）变化的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：两人相遇前，甲的速度小于乙的速度；出发后 1 小时，两人行程均为 10km；出发后 1.5 小时，甲的行程比乙多 3km；甲比乙先到达终点其中正确的有（）A1 个B2 个C3 个D4 个考点：一次函数的应用.5分析：根据题目所给的图示可得，两人在 1 小时时相遇，行程均为 10km，出发 0.5 小时之内，甲的速度大于乙的速度，0.5 至 1 小时之间，乙的速度大于甲的速度，出发 1.5 小时之后，乙的路程为 15 千米，甲的路程为 12 千米，乙比甲先到达终点解答：解：由图可得，两人在 1 小时时相遇，行程均为 10km
9、，故正确；出发 0.5 小时之内，甲的速度大于乙的速度，0.5 至 1 小时之间，乙的速度大于甲的速度，故错误；出发 1.5 小时之后，乙的路程为 15 千米，甲的路程为 12 千米，乙的行程比甲多 3km，故错误；乙比甲先到达终点，故错误正确的只有故选 A点评：本题考查了一次函数的应用，行程问题的数量关系速度=路程后时间的运用，解答时理解函数的图象的含义是关键10（3 分）（2015南通）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，弦 AD 平分BAC，交 BC 于点 E，AB=6，AD=5，则 AE 的长为（）A2.5B2.8C3D3.2考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理.
10、分析：连接 BD、CD，由勾股定理先求出 BD 的长，再利用ABDBED，得出=，可解得 DE 的长，由 AE=ABDE 求解即可得出答案解答：解：如图 1，连接 BD、CD，AB 为O 的直径，6ADB=90，BD=，弦 AD 平分BAC，CD=BD=，CBD=DAB，在ABD 和BED 中，ABDBED，=，即=，解得 DE=，AE=ABDE=5=2.8点评：此题主要考查了三角形相似的判定和性质及圆周角定理，解答此题的关键是得出ABDBED二.填空题（每小题 3 分，共 24 分）11（3 分）（2015南通）因式分解 4m2n2=（2m+n）（2mn）考点：因式分解-运用公式法.专题：计
11、算题分析：原式利用平方差公式分解即可解答：解：原式=（2m+n）（2mn）故答案为：（2m+n）（2mn）点评：此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键12（3 分）（2015南通）已知方程 2x2+4x3=0 的两根分别为 x1 和 x2，则 x1+x2 的值等于2考点：根与系数的关系.分析：根据两根之和等于一次项系数与二次项系数商的相反数作答即可解答：解：方程 2x2+4x3=0 的两根分别为 x1 和 x2，x1+x2=2，故答案为：2点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握两根之和等于一次项系数与二次项系数商的相反数，两根之积等于常数项除二次项系数是解题的关键1
12、3（3 分）（2015南通）计算（xy）2x（x2y）=y27考点：整式的混合运算.分析：根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算即可解答：解：（xy）2x（x2y）=x22xy+y2x2+2xy=y2点评：本题考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键，计算时要注意符号的处理14（3 分）（2015南通）甲乙两人 8 次射击的成绩如图所示（单位：环）根据图中的信息判断，这 8 次射击中成绩比较稳定的是甲（填“甲”或“乙”）考点：方差；折线统计图.分析：根据方差的意义：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立观察图中的信息可知小
13、华的方差较小，故甲的成绩更加稳定解答：解：由图表明乙这 8 次成绩偏离平均数大，即波动大，而甲这 8 次成绩，分布比较集中，各数据偏离平均小，方差小，则 S 甲 2S 乙 2，即两人的成绩更加稳定的是甲故答案为：甲点评：本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定15（3 分）（2015南通）如图，在O 中，半径 OD 垂直于弦 AB，垂足为 C，OD=13cm，AB=24cm，则 CD=8cm考点：垂径定理；勾股定理.分析：根据垂
