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1、第四章控制系统的根轨迹分析法本讲稿第一页，共三十八页出射角公式：出射角公式：本讲稿第二页，共三十八页出射角公式：出射角公式：本讲稿第三页，共三十八页本讲稿第四页，共三十八页第四章第四章 控制系统的根轨迹分析法控制系统的根轨迹分析法 根轨迹分析法是一种图解分析法，利用它求解高阶根轨迹分析法是一种图解分析法，利用它求解高阶系统中某一参数对系统性能的影响将非常方便。系统中某一参数对系统性能的影响将非常方便。4.1 4.1 根轨迹的基本概念及分析方法根轨迹的基本概念及分析方法4.2 4.2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则4.4 4.4 系统性能的根轨迹分析系统性能的根轨迹分析4.3 4.3
2、参量根轨迹参量根轨迹广义根轨迹广义根轨迹本讲稿第五页，共三十八页4.1 4.1 根轨迹的基本概念及分析方法根轨迹的基本概念及分析方法 系统开环中某一参数从系统开环中某一参数从00时，闭环系统特征根在时，闭环系统特征根在 S S 平面上的位置也随之变化移动，一个根形成一条轨迹。平面上的位置也随之变化移动，一个根形成一条轨迹。例例 求系统特征方程求系统特征方程的根随开环增益的根随开环增益K K的变的变化在化在S S平面上的位置变化平面上的位置变化情况，并分析情况，并分析K K对系统对系统的影响。的影响。RY本讲稿第六页，共三十八页系系统统的的闭环传递闭环传递函数函数 闭环闭环特征方程式特征方程式
3、特征方程的根特征方程的根 S2+2S+KC(s)R(s)=KS2+2S+K=0S1.2=-1 1-K 0 -1 2 Kr S1 S2 0 -2 1 -1 -1+j -1-j -1+j -1-j-1 S2j0-1-21 S1 K K 解解以以K为参数求根迹为参数求根迹K变化时,闭环特征根在S平面上的轨迹图形当K从0连续变化时,得到无数组特征方程的根,组成图形本讲稿第七页，共三十八页系统特征方程为系统特征方程为求得两个极点：求得两个极点：ImRe0-2当当K=0K=0时：时：s s1 1=0=0，s s2 2=-2=-2当当K=1K=1时：时：s s1,21,2=-1=-1K K在在0101之间连
4、续变化则之间连续变化则 s s1 1 和和 s s2 2 也连续变化，并也连续变化，并且互相靠近。且互相靠近。-1ss s s当当K1时：时：s s 的实部为常数，其虚部的实部为常数，其虚部随着随着KK是连续变化的，并是连续变化的，并且上下分开。且上下分开。该根迹表达如下信息：该根迹表达如下信息：无论无论 K K 如何变化，闭环如何变化，闭环极点只可能出现在极点只可能出现在 S S平面平面的的左左半平面，系统始终半平面，系统始终稳稳定定。在在0 0K K1 1区间：区间：s s1,21,2是实数极点，所以阶是实数极点，所以阶跃响应是单调收敛的。跃响应是单调收敛的。由于由于s s1 1离虚轴最近
5、，所以离虚轴最近，所以它主导系统的响应，当它主导系统的响应，当K K s s1 1远离虚轴，系统远离虚轴，系统响应过程变快。响应过程变快。在在1 1K K区间：区间：s s1,21,2是一对共轭复根，实部是一对共轭复根，实部为常数，决定了系统的调节时间；为常数，决定了系统的调节时间；虚部随着虚部随着K K增大增大而增大而增大%；画出画出 =0.707=0.707 的等阻尼线，找的等阻尼线，找出根迹与该线的交点，可得相出根迹与该线的交点，可得相应的应的 s s 最佳值最佳值。本讲稿第八页，共三十八页根轨迹法的分析基本思路根轨迹法的分析基本思路:方法方法:根据开环零极点的分布绘制出系统的根据开环零
