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1、专题4 利用导数解决函数单调性的应用问题利用导数解决函数单调性的应用问题利用导数解决函数单调性的应用问题主要有：(1)已知函数的单调性求参数范围问题：此类问题是近几年高考的热点，一般为解答题的第二问，难度中档有时也以选择题、填空题的形式出现，难度中高档解决此类问题的关键是转化为恒成立问题，再参变分离，转化为最值问题求解(2)比较大小或解不等式问题：利用导数方法解决此类问题的主要技巧就是灵活地构造函数，通过函数的性质求解由函数的单调性求参数取值范围的方法(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f(x)0(或f(x)0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求
2、出参数的取值范围；(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f(x)0(或f(x)0(或f(x)min0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围；(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围例已知函数f(x)x3ax1.(1)若f(x)在区间(1，)上为增函数，求a的取值范围；(2)若f(x)在区间(1,1)上为减函数，求a的取值范围；(3)若f(x)的单调递减区间为(1,1)，求a的值解(1)因为f(x)3x2a，且f(x)在区间(1，)上为增函数，所以f(x)0在(1，
3、)上恒成立，即3x2a0在 (1，)上恒成立，所以a3x2在(1，)上恒成立，所以a3，即a的取值范围为(，31.(1)若0x1x2ln x2ln x1Bex2ex1x1ex2Dx2ex1x1ex2(2)已知函数f(x)(xR)满足f(1)1，且f(x)的导数f(x)，则不等式f(x2)g(x2)，即，则x2ex1x1ex2，故选C.(2)设F(x)f(x)x，F(x)f(x)，f(x)，F(x)f(x)0，即函数F(x)在R上单调递减f(x2)，f(x2)f(1)，F(x2)1，即x(，1)(1，)答案(1)C(2)(，1)(1，)2.已知函数f(x)x3bx2cxd的图象如图所示，则函数y
4、log2x2bx的单调递减区间为()A. B3，)C2,3 D(，2)解析：选D因为f(x)x3bx2cxd，所以f(x)3x22bxc，由图可知f(2)f(3)0，所以解得令g(x)x2bx，则g(x)x2x6，g(x)2x1，由g(x)x2x60，解得x3.当x时，g(x)0，所以g(x)x2x6在(，2)上为减函数，所以函数ylog2的单调递减区间为(，2)3(2017甘肃诊断考试)函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)f(2x)，且当x(，1)时，(x1)f(x)0，设af(0)，bf，cf(3)，则()Aabc BcbaCcab Dbca解析：选C因为当x(，1)时，(x1)f(x
5、)0，所以函数f(x)在(，1)上是单调递增函数，所以af(0)fb，又f(x)f(2x)，所以cf(3)f(1)，所以cf(1)f(0)a，所以cab，故选C.1.已知函数f(x)x24xaln x，若函数f(x)在(1,2)上是单调函数，则实数a的取值范围是()A(6，) B(，16)C(，166，) D(，16)(6，)解析：选Cf(x)的定义域为(0，)，f(x)2x4，f(x)在(1,2)上是单调函数，f(x)0或f(x)0在(1,2)上恒成立，即2x24xa0或2x24xa0在(1,2)上恒成立，即a(2x24x)或a(2x24x)在(1,2)上恒成立记g(x)(2x24x)，1x
6、2，则16g(x)f(cos B)Bf(sin A)f(sin B)Df(sin A)f(sin B)解析：选Af(x)x33x，f(x)3x233(x1)(x1)，故函数f(x)在区间(1,1)上是减函数，又A、B都是锐角，且AB，0AB，sin Af(cos B)，故选A.3.若函数f(x)x312x在区间(k1，k1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是_4.已知函数f(x)(4m1)x2(15m22m7)x2在R上为单调递增函数，则实数m的取值范围是_解析：f(x)x22(4m1)x15m22m7，由题意可得f(x)0在xR上恒成立，所以4(4m1)24(15m22m7)4(m26m8)0，解得2m4.答案：2,45.已知定义域为R的函数f(x)满足f(4)3，且对任意的xR总有f(x)3，则不等式f(x)3x15的解集为_解析：令g(x)f(x)3x15，则f(x)3x15的解集即为g(x)0的解集又g(x)f(x)30，所以g(x)在R上是减函数又g(4)f(4)34150，所以g(x)4.所以f(x)3x15的解集为(4，)答案：(4，)_4