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1、第二章极限与连续高第二章极限与连续高等数学等数学第1页，共134页，编辑于2022年，星期二 设设 函函 数数yn=f(n),其其中中n 为为 正正 整整 数数,那那么么按按自自变变量量 n 增增大大的的顺顺序序排排列列的的一一串串数数 f(1),f(2),f(3),f(n),称称之之为为数数列列,记记作作 yn 或数列或数列 yn.简单地说：数列就是定义在正整数集合上的函数一、数列的极限一、数列的极限数列数列第一张幻灯片第2页，共134页，编辑于2022年，星期二-单调减少-单调增加-有界但不单调例例第3页，共134页，编辑于2022年，星期二前面三个数列当前面三个数列当n无限增大时的极限可
2、分别表示为无限增大时的极限可分别表示为第4页，共134页，编辑于2022年，星期二 显显然然，数数列列 yn 无无限限地地接接近近于于 1，可可用用数数列列 yn与与 1 之之差差的的绝绝对对值可以任意地小来描述值可以任意地小来描述.如果用符号如果用符号 e e 表示任意小的正数，表示任意小的正数，那么就可用那么就可用|yn 1|e e 表示表示.于是数列于是数列 yn 的极限现象可表述为：当的极限现象可表述为：当 n 无限变大时，就有无限变大时，就有|yn 1|e e.一般地，当一般地，当 n 无限变大时，数列无限变大时，数列 yn 无限接近于一个常数无限接近于一个常数 A 的极限现象可定义
3、如下：的极限现象可定义如下：第5页，共134页，编辑于2022年，星期二对任意给定的正数对任意给定的正数 e e，总存在正数，总存在正数N，当，当nN时，恒有时，恒有|yn A|N 时时，点点 yn 都都落落在在点点 A 的的 e e 邻邻域域内，而不管内，而不管 e e 有多么小有多么小(如图如图)，形形 象象 一一 点点讲，数列讲，数列 yn 会密集在点会密集在点 A 的周围的周围.AA e eA+e eyN+1yN+2Ox如如果果把把数数列列 yn 中中每每一一项项都都用用数数轴轴 Ox 上上一一个个点点来来表示，那么数列表示，那么数列 yn 趋向于趋向于 A 可解释为可解释为:数列极限
4、的几何意义数列极限的几何意义第7页，共134页，编辑于2022年，星期二发散数列：发散数列：当当 n 时时,数数列列不不趋趋于于某某个个固固定定常常数数 A，称称为为发散数列发散数列.第8页，共134页，编辑于2022年，星期二A发散发散不确定不确定-收敛收敛收敛的数列一定有界收敛的数列一定有界返回本章目录返回本章目录第9页，共134页，编辑于2022年，星期二函数极限函数极限第一张幻灯片第10页，共134页，编辑于2022年，星期二 对对于任意于任意给给定的正数定的正数，总总存一个正数存一个正数M，当，当时时，恒有，恒有 成立，成立，则则称当称当时时，函数，函数以以为为极限，极限，记记作作
5、或或 当当 时，时，的极限的极限第11页，共134页，编辑于2022年，星期二yx0(1)第12页，共134页，编辑于2022年，星期二(2)(3)0 xyxy0第13页，共134页，编辑于2022年，星期二例例第14页，共134页，编辑于2022年，星期二作直线作直线 y=A e e 和和 y=A e e A e eAA e eNyOx不不管管它它们们之之间间的的距距离离有有多多么么小小，当当 x N 时时，曲曲线线 y=f(x)一定落在这两条直线之间一定落在这两条直线之间.的几何意义的几何意义第15页，共134页，编辑于2022年，星期二当 x 1 时，趋 向 于 什 么？当当 时，时，函
6、数函数 的极限的极限显然有0 xy1f(x)在当x1时是否有极限与在X=1点处是否有定义无关和 第16页，共134页，编辑于2022年，星期二定义：定义：如果当如果当 x 无限接近于无限接近于 x0 时，恒有时，恒有|f(x)-A|e e (e e 是任意小的正数是任意小的正数)则则称称当当自自变变量量 x 趋趋于于 x0 时时，函函数数 f(x)趋趋于于 A，记作记作 x 无限接近无限接近 x0 即为即为 0|x-x 0|d d.（d d 充分小的正数）充分小的正数）第17页，共134页，编辑于2022年，星期二A A e e f(x)A e eAA e eA A e ey=f(x)x0 d