6、极点的分布绘制出系统的根轨迹图；根轨迹图；利用根轨迹法来分析和设计系利用根轨迹法来分析和设计系统统.目的目的:解决高阶系统求解特征根比较困难的实现解决高阶系统求解特征根比较困难的实现;寻找到一种方便、有效的描述系统的根寻找到一种方便、有效的描述系统的根轨迹的方法。轨迹的方法。本讲稿第九页，共三十八页4.2 4.2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则一、根轨迹的幅值条件和相角条件一、根轨迹的幅值条件和相角条件RY系统的特征：系统的特征：1+G(s)H(s)=0G(s)H(s)=-1幅值条件幅值条件:相角条件相角条件:在在S S平面上满足特征方程的平面上满足特征方程的 s s 一定满足幅、相
7、条件；同一定满足幅、相条件；同理满足幅、相条件的理满足幅、相条件的 s s一定满足特征方程。一定满足特征方程。利用开环求解闭环本讲稿第十页，共三十八页设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为开环零点开环极点根轨迹增益将GH中最高阶相的系数化为1提出的常数闭环特征方程幅值条件幅值条件幅幅值条件值条件相角条件相角条件相相角条件角条件相相角条件是根轨迹的角条件是根轨迹的充分充分必要条件；必要条件；幅幅值条件只有在求值条件只有在求Kg参数时才使用参数时才使用。闭环极点这是什么？本讲稿第十一页，共三十八页8、开环极点与闭环极点的关系、开环极点与闭环极点的关系7、根轨迹与虚轴的交点、根轨迹与虚轴的交点
8、 6、根轨迹的出射角和入射角、根轨迹的出射角和入射角 4、根轨迹的分离点和会合点、根轨迹的分离点和会合点5、根轨迹的渐近线、根轨迹的渐近线3、实轴上的根轨迹段、实轴上的根轨迹段2、根轨迹的起点和终点、根轨迹的起点和终点1、根轨迹的对称性和分布性、根轨迹的对称性和分布性二、绘制根轨迹的基本规则二、绘制根轨迹的基本规则本讲稿第十二页，共三十八页1、根轨迹的对称性和分布性、根轨迹的对称性和分布性1）根轨迹对称于实轴）根轨迹对称于实轴 闭环闭环特征方程特征方程实实数根分数根分布布在在S 平面的平面的实轴实轴上。上。复数根复数根则则成成对对出出现现，实实部相等，虚部大小相等符部相等，虚部大小相等符号相反
9、。号相反。根根轨轨迹迹必定必定对对称于称于实轴实轴。j0S1 S2 S3 S4 S5 S6 2）n阶阶系系统统有有n条根条根轨轨迹迹 Kr取某一数取某一数值时值时,n阶特征阶特征方程有方程有n个确定的根。个确定的根。Kr=0每一个根由始点每一个根由始点连续连续地向其地向其终终点移点移动动，形成一条根，形成一条根轨轨迹，迹，n个根形成个根形成n条根条根轨轨迹。迹。本讲稿第十三页，共三十八页起始于开环极点，终止于开环零点和无穷零点。起始于开环极点，终止于开环零点和无穷零点。2、根轨迹的起点和终点、根轨迹的起点和终点起点：起点：Kg=0 时时闭环特征方程闭环特征方程 S=pi闭环极点闭环极点=开环极
10、点开环极点终点：终点：Kg=时时 S=zjm m个闭环极点个闭环极点=开环开环零零点点 S=(n-m)(n-m)个闭环极点个闭环极点=无穷无穷零点零点本讲稿第十四页，共三十八页 p3=-2 p2=-1 例例 已知系统的开环传递函数，试确定已知系统的开环传递函数，试确定 系统的根轨迹图。系统的根轨迹图。解：解：系统的三条根轨迹起系统的三条根轨迹起始于三个开环传递函数的始于三个开环传递函数的极点。极点。开环零、极点：开环零、极点：p1=0 z1=-1+j z2=-1-js(s+1)(s+2)Kr(s2+2s+2)G(s)H(s)=两条根轨迹终止于开环两条根轨迹终止于开环传递函数的两个零点，另传递函
11、数的两个零点，另一条趋于无穷远。一条趋于无穷远。j1-1-1-20p1 p2 p3z1 z2 本讲稿第十五页，共三十八页3、实轴上的根轨迹、实轴上的根轨迹 实轴上某区间存在根轨迹，则该实轴上某区间存在根轨迹，则该区间右边的开环零、极点数之和必为区间右边的开环零、极点数之和必为奇数。奇数。ImRe本讲稿第十六页，共三十八页ImRe0-14、分离点与会合点、分离点与会合点两条或两条以上的根轨迹在S平面上相遇又立即分开的点。重根点在实轴上两个开环极点之间如在实轴上两个开环极点之间如果是根轨迹，必有分离点；两果是根轨迹，必有分离点；两个开环零点之间是根轨迹，必个开环零点之间是根轨迹，必有会合点。有会合
