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1、第四章导热问题的数值解法本讲稿第一页，共三十九页1、重点内容：、重点内容：掌握导热问题数值解法的基本思路；掌握导热问题数值解法的基本思路；利用热平衡法和泰勒级数展开法建立节点利用热平衡法和泰勒级数展开法建立节点的离散方程。的离散方程。2、掌握内容：、掌握内容：数值解法的实质。数值解法的实质。3、了解内容：、了解内容：了解非稳态导热问题的两种了解非稳态导热问题的两种差分格式及其稳定性。差分格式及其稳定性。本讲稿第二页，共三十九页求解导热问题实际上就是对导热微分方程在定求解导热问题实际上就是对导热微分方程在定解条件下的积分求解，从而获得分析解。随着计算解条件下的积分求解，从而获得分析解。随着计算机
2、技术的迅速发展，对物理问题进行离散求解的数机技术的迅速发展，对物理问题进行离散求解的数值方法发展得十分迅速，这些数值解法主要有以下值方法发展得十分迅速，这些数值解法主要有以下几种：几种：（1 1）有限差分法）有限差分法 （2 2）有限元方法）有限元方法 （3 3）边界元方法）边界元方法 本讲稿第三页，共三十九页分析解法与数值解法的异同点：分析解法与数值解法的异同点：相同点：相同点：根本目的是相同的，即确定根本目的是相同的，即确定 t=f(x t=f(x，y y，z)z)；。不同点：不同点：数值解法求解的是区域或时间空数值解法求解的是区域或时间空间坐标系中离散点的温度分布代替连续的温度间坐标系中
3、离散点的温度分布代替连续的温度场；分析解法求解的是连续的温度场的分布特场；分析解法求解的是连续的温度场的分布特征，而不是分散点的数值。征，而不是分散点的数值。本讲稿第四页，共三十九页数值解法的实质数值解法的实质 对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括为：把对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热物原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上的值的集合来代替，通体的温度场等，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程
4、，来获得离散点上被求物理量的值。该方法称为数值解法。获得离散点上被求物理量的值。该方法称为数值解法。这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。的数值解。本讲稿第五页，共三十九页4-1导热问题数值求解的基本思想导热问题数值求解的基本思想及内部节点离散方程的建立及内部节点离散方程的建立建立控制方程及定解条件建立控制方程及定解条件确定节点（区域离散化）确定节点（区域离散化）建立节点物理量的代数方程建立节点物理量的代数方程设立温度场的迭代初值设立温度场的迭代初值求解代数方程求解代数方程是否收敛是否收敛解的分析解的分析改进初场改进初场是是否否物物理理问
5、问题题的的数数值值求求解解过过程程1本讲稿第六页，共三十九页二维矩形域内稳态无内热源，二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题常物性的导热问题2 例题条件例题条件（a）本讲稿第七页，共三十九页（b）xynm(m,n)MN3 基本概念：控制容积、网格线、节点、界面线、基本概念：控制容积、网格线、节点、界面线、步长步长二维矩二维矩形域内形域内稳态无稳态无内热源，内热源，常物性常物性的导热的导热问题问题本讲稿第八页，共三十九页如图（如图（a a）所示二维矩形域内无内热源、稳态、）所示二维矩形域内无内热源、稳态、常物性的导热问题采用数值解法的常物性的导热问题采用数值解法的步骤如下：步骤如下：（1 1