14、径定理，可得 AC 的长，根据勾股定理，可得 OC 的长，根据线段的和差，可得答案8解答：解：由垂径定理，得AC=AB=12cm有半径相等，得OA=OD=13cm由勾股定理，得OC=5由线段的和差，得CD=ODOC=135=8cm，故答案为：8点评：本题考查了垂径定理，利用垂径定理得出直角三角形 OAC 是解题关键，又利用了勾股定理16（3 分）（2015南通）如图，ABC 中，D 是 BC 上一点，AC=AD=DB，BAC=102，则ADC=52度考点：等腰三角形的性质.分析：设ADC=，然后根据 AC=AD=DB，BAC=102，表示出B 和BAD 的度数，最后根据三角形的内角和定理求出A
15、DC 的度数解答：解：AC=AD=DB，B=BAD，ADC=C，设ADC=，B=BAD=，BAC=102，DAC=102，在ADC 中，ADC+C+DAC=180，2+102=180，解得：=52故答案为：52点评：本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等917（3 分）（2015南通）如图，矩形 ABCD 中，F 是 DC 上一点，BFAC，垂足为 E，=，CEF 的面积为 S1，AEB 的面积为 S2，则的值等于考点：相似三角形的判定与性质；矩形的性质.分析：首先根据=设 AD=BC=a，则 AB=CD=2a，然后利用勾股定理得到 AC=a，然后根据射影定
16、理得到 BC2=CECA，AB2=AEAC 从而求得 CE=，AE=，得到=，利用CEFAEB，求得=（）2=解答：解：=，设 AD=BC=a，则 AB=CD=2a，AC=a，BFAC，CBECAB，AEBABC，BC2=CECA，AB2=AEACa2=CEa，2a2=AEa，CE=，AE=，=，CEFAEB，=（）2=，故答案为：点评：本题考查了矩形的性质及相似三角形的判定，能够牢记射影定理的内容对解决本题起到至关重要的作用，难度不大1018（3 分）（2015南通）关于 x 的一元二次方程 ax23x1=0 的两个不相等的实数根都在1 和 0 之间（不包括1 和 0），则 a 的取值范围是
17、a2考点：抛物线与 x 轴的交点.分析：首先根据根的情况利用根的判别式解得 a 的取值范围，然后根据根两个不相等的实数根都在1 和 0 之间（不包括1 和 0），结合函数图象确定其函数值的取值范围得 a，易得 a 的取值范围解答：解：关于 x 的一元二次方程 ax23x1=0 的两个不相等的实数根，=（3）24a（1）0，解得：a，设 fx=ax23x1实数根都在1 和 0 之间，当 a0 时，如图，f（1）0，f（0）0f（0）=a02301=10，此种情况不存在；当 a0 时，如图，f（1）0，f（0）0，即 f（1）=a（1）23（1）10，f（0）=10，解得：a2，a2，故答案为：a
18、211点评：本题主要考查了一元二次方程根的情况的判别及抛物线与 x 轴的交点，数形结合确定当 x=0 和当 x=1 时函数值的取值范围是解答此题的关键三.解答题（共 10 小题，共 96 分）19（10 分）（2015南通）（1）计算：（2）2+（3）0（）2（2）解方程：=考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂.专题：计算题分析：（1）原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用立方根定义计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解解答：解：（1）原式=44+19=
19、8；（2）去分母得：x+5=6x，解得：x=1，经检验 x=1 是分式方程的解点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键20（8 分）（2015南通）如图，一海伦位于灯塔 P 的西南方向，距离灯塔 40海里的 A处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 60方向上的 B 处，求航程AB 的值（结果保留根号）考点：解直角三角形的应用-方向角问题.专题：计算题分析：过 P 作 PC 垂直于 AB，在直角三角形 ACP 中，利用锐角三角函数定义求出 AC 与PC 的长，在直角三角形 BCP 中，利用锐角三角函数定义求出 CB 的长，由 AC+CB 求出 AB的长即可
20、解答：解：过 P 作 PCAB 于点 C，在 RtACP 中，PA=40海里，APC=45，sinAPC=，cosAPC=，AC=APsin45=40=40（海里），PC=APcos45=40=40（海里），12在 RtBCP 中，BPC=60，tanBPC=，BC=PCtan60=40（海里），则 AB=AC+BC=（40+40）海里点评：此题考查了解直角三角形的应用方向角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键21（10 分）（2015南通）为增强学生环保意识，某中学组织全校 2000 名学生参加环保知识大赛，比赛成绩均为整数，从中抽取部分同学的成绩进行统计，并绘制成如图统计图请根据图
