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1、2.3 映射 1了解映射的概念，能够判定一些简单的对应是否为映射2理解映射与函数的区别与联系1映射设两个非空集合A与B之间存在着对应关系f，而且对于A中的_元素x，B中总有_的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：AB.A中的元素x称为_，B中的元素y称为x的_，记作f：xy. 映射是对应，但对应不一定是映射，即映射是特殊的对应【做一做11】 给出下列4个对应，是映射的是( )A BC D【做一做12】 在映射f：AB中，下列说法中不正确的为( )集合B中的任一元素，在集合A中至少有一个元素与它相对应集合B中至少存在一个元素在集合A中无原像集合B中可能有元素在集合A中无原像
2、集合B中可能有元素在集合A中的原像不止一个A B C D2一一映射当映射f：AB满足：(1)A中的每一个元素在B中都有唯一的像与之对应；(2)_中的不同元素的_也不同；(3)B中的每一个元素都有_，那么就称映射f：AB是映射，映射也叫作一一对应，一一映射是特殊的_ 映射和一一映射的区别与联系映射f：AB一一映射f：AB定义对于集合A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与之对应，就称这样的对应为A到B的映射A到B的映射满足：A中的每一个元素在B中都有唯一的像与之对应，A中的不同元素的像也不同；B中的每一个元素都有原像，则该映射又称为一一映射对应方式多对一或一对一一对一原像B中的一些元素可能
3、没有原像B中的任何元素有唯一的原像像A中的几个元素可能对应同一个像A中的任何元素有唯一的像方向性B到A不一定是映射B到A是一一映射【做一做2】 下列对应是集合M到集合N的一一映射的是( )AMNR，f：xy，xM，yNBMNR，f：xyx2，xM，yNCMNR，f：xy，xM，yNDMNR，f：xyx3，xM，yN3函数与映射函数是特殊的映射，对于映射f：AB，当两个集合A，B均为非空_时，则从A到B的映射就是函数，所以函数一定是_，而映射不一定是函数在函数中，_的集合称为函数的定义域，_的集合称为函数的值域【做一做3】下列对应为A到B的函数的是( )AAR，Bx|x0，f：xy|x|BAZ，
4、BN，f：xyx2CAZ，BZ，f：xyDA1,1，B0，f：xy0答案：1每一个唯一原像像【做一做11】 C【做一做12】 A2(2)A像(3)原像映射【做一做2】 D用排除法，选项A中集合M的元素0，在f下，N中没有元素与之对应，所以这个对应不是映射；选项B中集合M的元素1，在f下的像都是1，故排除B；选项C中，负实数及0在f下没有元素和它对应，应排除；故选D.3数集映射原像像【做一做3】 D由函数的定义可知，对于选项A,0R，且|0|0B，故A项中的对应不是A到B的函数；对于选项B,0Z，且020N，故B项中的对应不是A到B的函数；对于选项C，当x0时，如2Z，但无意义，故C项中的对应不
5、是A到B的函数；对于选项D，是多对一的情形，符合函数的定义，是A到B的函数1映射f：AB到底是什么？怎样理解映射的概念？剖析：对于映射这个概念，可以从以下几点来理解：映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的；映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有像，并且像是唯一的；A中两个(或多个)元素可能有相同的像，这样集合A中元素的任意性和在集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心；映射允许集合B中存在元素在A中没有原像，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”2如何理解一一映射的概念？剖析：(1)一对一：一一
6、映射f：AB中，要求原像不同，像也不同集合A中不同的元素在集合B中有不同的像，集合B中的元素都有不同的原像(2)可逆性：若映射f：AB是一一映射，则集合B到集合A的映射一定是一一映射f：BA.题型一 判断映射【例1】下列对应是不是从A到B的映射？(1)AR，B正实数，f：x|x|；(2)Ax|x2，xN，By|y0，yZ，f：xyx22x2；(3)Ax|x0，By|yR，f：xy.分析：从定义出发来判断从集合A到集合B的映射，是指按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应反思：映射应满足存在性：集合A中的每一个元素在集合B中都有对应元素；唯一性：集合A中的