6、）建立控制方程及定解条件）建立控制方程及定解条件 针对图示的导热问题，它的控制方程（即针对图示的导热问题，它的控制方程（即导热导热微分方程微分方程）为：）为：本讲稿第九页，共三十九页（2 2）区域离散化（确立节点）区域离散化（确立节点）用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区域划分成若干个子区域，用网格线的交点作为域划分成若干个子区域，用网格线的交点作为需要确定温度值的空间位置，称为需要确定温度值的空间位置，称为节点节点(结点结点 )，节点的位置用该节点在两个方向上的标，节点的位置用该节点在两个方向上的标号号 m m，n n 表示。表示。相邻两节点间的距离称相邻
7、两节点间的距离称步长步长。如图如图(b)(b)所示。所示。本讲稿第十页，共三十九页 （3 3）建立节点物理量的代数方程（离散方程）建立节点物理量的代数方程（离散方程）节点上物理量的代数方程称离散方程。其过节点上物理量的代数方程称离散方程。其过程如下：程如下：首先划分各节点的类型；首先划分各节点的类型；其次，建立节点离散方程；其次，建立节点离散方程；最后，代数方程组的形成。最后，代数方程组的形成。对节点对节点(m,n)(m,n)的代数方程，当的代数方程，当 x=y x=y 时，时，有：有：本讲稿第十一页，共三十九页（4 4）设立迭代初场设立迭代初场 代数方程组的求解方法有直接解法与迭代代数方程组
8、的求解方法有直接解法与迭代解法，传热问题的有限差分法中主要采用迭解法，传热问题的有限差分法中主要采用迭代法。采用迭代法求解时，需对被求的温度代法。采用迭代法求解时，需对被求的温度场预先设定一个解，这个解称为初场，并在场预先设定一个解，这个解称为初场，并在求解过程中不断改进。求解过程中不断改进。本讲稿第十二页，共三十九页（5 5）求解代数方程组求解代数方程组求解时遇到的问题：求解时遇到的问题：线性；线性；非线性；非线性；收敛性收敛性等。等。如图如图 （b b），除），除 m=1 m=1 的左边界上各节点的温度的左边界上各节点的温度已知外，其余已知外，其余(M-1)N (M-1)N 个节点均需建立
9、离散方程，个节点均需建立离散方程，共有共有(M-1)N (M-1)N 个方程，则构成一个封闭的代数方个方程，则构成一个封闭的代数方程组。程组。1 1）线性代数方程组：）线性代数方程组：代数方程一经建立，其代数方程一经建立，其中各项系数在整个求解过程中不再变化；中各项系数在整个求解过程中不再变化；本讲稿第十三页，共三十九页2 2）非线性代数方程组：）非线性代数方程组：代数方程一经建立，其代数方程一经建立，其中各项系数中各项系数 在整个求解过程中不断更新。在整个求解过程中不断更新。3 3）是否收敛判断：）是否收敛判断：是指用迭代法求解代数方程是指用迭代法求解代数方程是否收敛，即本次迭代计算所得之解
10、与上一次是否收敛，即本次迭代计算所得之解与上一次迭代计算所得之解的偏差是否小于允许值。迭代计算所得之解的偏差是否小于允许值。本讲稿第十四页，共三十九页（6）解的分析解的分析通过求解代数方程，获得物体中的温度分通过求解代数方程，获得物体中的温度分布，根据温度场应进一步计算通过的热流量，布，根据温度场应进一步计算通过的热流量，热应力及热变形等。因此，对于数值分析计算热应力及热变形等。因此，对于数值分析计算所得的温度场及其它物理量应作详细分析，以所得的温度场及其它物理量应作详细分析，以获得定性或定量上的结论。获得定性或定量上的结论。本讲稿第十五页，共三十九页4 建立离散方程的常用方法：建立离散方程的
11、常用方法：(1)Taylor(1)Taylor（泰勒）级数展开法；（泰勒）级数展开法；(2)(2)多项式拟合法；多项式拟合法；(3)(3)控制容积积分法；控制容积积分法；(4)(4)控制容积平衡法控制容积平衡法(也称为热平衡法也称为热平衡法)本讲稿第十六页，共三十九页(1)泰勒级数展开法泰勒级数展开法根据泰勒级数展开式，用节点根据泰勒级数展开式，用节点(i,ji,j)的温度的温度t ti,ji,j来表示节点来表示节点(i+1,ji+1,j)而温度而温度t ti+1,ji+1,j用节点用节点(i,j)(i,j)的温度的温度t ti,ji,j来表示节点来表示节点(i-1,j)(i-1,j)的的温度