21、中提供的信息，解答下列问题：（1）若抽取的成绩用扇形图来描述，则表示“第三组（79.589.5）”的扇形的圆心角为144度；（2）若成绩在 90 分以上（含 90 分）的同学可以获奖，请估计该校约有多少名同学获奖？（3）某班准备从成绩最好的 4 名同学（男、女各 2 名）中随机选取 2 名同学去社区进行环保宣传，则选出的同学恰好是 1 男 1 女的概率为考点：列表法与树状图法；用样本估计总体；频数（率）分布直方图；扇形统计图.分析：（1）由第三组（79.589.5）的人数即可求出其扇形的圆心角；（2）首先求出 50 人中成绩在 90 分以上（含 90 分）的同学可以获奖的百分比，进而可估计该校
22、约有多少名同学获奖；（3）列表得出所有等可能的情况数，找出选出的两名主持人“恰好为一男一女”的情况数，即可求出所求的概率解答：解：（1）由直方图可知第三组（79.589.5）所占的人数为 20 人，所以“第三组（79.589.5）”的扇形的圆心角=144，故答案为：144；13（2）估计该校获奖的学生数=2000=640（人）；（3）列表如下：男男女女男（男，男）（女，男）（女，男）男（男，男）（女，男）（女，男）女（男，女）（男，女）（女，女）女（男，女）（男，女）（女，女）所有等可能的情况有 12 种，其中选出的两名主持人“恰好为一男一女”的情况有 8 种，则 P（选出的两名主持人“恰好为
23、一男一女”）=故答案为：点评：本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来；从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较也考查了扇形统计图、列表法与树状图法22（8 分）（2015南通）由大小两种货车，3 辆大车与 4 辆小车一次可以运货 22 吨，2 辆大车与 6 辆小车一次可以运货 23 吨请根据以上信息，提出一个能用方程（组）解决的问题，并写出这个问题的解答过程考点：二元一次方程组的应用.分析：1 辆大车与 1 辆小车一次可以运货多少吨？根据题意可知，本题中的等量关系是“3辆大车与 4 辆小车一次可以运货 22 吨
24、”和“2 辆大车与 6 辆小车一次可以运货 23 吨”，列方程组求解即可解答：解：本题的答案不唯一问题：1 辆大车与 1 辆小车一次可以运货多少吨？设 1 辆大车一次运货 x 吨，1 辆小车一次运货 y 吨根据题意，得，解得则 x+y=4+2.5=6.5（吨）答：1 辆大车与 1 辆小车一次可以运货 6.5 吨点评：本题考查了二元一次方程组的应用 利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出 2 个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键23（8 分）（2015南通）如图，直线 y=mx+n 与双曲线 y=相交于 A（1，2），B（2，b）两点，与 y 轴相交于点 C（
25、1）求 m，n 的值；（2）若点 D 与点 C 关于 x 轴对称，求ABD 的面积14考点：反比例函数与一次函数的交点问题.分析：（1）由题意，将 A 坐标代入一次函数与反比例函数解析式，即可求出 m 与 n 的值；（2）得出点 C 和点 D 的坐标，根据三角形面积公式计算即可解答：解：（1）把 x=1，y=2；x=2，y=b 代入 y=，解得：k=2，b=1；把 x=1，y=2；x=2，y=1 代入 y=mx+n，解得：m=1，n=1；（2）直线 y=x+1 与 y 轴交点 C 的坐标为（0，1），所以点 D 的坐标为（0，1），点 B 的坐标为（2，1），所以ABD 的面积=点评：本题考查
26、了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点也考查了反比例函数图象的性质24（8 分）（2015南通）如图，PA，PB 分别与O 相切于 A，B 两点，ACB=60（1）求P 的度数；（2）若O 的半径长为 4cm，求图中阴影部分的面积考点：切线的性质；扇形面积的计算.分析：（1）由 PA 与 PB 都为圆 O 的切线，利用切线的性质得到 OA 垂直于 AP，OB 垂直于 BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的 2 倍，由已知C 的度数求出AOB 的度数，在四边形