7、每一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应题型二 求某一映射中的像或原像【例2】 已知集合AR，B(x，y)|x，yR，f：AB是从A到B的映射，f：x(x1，x21)，求A中元素在B中的对应的元素和B中元素在A中的对应元素分析：把x代入对应关系中可求得在B中对应的元素，在A中对应的元素可通过列方程组解出反思：求某一映射中的像或原像，要准确地利用映射的关系，恰当地列出方程或方程组题型三 求映射的个数问题【例3】 已知Aa，b，c，B1,0,1，映射f：AB满足f(a)f(b)f(c)，求映射f：AB的个数分析：A中元素在f下对应B中的一个、两个或三个，并且满足f(a)f(b)f(c)，需分类讨
8、论反思：理解映射的概念是解决本题的关键；另外，依映射的定义，若集合A中有m个不同元素，集合B中有n个不同元素，则A到B共有nm个映射，B到A共有mn个映射答案：【例1】 解：(1)中，当x0A时，|x|0B，即A中的元素0按对应法则f：x|x|在B中没有像，(1)不是映射(2)中，yx22x2(x1)210，对任意的x，总有y0.又当x2，且xN时，x22x2必为整数，即yZ.由Ax|x2，xN，By|y0，yZ知，当xA时，x22x2B，对A中每一个元素x，按对应法则f：xyx22x2，在B中都有唯一的y与之对应，(2)是映射(3)中，对任意的xAx|x0，按对应法则f：xy，存在两个yBy
9、|yR，即y和y与之对应，(3)不是映射【例2】 解：将x代入对应关系，可求出其在B中的对应元素为(1,3)由得x.所以在B中的对应元素为(1,3)，在A中的对应元素为.【例3】 解：(1)当A中三个元素都是对应0时，则f(a)f(b)000f(c)有1个映射(2)当A中三个元素对应B中两个元素时，满足f(a)f(b)f(c)的映射有4个，分别为101,011，(1)01，0(1)1.(3)当A中的三个元素对应B中的三个元素时，有2个映射，分别是(1)10,1(1)0.因此满足题设条件的映射有7个 1 设集合Aa，b，c，集合BR，以下对应关系中，一定能建立集合A到集合B的映射的是( )A对集
10、合A中的数开平方B对集合A中的数取倒数C对集合A中的数取算术平方根D对集合A中的数立方2 已知映射f：AB，其中集合A3，2，1,1,2,3,4，集合B中的元素都是A中的元素的映射f的像，且对任意的aA，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是( )A4 B5 C6 D73 设集合A，B都是坐标平面上的点集(x，y)|xR，yR，映射f：AB使集合A中的元素(x，y)映射成集合B中的元素(xy，xy)，则在f下，像(2,1)的原像为( )A(3,1) B. C. D(1,3)4 设集合A1,2,3，集合Ba，b，c，那么从集合A到集合B的一一映射的个数为_5 判断下列对应是不是从
11、集合A到集合B的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函数？为什么？(1)A1,2,3,4，B3,4,5,6,7,8,9，对应关系f：x2x1；(2)A平面内的圆，B平面内的矩形，对应关系是“作圆的内接矩形”；(3)A1,2,3,4，B，对应关系f：x.答案：1D当a0时，对a开平方或取算术平方根均无意义，则A，C项错；当a0时，对a取倒数无意义，则B项错；由于任何实数都有立方，并且其立方仅有一个，所以对集合A中的数立方能建立映射2AaA，|a|1,2,3,4，即B1,2,3,43B故应选B.46集合A中有3个元素，集合B中有3个元素，根据一一映射的定义可知从A到B的一一映射有6个5解：(1)是映射也是函数，但不是一一映射因为数集A中的元素x按照对应关系f：x2x1和数集B中的元素2x1对应，这个对应是数集A到数集B的映射，也是函数但B中的元素4,6,8没有原像，不能构成一一映射(2)不是从集合A到集合B的映射，更不是函数或者一一映射因为一个圆有无穷多个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无穷多个元素与之对应(3)是A到B的映射，也是函数和一一映射5