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1、【复习方略】（湖北专用）2014高中数学 2.12导数与生活中的优化问题及综合应用课时训练 文 新人教A版一、选择题1.设f(x),g(x)在上可导,且f(x)g(x),则当axg(x)(B)f(x)g(x)+f(a)(D)f(x)+g(b)g(x)+f(b)2.若对任意的x0,恒有lnxpx-1(p0),则p的取值范围是()(A)(0,1(B)(1,+)(C)(0,1) (D) (A)R3(B)R3(C)R3(D)R34.(2013银川模拟)函数f(x)在定义域R内可导,若f(x)=f(2-x),且当x(-,1)时,(x-1)f(x)0,设a=f(0),b=f(),c=f(3),则()(A)
2、abc(B)cab(C)cba(D)bc0)的图象上的动点,该图象在点P处的切线l交y轴于点M,过点P作l的垂线交y轴于点N,设线段MN的中点的纵坐标为t,则t的最大值是.9(能力挑战题)已知函数和函数若存在x1,x20,1使得f(x1)=g(x2)成立，则实数a的取值范围是_.三、解答题10.(2013银川模拟)已知函数f(x)=在点M(1,f(1)处的切线方程为x-y-1=0.(1)求f(x)的解析式.(2)设函数g(x)=lnx,证明:g(x)f(x)对x0,f(x)-g(x)在上是增函数.f(a)-g(a)g(x)+f(a).2.【解析】选D.原不等式可化为lnx-px+10,令f(x
3、)=lnx-px+1,故只需f(x)max0.由f(x)=-p,知f(x)在(0,)上单调递增,在(,+)上单调递减.故f(x)max=f()=-lnp,由-lnp0得p1.3.【解析】选A.设圆柱的高为h,则圆柱的底面半径为,圆柱的体积为V=(R2-h2)h=-h3+R2h(0hR),V=-3h2+R2=0,h=时V有最大值为V=R3.4.【解析】选B.由f(x)=f(2-x)可得对称轴为x=1,故f(3)=f(-1),又x(-,1)时,(x-1)f(x)0,即f(x)在(-,1)上单调递增,所以f(-1)f(0)f(),即ca0,则l:y-=(x-x0),M(0,(1-x0) ),过点P作
4、l的垂线:y-=-(x-x0),N(0,+x0),t=+x0(-)t=(+)(1-x0),所以, t在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减,tmax=(e+).答案: (e+)9.【解析】当x1时， f(x)=0,函数递增，此时当0x时，函数单调递减，此时0f(x).综上,函数0f(x).当0x1时， 0sin x,-a+1g(x)a-a+1,即-a+1g(x)-a+1.若存在x1,x20,1使得f(x1)=g(x2)成立，让g(x)的最大值大于等于f(x)的最小值，让g(x)的最小值小于f(x)的最大值，即解得即a2.答案： 【变式备选】已知两函数f (x)=8x2+16x-k,g(
5、x)=2x3+5x2+4x,其中k为实数.(1)对任意x,都有f(x)g(x)成立,求k的取值范围.(2)存在x,使f(x)g(x)成立,求k的取值范围.(3)对任意x1,x2,都有f(x1)g(x2),求k的取值范围.【解析】(1)设h(x)=g(x)-f(x)=2x3-3x2-12x+k,问题转化为x时,h(x)0恒成立,即h(x)min0,x.令h(x)=6x2-6x-12=0,得x=2或x=-1.h(-3)=k-45,h(-1)=k+7,h(2)=k-20,h(3)=k-9,h(x)min=k-450,得k45.(2)据题意:存在x,使f(x)g(x)成立,即为h(x)=g(x)-f(
6、x)0在x上能成立,h(x)max0.h(x)max=k+70,得k-7.(3)据题意:f(x)maxg(x)min,x,易得f(x)max=f(3)=120-k,g(x)min=g(-3)=-21.120-k-21,得k141.10.【解析】(1)将x=1代入切线方程得f(1)=0,又f(1)=,化简得a+b=0.f(x)= f(1)=,由f(1)=1得=1.由解得:a=2,b=-2,所以f(x)=.(2)要证lnx在当x3时,f(x)0,则函数在(3,+)上是增函数.所以当x=-1时,函数f(x)取得极大值为f(-1)=-1+3+3=,当x=3时,函数f(x)取得极小值为f(3)=27-9
7、-9+3=-6.(2)因为f(x)=x2-2x+a,所以=4-4a=4(1-a).当a1时,则0,f(x)0在R上恒成立,所以f(x)在R上单调递增.f(0)=-a0,所以,当a1时函数的图象与x轴有且只有一个交点.a0,f(x)=0有两个不等实数根,不妨设为x1,x2(x10,解得a0.而当0a1时,f(0)=- a0.故0a1时,函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点.综上所述,a的取值范围是(0,+).【方法技巧】巧解方程根的个数问题当函数的极值点很难求解时,可采用设而不求的思想.设出极值点后(设极大值为M,极小值为m),将M与m的符号问题转化为M与m乘积的符号问题,最后把M与m乘积转化为根与系数的关系解决.- 6 -