12、点。分离点分离点求解求解特征方程特征方程 的的重根重根。RY例例已知已知代入求K本讲稿第十七页，共三十八页例例 试确定系统分离点。试确定系统分离点。s(s+1)(s+2)KrG(s)H(s)=解：解：根轨迹的分离点：根轨迹的分离点：A(s)B(s)=A(s)B(s)(3S2+6S+2)=0s1=-0.43s2=-1.57s2没有位于根轨迹上，舍去。没有位于根轨迹上，舍去。600j0p1 p3p2-1-2本讲稿第十八页，共三十八页5、根轨迹的渐近线、根轨迹的渐近线 与实轴交点：与实轴交点：与实轴交角：与实轴交角：当当 n nm m 时，有时，有 m m 条根轨迹终止于开环的有限条根轨迹终止于开环
13、的有限零点，而零点，而 n-m n-m 条条根轨迹将根轨迹将沿沿着与实轴交点为着与实轴交点为 a a 、交角为、交角为 的一组渐进的一组渐进线线终止于无穷远处（终止于无穷远处（无穷无穷零点零点）。）。本讲稿第十九页，共三十八页ImRe0-1RY例 在实轴上两开环极点之间是根轨在实轴上两开环极点之间是根轨迹，所以有分离点。迹，所以有分离点。系统开环为系统开环为可得本讲稿第二十页，共三十八页例例 已知系统的开环传递函数，试确定已知系统的开环传递函数，试确定 系统的根轨迹图。系统的根轨迹图。解：解：s(s+1)(s+2)KrG(s)H(s)=1）开环零、极点：）开环零、极点：2）实轴上的根轨迹段：）
14、实轴上的根轨迹段：p1=0p2=-2p3=-3p1p2p3-83）根轨迹的渐近线：）根轨迹的渐近线：渐渐近近线线与与实轴实轴的交点的交点:渐近线与实轴的夹角渐近线与实轴的夹角:n-m=33=-1-2=-1 3(2k+1)+=+180O+60O=,4）系）系统统的根的根轨轨迹迹 600j0p1 p3p2-1-2本讲稿第二十一页，共三十八页例例 试确定系统分离点。试确定系统分离点。s(s+1)(s+2)KrG(s)H(s)=解：解：前例已求得根轨迹的渐近线和前例已求得根轨迹的渐近线和实轴上的根轨迹段实轴上的根轨迹段 根轨迹的分离点：根轨迹的分离点：A(s)B(s)=A(s)B(s)(3S2+6S+
15、2)=0s1=-0.43s2=-1.57s2没有位于根轨迹上，舍去。没有位于根轨迹上，舍去。600j0p1 p3p2-1-2本讲稿第二十二页，共三十八页例例 已知系统的开环传递函数，试确定已知系统的开环传递函数，试确定 系统的根轨迹图。系统的根轨迹图。解：解：，(s+1)(s+2)Kr(s+3)G(s)H(s)=1）开环零、极点）开环零、极点 2）实轴上的根轨迹段）实轴上的根轨迹段 p1p2z1-8p2=-2p1=-1z1=-3 3）根）根轨轨迹的迹的渐渐近近线线 有一条根有一条根轨轨迹迹趋趋于无于无穷远穷远n-m=1渐近线与实轴的夹角：渐近线与实轴的夹角：1(2k+1)+=+180O=4）分
16、离点和会合点）分离点和会合点KrB(s)+A(s)=0A(s)=S2+3S+2B(s)=S+3B(s)=1A(s)=2S+3整理得整理得 (S2+3S+2)=(2S+3)(S+3)S2+6S+27=0 解方程得解方程得 s1=-1.6s2=-4.4根根轨轨迹的分离点迹的分离点根根轨轨迹的会合点迹的会合点5).根轨迹根轨迹 j0p1 z1p2-1-2-3本讲稿第二十三页，共三十八页6)根轨迹与虚轴的根轨迹与虚轴的交点交点交点 例例 已知系统开环已知系统开环 解解 已知与虚轴交点处已知与虚轴交点处求与虚轴交点求与虚轴交点系统特征方程为系统特征方程为代入代入虚部为零实部为零解得：解得：也可以用劳斯表