27、 PABO 中，根据四边形的内角和定理即可求出P的度数（2）由 S 阴影=2（SPAOS 扇形）则可求得结果解答：解：连接 OA、OB，PA、PB 是O 的切线，OAAP，OBBP，OAP=OBP=90，15又AOB=2C=120，P=360（90+90+120）=60P=60（2）连接 OP，PA、PB 是O 的切线，APB=30，在 RTAPO 中，tan30=，AP=4cm，S 阴影=2SAOPS 扇形=2（4）=（16）（cm2）点评：此题考查了切线的性质，解直角三角函数，扇形面积公式等知识此题难度不大，注意数形结合思想的应用25（8 分）（2015南通）如图，在ABCD 中，点 E，
28、F 分别在 AB，DC 上，且 EDDB，FBBD（1）求证：AEDCFB；（2）若A=30，DEB=45，求证：DA=DF考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形.专题：证明题分析：（1）由四边形 ABCD 为平行四边形，利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，对角相等，再由垂直的定义得到一对直角相等，利用等式的性质得到一对角相等，利用 ASA即可得证；（2）过 D 作 DH 垂直于 AB，在直角三角形 ADH 中，利用 30 度所对的直角边等于斜边的一半得到 AD=2DH，在直角三角形 DEB 中，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到 EB=2DH，易
29、得四边形 EBFD 为平行四边形，利用平行四边形的对边相等得到 EB=DF，等量代换即可得证16解答：证明：（1）平行四边形 ABCD，AD=CB，A=C，ADCB，ADB=CBD，EDDB，FBBD，EDB=FBD=90，ADE=CBF，在AED 和CFB 中，AEDCFB（ASA）；（2）作 DHAB，垂足为 H，在 RtADH 中，A=30，AD=2DH，在 RtDEB 中，DEB=45，EB=2DH，四边形 EBFD 为平行四边形，FD=EB，DA=DF点评：此题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及含 30 度直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本
30、题的关键26（10 分）（2015南通）某网店打出促销广告：最潮新款服装 30 件，每件售价 300 元若一次性购买不超过 10 件时，售价不变；若一次性购买超过 10 件时，每多买 1 件，所买的每件服装的售价均降低 3 元已知该服装成本是每件 200 元，设顾客一次性购买服装 x 件时，该网店从中获利 y 元（1）求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？考点：二次函数的应用.分析：（1）根据题意可得出销量乘以每台利润进而得出总利润，进而得出答案；（2）根据销量乘以每台利润进而得出总利润，即可求出即可解答：解：（1）y=，
31、（2）在 0 x10 时，y=100 x，当 x=10 时，y 有最大值 1000；在 10 x30 时，y=3x2+130 x，17当 x=21时，y 取得最大值，x 为整数，根据抛物线的对称性得 x=22 时，y 有最大值 140814081000，顾客一次购买 22 件时，该网站从中获利最多点评：此题主要考查了二次函数的应用，根据题意得出 y 与 x 的函数关系是解题关键27（13 分）（2015南通）如图，RtABC 中，C=90，AB=15，BC=9，点 P，Q 分别在BC，AC 上，CP=3x，CQ=4x（0 x3）把PCQ 绕点 P 旋转，得到PDE，点 D 落在线段 PQ 上（
32、1）求证：PQAB；（2）若点 D 在BAC 的平分线上，求 CP 的长；（3）若PDE 与ABC 重叠部分图形的周长为 T，且 12T16，求 x 的取值范围考点：几何变换综合题.分析：（1）先根据勾股定理求出 AC 的长，再由相似三角形的判定定理得出PQCBAC，由相似三角形的性质得出CPQ=B，由此可得出结论；（2）连接 AD，根据 PQAB 可知ADQ=DAB，再由点 D 在BAC 的平分线上，得出DAQ=DAB，故ADQ=DAQ，AQ=DQ在 RtCPQ 中根据勾股定理可知，AQ=124x，故可得出 x 的值，进而得出结论；（3）当点 E 在 AB 上时，根据等腰三角形的性质求出 x
33、 的值，再分 0 x；x3 两种情况进行分类讨论解答：（1）证明：在 RtABC 中，AB=15，BC=9，AC=12=，=，=C=C，PQCBAC，CPQ=B，PQAB；（2）解：连接 AD，PQAB，18ADQ=DAB点 D 在BAC 的平分线上，DAQ=DAB，ADQ=DAQ，AQ=DQ在 RtCPQ 中，PQ=5x，PD=PC=3x，DQ=2xAQ=124x，124x=2x，解得 x=2，CP=3x=6（3）解：当点 E 在 AB 上时，PQAB，DPE=PEBCPQ=DPE，CPQ=B，B=PEB，PB=PE=5x，3x+5x=9，解得 x=当 0 x时，T=PD+DE+PE=3x+