12、温度t ti-1,ji-1,j本讲稿第十七页，共三十九页将上两式相加可得将上两式相加可得将上式改写成将上式改写成 的表达式，有的表达式，有同样可得：同样可得：表示未明确写出的表示未明确写出的级数余项中的级数余项中的X X的最低阶数为的最低阶数为2 2本讲稿第十八页，共三十九页根据导热问题的控制方程根据导热问题的控制方程(导热微分方程导热微分方程)若若 x=y x=y 则有则有 得得本讲稿第十九页，共三十九页(2)控制容积平衡法控制容积平衡法(热平衡法热平衡法)基本思想：基本思想：是傅里叶导热定律和能量守恒定律的体现。是傅里叶导热定律和能量守恒定律的体现。对每个元体，可用傅里叶导热定律写出其能量
13、守恒对每个元体，可用傅里叶导热定律写出其能量守恒的表达式。如图所示，的表达式。如图所示，从节点从节点(m-1,n)(m-1,n)通过界面通过界面 w w 传导到节点传导到节点(m,n)(m,n)的热流量：的热流量：同理：通过界面同理：通过界面 e,n,s e,n,s 传导给节点（传导给节点（m,n m,n）的热流量也）的热流量也可求得可求得（省略）（省略）本讲稿第二十页，共三十九页对元体对元体(m,n).(m,n).根据能量守恒定律可知：根据能量守恒定律可知：其中，其中，规定：规定：导入元体（导入元体（m,n m,n）的热流量为）的热流量为正；导出元体（正；导出元体（m,n m,n）的热流量为
14、负。）的热流量为负。本讲稿第二十一页，共三十九页说明：说明：上述分析与推导是在笛卡儿坐标系中进行的；上述分析与推导是在笛卡儿坐标系中进行的；热平衡法概念清晰，过程简捷；热平衡法概念清晰，过程简捷；热平衡法与建立微分方程的思路与过程一致，热平衡法与建立微分方程的思路与过程一致，但不同的是前者是有限大小的元体，后者是微元但不同的是前者是有限大小的元体，后者是微元体。体。本讲稿第二十二页，共三十九页4-2 4-2 边界节点离散方程的建立边界节点离散方程的建立及代数方程的求解及代数方程的求解 对于第一类边界条件的热传导问题，处理比较简单，因为已对于第一类边界条件的热传导问题，处理比较简单，因为已知边界
15、的温度，可将其以数值的形式加入到内节点的离散方程中，知边界的温度，可将其以数值的形式加入到内节点的离散方程中，组成封闭的代数方程组，直接求解。组成封闭的代数方程组，直接求解。而对于第二类或第三类边界条件的导热问题，所有内节点而对于第二类或第三类边界条件的导热问题，所有内节点的离散方程组成的代数方程组是不封闭的，因未知边界温度，的离散方程组成的代数方程组是不封闭的，因未知边界温度，因而应对位于该边界上的节点补充相应的代数方程，才能使方因而应对位于该边界上的节点补充相应的代数方程，才能使方程组封闭，以便求解。程组封闭，以便求解。为了求解方便，这里我们将第二类边界条件及第三类边界条为了求解方便，这里
16、我们将第二类边界条件及第三类边界条件合并起来考虑，用件合并起来考虑，用q qw w表示边界上的热流密度或热流密度表达表示边界上的热流密度或热流密度表达式。式。为使结果更具一般性，假设物体具有内热源为使结果更具一般性，假设物体具有内热源 (不必均不必均匀分布匀分布)。本讲稿第二十三页，共三十九页如图所示如图所示 边界节点边界节点(m,n)(m,n)只能代表半个元体，若边界上只能代表半个元体，若边界上有向该元体传递的热流密度为有向该元体传递的热流密度为 ，据能量守恒定律对该元体，据能量守恒定律对该元体有：有：1.1.边界节点离散方程的建立：边界节点离散方程的建立：(1)(1)平直边界上的节点平直边
17、界上的节点本讲稿第二十四页，共三十九页xyqw本讲稿第二十五页，共三十九页(2)(2)外部角点外部角点如图所示，二维墙角计算区域中，该节点外角点仅代如图所示，二维墙角计算区域中，该节点外角点仅代表表 1/4 1/4 个以个以 为边长的元体。假设边界上为边长的元体。假设边界上有向该元体传递的热流密度为有向该元体传递的热流密度为 ，则据能量守恒定，则据能量守恒定律得其热平衡式为：律得其热平衡式为：本讲稿第二十六页，共三十九页xyqw本讲稿第二十七页，共三十九页(3)(3)内部角点内部角点如图所示内部角点代表了如图所示内部角点代表了 3/4 3/4 个元体，在同样的假设个元体，在同样的假设条件下有条