17、求交点本讲稿第二十四页，共三十八页7 7）根轨迹的）根轨迹的出射角出射角和和入射角入射角出射角公式：出射角公式：所有开环有限零点到该点矢量的相角除起点外开环极点到该点矢量的相角入射角公式：入射角公式：8 8）闭环特征方程）闭环特征方程根之和根之和与与根之积根之积a a）(n-m)2(n-m)2时，时，根之和根之和与根轨迹增益与根轨迹增益 K Kg g 无关无关，是个常，是个常数，即数，即b b）根之和不变）根之和不变 K Kg g 增大，一些根轨迹分支向增大，一些根轨迹分支向左左移动，则移动，则一定会相应有另外一些根轨迹分支向一定会相应有另外一些根轨迹分支向右右移动。移动。闭环极点开环极点本讲
18、稿第二十五页，共三十八页闭环极点与特征方程的系数关系闭环极点与特征方程的系数关系（n-m2）=常数常数本讲稿第二十六页，共三十八页 例例11已知系统开环已知系统开环试绘制闭环系统的概略根轨迹试绘制闭环系统的概略根轨迹解解已知开环已知开环在在-1，0和和-，-2区间有根轨迹。区间有根轨迹。实轴上两个开环极点之间实轴上两个开环极点之间有根轨迹，必有分离点有根轨迹，必有分离点得得（不合理）（不合理）渐近线渐近线虚轴交点虚轴交点将将 s=j 代入特征方程代入特征方程本讲稿第二十七页，共三十八页例例2已知系统的开环传递函数已知系统的开环传递函数试绘制闭环系统的概略根轨迹试绘制闭环系统的概略根轨迹解解由开
19、环传递函数知由开环传递函数知将零、极点标在图上将零、极点标在图上实轴上实轴上-3，0有根轨迹有根轨迹求分离点求分离点求导求导试探法，得试探法，得代入得代入得求渐近线求渐近线n-m=4 有四条渐近线求与虚轴交点求与虚轴交点代入特征方程代入特征方程画出根轨迹画出根轨迹本讲稿第二十八页，共三十八页幅幅值条件值条件相相角条件角条件模值方程与相角方程的应用模值方程与相角方程的应用所有开环零点到闭环 s 的距离所有开环极点到闭环 s 的距离所有开环零点指向闭环 s 的相角所有开环极点指向闭环 s 的相角本讲稿第二十九页，共三十八页S1=1.5+j1.2553幅幅k*=0.2643.826相相39.91.8
20、2668.35.576147.91.82613.82621.826111.7160.3164.4k*=0.266180.3o本讲稿第三十页，共三十八页4.3 参量根轨迹广义根轨迹 初根轨迹初根轨迹 Kg 以外，系统其它参数变化时的根轨迹以外，系统其它参数变化时的根轨迹称为参量根轨迹称为参量根轨迹（或广义根轨迹）。（或广义根轨迹）。1.开环开环零零点变化的根轨迹点变化的根轨迹 设系统开环传递函数为设系统开环传递函数为没有附加开环零点情况没有附加开环零点情况相当于设置设置设置设置零点在 2 左边时根轨迹与虚轴有交点，在右边时，根轨迹与虚轴没有交点。设置设置本讲稿第三十一页，共三十八页在在虚虚轴轴的
21、的左左边边配配置置适适当当的的零零点点本讲稿第三十二页，共三十八页2.开环开环极极点变化的根轨迹点变化的根轨迹 设系统开环传递函数为设系统开环传递函数为没有配置极点没有配置极点配置极点配置极点配置极点配置极点配置极点配置极点本讲稿第三十三页，共三十八页配配置置在在虚虚轴轴左左边边的的极极点点要要远远离离虚虚轴轴本讲稿第三十四页，共三十八页RYRYRY闭环传递函数分母一样，所以闭环传递函数分母一样，所以极点极点是是一样一样的。的。A系统开环具有零点，系统开环具有零点，闭环也闭环也有有零点并且相同。零点并且相同。B系统开环具有零点，但闭环系统开环具有零点，但闭环没没有零点。有零点。AB但是不是都具有闭环零点！但是不是都具有闭环零点！控制器控制器被控对象被控对象测量装置测量装置指令指令被控参数被控参数本讲稿第三十五页，共三十八页4.4 系统性能的根轨迹分析本讲稿第三十六页，共三十八页练习练习画出概略根轨迹画出概略根轨迹（a）（b）（c）（d）本讲稿第三十七页，共三十八页作业：作业：4-3本讲稿第三十八页，共三十八页