34、4x+5x=12x，此时 0T；当x3 时，设 PE 交 AB 于点 G，DE 交 AB 于 F，作 GHFQ，垂足为 H，HG=DF，FG=DH，RtPHGRtPDE，=PG=PB=93x，=，GH=（93x），PH=（93x），FG=DH=3x（93x），T=PG+PD+DF+FG=（93x）+3x+（93x）+3x（93x）=x+，此时，T18当 0 x3 时，T 随 x 的增大而增大，T=12 时，即 12x=12，解得 x=1；19TA=16 时，即x+=16，解得 x=12T16，x 的取值范围是 1x点评：本题考查的是几何变换综合题，涉及到勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，
35、在解答（3）时要注意进行分类讨论28（13 分）（2015南通）已知抛物线 y=x22mx+m2+m1（m 是常数）的顶点为 P，直线 l：y=x1（1）求证：点 P 在直线 l 上；（2）当 m=3 时，抛物线与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，与直线 l 的另一个交点为 Q，M 是 x 轴下方抛物线上的一点，ACM=PAQ（如图），求点 M 的坐标；（3）若以抛物线和直线 l 的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的 m 的值考点：二次函数综合题.专题：综合题分析：（1）利用配方法得到 y=（xm）2+m1，点 P（m，m1），然后根据一次函
36、数图象上点的坐标特征判断点 P 在直线 l 上；（2）当 m=3 时，抛物线解析式为 y=x2+6x+5，根据抛物线与 x 轴的交点问题求出 A（5，0），易得 C（0，5），通过解方程组得 P（3，4），Q（2，3），作MEy 轴于 E，PFx 轴于 F，QGx 轴于 G，如图，证明 RtCMERtPAF，利用相似20得=，设 M（x，x2+6x+5），则=，解得 x1=0（舍去），x2=4，于是得到点 M 的坐标为（4，3）；（3）通过解方程组得 P（m，m1），Q（m+1，m），利用两点间的距离公式得到 PQ2=2，OQ2=2m2+2m+1，OP2=2m22m+1，然后分类讨论：当 PQ
37、=OQ时，2m2+2m+1=2；当 PQ=OP 时，2m22m+1=2；当 OP=OQ 时，2m2+2m+1=2m22m+1，再分别解关于 m 的方程求出 m 即可解答：（1）证明：y=x22mx+m2+m1=（xm）2+m1，点 P 的坐标为（m，m1），当 x=m 时，y=x1=m1，点 P 在直线 l 上；（2）解：当 m=3 时，抛物线解析式为 y=x2+6x+5，当 y=0 时，x2+6x+5=0，解得 x1=1，x2=5，则 A（5，0），当 x=0 时，y=x2+6x+5=5，则 C（0，5），可得解方程组，解得或，则 P（3，4），Q（2，3），作 MEy 轴于 E，PFx 轴
38、于 F，QGx 轴于 G，如图，OA=OC=5，OAC 为等腰直角三角形，ACO=45，MCE=45ACM，QG=3，OG=2，AG=OAOG=3=QG，AQG 为等腰直角三角形，QAG=45，APF=90PAF=90（PAQ+45）=45PAQ，ACM=PAQ，APF=MCE，RtCMERtPAF，=，设 M（x，x2+6x+5），ME=x，CE=5（x2+6x+5）=x26x，=，整理得 x2+4x=0，解得 x1=0（舍去），x2=4，点 M 的坐标为（4，3）；21（3）解：解方程组得或，则 P（m，m1），Q（m+1，m），PQ2=（m+1m）2+（mm+1）2=2，OQ2=（m+1）2+m2=2m2+2m+1，OP2=m2+（m1）2=2m22m+1，当 PQ=OQ 时，2m2+2m+1=2，解得 m1=，m2=；当 PQ=OP 时，2m22m+1=2，解得 m1=，m2=；当 OP=OQ 时，2m2+2m+1=2m22m+1，解得 m=0，综上所述，m 的值为 0，点评：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象和一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，会求抛物线与直线的交点坐标；理解坐标与图形性质，会利用两点间的距离公式计算线段的长；会运用相似比计算线段的长；能运用分类讨论的思想解决数学问题