7、 dx0+d dx0yxO 不不论论它它们们之之间间的的距距离离有有多多么么小小.只要只要 x 进入进入 是是指指：当当 0|x-x0|d d 时时，恒恒有有|f(x)-A|e e.即即作两条直线作两条直线：y=A e e y=A e e 的的d d邻邻域域内内，曲曲线线 y=f(x)就会落在这两条直线之间就会落在这两条直线之间.几何意义几何意义第18页，共134页，编辑于2022年，星期二当当自自变变量量 x 从从不不同同方方向向趋趋于于 x0 时时，函函数数 f(x)趋趋向于向于 A 的极限，的极限，此时称此时称 A 是函数是函数 f(x)的单侧限的单侧限。-右极限-左极限极限存在定理左右
8、极限左右极限第19页，共134页，编辑于2022年，星期二例例 1试求函数试求函数 解解:函数函数 f(x)在在 x=0 处左、右极限存在但不相等，处左、右极限存在但不相等，所以所以 不存在不存在.第20页，共134页，编辑于2022年，星期二函数函数 f(x)在在 x=1 处左、右极限存在而且相等，所处左、右极限存在而且相等，所以有以有第21页，共134页，编辑于2022年，星期二例例 2解解例例 3解解第22页，共134页，编辑于2022年，星期二 解解 例例 4 设函数设函数求求第23页，共134页，编辑于2022年，星期二例例 2,3 和和 4 说明了下列几种重要现象：说明了下列几种重
9、要现象：(1)函函数数 f(x)在在 x0 处处极极限限存存在在，但但函函数数 f(x)在在 x0 处处可可以以没没有有定义定义(如例如例 2).(2)函数函数 f(x)在在 x0 处虽然有定义，且在处虽然有定义，且在 x0 处有极限，处有极限，但两者不但两者不等，等，(3)函数函数 f(x)在在 x0 处有定义，也有极限且两者相等处有定义，也有极限且两者相等.第24页，共134页，编辑于2022年，星期二 若若 x x0(或或 x )时时，函函数数 f(x)的的极极限限存存在在,则则函函数数 f(x)在在 x0 的的一一个个空空心心小小邻邻域域内内(或或|x|充分大范围内充分大范围内)有界有
10、界.定理定理第25页，共134页，编辑于2022年，星期二 设变量在变化过程中无限地趋于一个常数设变量在变化过程中无限地趋于一个常数 A，就称，就称该变量以该变量以 A 为极限，记作为极限，记作三、变量的极限三、变量的极限三、变量的极限三、变量的极限变量变量 y 若若为具体函数，则不能使用通用记号，必须在极为具体函数，则不能使用通用记号，必须在极限符号下面要写明所研究的变量的自变量的变化过程限符号下面要写明所研究的变量的自变量的变化过程.第一张幻灯片第26页，共134页，编辑于2022年，星期二第27页，共134页，编辑于2022年，星期二 返回本章目录返回本章目录第28页，共134页，编辑于
11、2022年，星期二四、无穷小量与无穷大量四、无穷小量与无穷大量第一张幻灯片第29页，共134页，编辑于2022年，星期二无穷大量无穷大量如果，则称变量是在该变化过程中的无穷大量，简称无穷大。第30页，共134页，编辑于2022年，星期二无穷小量无穷小量以零为极限的变量称为无穷小量，简称无穷小即，常用等表示。零是唯一可以作为无穷小量的常数零是唯一可以作为无穷小量的常数第31页，共134页，编辑于2022年，星期二 如果变量以A为极限的充分必要条件是变量可以表示为A与无穷小量之和，即 定理定理第32页，共134页，编辑于2022年，星期二在相同的变化趋势下在相同的变化趋势下 有界变量与无穷小量之积
12、仍是无穷小量（常有界变量与无穷小量之积仍是无穷小量（常数与无穷小量之积仍是无穷小量）。数与无穷小量之积仍是无穷小量）。两个无穷小量的代数和仍是无穷小量（可推两个无穷小量的代数和仍是无穷小量（可推广）。广）。两个无穷小量之积仍是无穷小量（可推广）两个无穷小量之积仍是无穷小量（可推广）定理定理第33页，共134页，编辑于2022年，星期二例例第34页，共134页，编辑于2022年，星期二 为有界函数，为有界函数，证证例例第35页，共134页，编辑于2022年，星期二无穷大量与无穷小量的关系无穷大量与无穷小量的关系 在变量的变化过程中，如果是无穷大量，则是无穷小量；是无穷小量，则是无穷大量。第36页
