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1、概率论与数理统计随机变量函数的分布本讲稿第一页，共十七页2.5 2.5 随机变量函数的分布随机变量函数的分布2.5.1 2.5.1 离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布2.5.2 2.5.2 连续性随机变量函数的分布连续性随机变量函数的分布本讲稿第二页，共十七页设随机变量设随机变量 X 的分布律为的分布律为求求Y=g(X)Y=g(X)的分布律的分布律.2.5.1 2.5.1 离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布本讲稿第三页，共十七页第第 一一 种种 情情 形形:将将X的取值代入函数关系，求出随机变量的取值代入函数关系，求出随机变量Y相应的取值相应的取值 计算离散型随机变
2、量函数的分布的步骤：计算离散型随机变量函数的分布的步骤：本讲稿第四页，共十七页第第 二二 种种 情情 形形:本讲稿第五页，共十七页 2.5.2 2.5.2 连续性随机变量函数的分布连续性随机变量函数的分布已知随机变量 X 的密度函数 f(x)(或分布函数)求 Y=g(X)的密度函数或分布函数手段：（1）从分布函数出发（分布函数法）（2）从密度函数出发（公式法）本讲稿第六页，共十七页 1.分布函数法分布函数法 (1)根据分布函数的定义求根据分布函数的定义求Y的分布函数的分布函数FY(y);(2)由由 fY(y)=F(y)求出求出 fY(y)本讲稿第七页，共十七页例例 已知已知X X 密度函数为密
3、度函数为为常数，且为常数，且 a a 0,0,求求f fY Y(y)(y)解解:当当a 0 a 0 时，时，当当a 0 时，时，故故本讲稿第八页，共十七页例如，设例如，设 X N(,2),Y=a X+b,则则Y N(a +b,a2 2)特别地特别地，若，若 X N(,2),则则本讲稿第九页，共十七页例例4 已知 X N(0,1),Y=X 2,求 f Y(y)解解当y 0 时，本讲稿第十页，共十七页故本讲稿第十一页，共十七页2、公式法（从密度函数出发）、公式法（从密度函数出发）定理定理 设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度是的概率密度是fX（x），函数，函数y=g（x）单调可导，其反函数
4、）单调可导，其反函数x=h（y）满足）满足 h(y)恒不为零。对于恒不为零。对于fX(x)0的的 x，y=g（x）的值域为）的值域为，则随机变量，则随机变量Y的概率密度为的概率密度为本讲稿第十二页，共十七页例例 5 5本讲稿第十三页，共十七页本讲稿第十四页，共十七页小结：小结：1 一般情形下求随机变量函数的分布一般情形下求随机变量函数的分布。2 在函数变换严格单调时利用定理求随机变量函数在函数变换严格单调时利用定理求随机变量函数 的分布。的分布。重点：重点：掌握一般情形下求随机变量函数分布的方掌握一般情形下求随机变量函数分布的方法：法：先求分布函数，再求导，求随机变量函数的先求分布函数，再求导，求随机变量函数的概率密度。概率密度。本讲稿第十五页，共十七页 解：解：设设Y的分布函数为的分布函数为 FY(y)，设设 X 求求 Y=2X+8 的概率密度的概率密度.FY(y)=P Y y =P(2X+8 y)=P X =FX()于是于是Y 的密度函数的密度函数课堂练习课堂练习本讲稿第十六页，共十七页故故注意到注意到 0 x 4 时，时，即即 8 y 16 时，时，此时此时Y=2X+8本讲稿第十七页，共十七页