18、件下有本讲稿第二十八页，共三十九页xyqw本讲稿第二十九页，共三十九页讨论关于边界热流密度的三种情况：讨论关于边界热流密度的三种情况：（1 1）绝热边界）绝热边界即令上式即令上式 即可。即可。（2 2）值不为零值不为零流入元体，流入元体，取正，流出元体，取正，流出元体，取负使用上述取负使用上述公式公式 （3 3）对流边界）对流边界此时此时 ，将此表达式代入上述方程，并将此，将此表达式代入上述方程，并将此项中的项中的 与等号前的与等号前的 合并。对于合并。对于 的情形有的情形有本讲稿第三十页，共三十九页（a a）平直边界）平直边界（b b）外部角点）外部角点（c c）内部角点）内部角点本讲稿第三
19、十一页，共三十九页2 代数方程的求解方法代数方程的求解方法 2 2）迭代法：迭代法：先对要计算的场作出假设（设定先对要计算的场作出假设（设定初场），在迭代计算中不断予以改进，直到初场），在迭代计算中不断予以改进，直到计算前的假定值与计算结果相差小于允许值计算前的假定值与计算结果相差小于允许值为止的方法，称迭代计算收敛。为止的方法，称迭代计算收敛。1 1）直接解法：直接解法：通过有限次运算获得精确解的通过有限次运算获得精确解的方法，如：矩阵求解，高斯消元法。方法，如：矩阵求解，高斯消元法。本讲稿第三十二页，共三十九页2迭代法目前应用较多的是：迭代法目前应用较多的是：1 1）高斯）高斯赛德尔迭代法
20、：赛德尔迭代法：每次迭代计算，均每次迭代计算，均是使用节点温度的最新值。是使用节点温度的最新值。2 2）用雅可比迭代法：）用雅可比迭代法：每次迭代计算，均用上每次迭代计算，均用上一次迭代计算出的值。一次迭代计算出的值。本讲稿第三十三页，共三十九页设有一三元方程组设有一三元方程组：其中其中 （i=1,2,3 i=1,2,3；j=1,2,3 j=1,2,3）及）及 是已知的系数（均不为零）及常数。是已知的系数（均不为零）及常数。本讲稿第三十四页，共三十九页采用高斯采用高斯赛德尔迭代法的步骤：赛德尔迭代法的步骤：（1 1）将三元方程变形为迭式方程：）将三元方程变形为迭式方程：本讲稿第三十五页，共三十
21、九页（2 2）假设一组解（迭代初场），记为）假设一组解（迭代初场），记为：并代入迭代方程求得第一并代入迭代方程求得第一 次解次解 每次计算均用最新值代入。每次计算均用最新值代入。（3 3）以新的初场）以新的初场 重复计算，直到相邻两重复计算，直到相邻两次迭代值之差小于允许值，则称迭代收敛，次迭代值之差小于允许值，则称迭代收敛，计算终止。计算终止。本讲稿第三十六页，共三十九页判断迭代是否收敛的准则：判断迭代是否收敛的准则：k k及及k+1k+1表示迭代次数；表示迭代次数；第第k k次迭代得到的最大值次迭代得到的最大值当有接近于零的当有接近于零的t t 时，第三个较好时，第三个较好本讲稿第三十七页
22、，共三十九页说明：说明：1 1）对于一个代数方程组，若选用的迭代方式不）对于一个代数方程组，若选用的迭代方式不合适，有可能导致发散，即称合适，有可能导致发散，即称迭代过程发散迭代过程发散；2 2）对于常物性导热问题，组成的差分方程组，）对于常物性导热问题，组成的差分方程组，迭代公式的选择应使一个迭代变量的系数总是迭代公式的选择应使一个迭代变量的系数总是大于或等于该式中其他变量系数绝对值的代数大于或等于该式中其他变量系数绝对值的代数和，此时，结果一定收敛。和，此时，结果一定收敛。本讲稿第三十八页，共三十九页3 3）采用热平衡法导出差分方程时，若每一个）采用热平衡法导出差分方程时，若每一个方程都选用导出该方程中心节点的温度作为迭方程都选用导出该方程中心节点的温度作为迭代变量，则上述条件必满足，迭代一定收敛。代变量，则上述条件必满足，迭代一定收敛。这一这一条件条件数学上称主对角线占优（对角占优）；数学上称主对角线占优（对角占优）；本讲稿第三十九页，共三十九页