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1、习题课数列求和课后篇巩固探究A组1.已知数列an的前n项和为Sn,若an=,则S5等于()A.B.C.D.解析因为an=,所以S5=a1+a2+a3+a4+a5=.答案D2.已知数列an的通项公式an=,若该数列的前k项之和等于9,则k等于()A.99B.98C.97D.96解析因为an=,所以其前n项和Sn=(-1)+()+()=-1.令-1=9,解得k=99.答案A3.数列1,2,3,4,的前n项和为()A. (n2+n-2)+B. n(n+1)+1-C. (n2-n+2)-D. n(n+1)+3解析数列的前n项和为1+2+3+n+=(1+2+3+n)+-1= (n2+n-2) +,故选A
2、.答案A4.已知an为等比数列,bn为等差数列,且b1=0,cn=an+bn,若数列cn是1,1,2,则数列cn的前10项和为()A.978B.557C.467D.979解析由题意可得a1=1,设数列an的公比为q,数列bn的公差为d,则q2-2q=0.q0,q=2,d=-1.an=2n-1,bn=(n-1)(-1)=1-n,cn=2n-1+1-n.设数列cn的前n项和为Sn,则S10=20+0+21-1+29-9=(20+21+29)-(1+2+9)=1 023-45=978.答案A5.已知数列an满足a1=1,a2=2,an+2=,则该数列的前18项和为()A.2 101B.2 012C.
3、1 012D.1 067解析由题意可得a3=a1+1,a5=a3+1=a1+2,所以奇数项组成以公差为1,首项为1的等差数列,共有9项,因此S奇=45.偶数项a4=2a2,a6=2a4=22a2,因此偶数项组成以2为首项,2为公比的等比数列,共有9项,所以S偶=-2+210=1 022.故数列an的前18项和为1 022+45=1 067.答案D6.已知数列an的通项公式an=2n-,则其前n项和为.解析数列an的前n项和Sn=+=2(1+2+n)-=2=n2+n+-1.答案n2+n+-17.数列,的前n项和等于.解析an=,Sn=.答案8.已知等差数列an的前n项和Sn满足S3=0,S5=-
4、5.(1)求an的通项公式;(2)求数列的前n项和Tn.解(1)设an的公差为d,则Sn=na1+d.由已知可得解得故an的通项公式为an=2-n.(2)由(1)知,从而数列的前n项和为Tn=.9.导学号04994055(2017辽宁统考)已知等差数列an的公差为2,且a1,a1+a2,2(a1+a4)成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设数列的前n项和为Sn,求证:Sn0,Sn=6-6.B组1.已知数列an的通项公式an=(-1)n-1n2,则其前n项和为()A.(-1)n-1B.(-1)nC.D.-解析依题意Sn=12-22+32-42+(-1)n-1n2.当n为偶数时,Sn=1
5、2-22+32-42+-n2=(12-22)+(32-42)+(n-1)2-n2=- 1+2+3+4+(n-1)+n=-.当n为奇数时,Sn=12-22+32-42+-=Sn-1+n2=-+n2=.Sn=(-1)n-1.故选A.答案A2.已知数列an为,则数列bn=的前n项和Sn为()A.4B.4C.1-D.解析an=,bn=4.Sn=4=4.答案A3.已知Sn是数列an的前n项和,a1=1,a2=2,a3=3,数列an+an+1+an+2是公差为2的等差数列,则S25=()A.232B.233C.234D.235解析令bn=an+an+1+an+2,则b1=1+2+3=6,由题意知bn=6+
6、2(n-1)=2n+4.因为S25=a1+a2+a3+a25=a1+b2+b5+b23,而b2,b5,b23构成公差为6的等差数列,且b2=8,于是S25=1+88+6=233.答案B4.数列11,103,1 005,10 007,的前n项和Sn=.解析因为数列的通项公式为an=10n+(2n-1),所以Sn=(10+1)+(102+3)+(10n+2n-1)=(10+102+10n)+1+3+(2n-1)=(10n-1)+n2.答案(10n-1)+n25.数列1,1+2,1+2+22,1+2+22+2n-1,的前n项和等于.解析数列的通项为an=1+2+22+2n-1,因为an=1+2+22
7、+2n-1=2n-1,所以该数列的前n项和Sn=(21-1)+(22-1)+(2n-1)=(2+22+2n)-n=-n=2n+1-n-2.答案2n+1-n-26.已知数列an的前n项和为Sn=3n2-2n,而bn=,Tn是数列bn的前n项和,则使得Tn对所有nN*都成立的最小正整数m等于.解析由Sn=3n2-2n,得an=6n-5.bn=,Tn=+=.,要使对nN*成立,需有,即m10,故符合条件的最小正整数为10.答案107.已知递增数列an的前n项和为Sn,且满足Sn=+n).(1)求a1及数列an的通项公式;(2)设cn=求数列cn的前20项和T20.解(1)当n=1时,a1=S1=+1
8、),解得a1=1.当n2时,Sn-1=+n-1),an=Sn-Sn-1=+1),解得 an-an-1=1或an+an-1=1(n2).因为an为递增数列,所以an-an-1=1,an是首项为1,公差为1的等差数列,所以an=n.(2)由题意,知cn=所以T20=+3(21+23+219)+10=+3+10=+2(410-1)+10=+221+8=221+.8.导学号04994056已知数列an的前n项和为Sn,S1=1,S2=2,当n2时,Sn+1-Sn-1=2n.(1)求证:an+2-an=2n(nN*);(2)求数列an的通项公式;(3)设Tn=a1+a2+a3+an,求Tn.(1)证明当n2时,因为an+1+an=2n,an+2+an+1=2n+1,所以an+2-an=2n.又因为a1=1,a2=1,a3=3,所以a3-a1=2,所以an+2-an=2n(nN*).(2)解当n为奇数时,an-a1=(an-an-2)+(an-2-an-4)+(a5-a3)+(a3-a1)=2n-2+2n-4+23+2=(2n-1-1),所以an=.同理,当n为偶数时,an=.故数列an的通项公式是an=(3)解由于Tn=a1+a2+a3+an,Tn=a1+a2+an-1+an,+得Tn=n+an.所以当n为奇数时,Tn=n+;当n为偶数时,Tn=n+.故Tn=9