13、，共134页，编辑于2022年，星期二无穷小量阶的比较无穷小量阶的比较定义：定义：第37页，共134页，编辑于2022年，星期二例例第38页，共134页，编辑于2022年，星期二极限的运算法则极限的运算法则极限的运算法则极限的运算法则定理定理:在某一变化过程中，若在某一变化过程中，若幻灯片 1第39页，共134页，编辑于2022年，星期二故由无穷小量的定理可推得故由无穷小量的定理可推得 lim(x y)=A B=lim x lim y 证证第40页，共134页，编辑于2022年，星期二(2)因为因为x y=(A a a )(B b b)=AB (Ab b Ba a a a b b)因为因为 A
14、b b,Ba a，a a b b 均为无穷小量，所以均为无穷小量，所以商的极限运算法则的证明从略商的极限运算法则的证明从略.lim(x y)=AB=lim x lim y第41页，共134页，编辑于2022年，星期二推论推论 1lim c y=c lim y推论推论 2第42页，共134页，编辑于2022年，星期二 求极限求极限 例例第43页，共134页，编辑于2022年，星期二第44页，共134页，编辑于2022年，星期二第45页，共134页，编辑于2022年，星期二第46页，共134页，编辑于2022年，星期二第47页，共134页，编辑于2022年，星期二第48页，共134页，编辑于202
15、2年，星期二m、n为正整数。为常数第49页，共134页，编辑于2022年，星期二证证第50页，共134页，编辑于2022年，星期二求极限求极限 第51页，共134页，编辑于2022年，星期二第52页，共134页，编辑于2022年，星期二第53页，共134页，编辑于2022年，星期二 第54页，共134页，编辑于2022年，星期二 第55页，共134页，编辑于2022年，星期二第56页，共134页，编辑于2022年，星期二例例分别讨论当时，的极限是否存在，并求第57页，共134页，编辑于2022年，星期二 第58页，共134页，编辑于2022年，星期二练习练习第59页，共134页，编辑于2022
16、年，星期二第60页，共134页，编辑于2022年，星期二解：解：练习练习即即所以当所以当 x 1 时时为无穷大量，为无穷大量，第61页，共134页，编辑于2022年，星期二解解练习练习第62页，共134页，编辑于2022年，星期二解解练习练习第63页，共134页，编辑于2022年，星期二练习练习 求极限求极限第64页，共134页，编辑于2022年，星期二（无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量）第65页，共134页，编辑于2022年，星期二例例第66页，共134页，编辑于2022年，星期二极限存在准则极限存在准则极限存在准则极限存在准则第67页，共134页，编辑于2022年，星期二在某个变化过程中
17、，三个变量总有关系，且准则准则1：夹值定理：夹值定理第68页，共134页，编辑于2022年，星期二证明 证证明明：第69页，共134页，编辑于2022年，星期二准则准则2：单调有界定理：单调有界定理单调有界数列一定有极限单调有界数列一定有极限定义定义第70页，共134页，编辑于2022年，星期二(1)是单调增加数列，且，所以有 (2)是单调减少数列，且，所以有例例幻灯片 1第71页，共134页，编辑于2022年，星期二两个重要极限幻灯片 1第72页，共134页，编辑于2022年，星期二 AOB 面积 扇形AOB 面积 0 f(1)=-2 0因此至少存在一点因此至少存在一点 c (0 1)，使得
18、，使得 f(c)=0.故所给方程在故所给方程在(0 1)内至少有一个实根内至少有一个实根.第127页，共134页，编辑于2022年，星期二证明方程 在区间各有一实根。证证明：明：设由根的存在定理，至少存在点 使又因为是三次方程，最多有三个根，且分别在区间则内。第128页，共134页，编辑于2022年，星期二总复习第129页，共134页，编辑于2022年，星期二第130页，共134页，编辑于2022年，星期二第131页，共134页，编辑于2022年，星期二第132页，共134页，编辑于2022年，星期二第133页，共134页，编辑于2022年，星期二第134页，共134页，编辑于2022年，星期二