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1、专题三力与曲线运动第1页，共44页，编辑于2022年，星期三1.高考对本专题知识的考查中，选择题和计算题两种题高考对本专题知识的考查中，选择题和计算题两种题型均存在难度中等，分值较多，占型均存在难度中等，分值较多，占20分左右分左右,是每年高考是每年高考的重点和热点内容的重点和热点内容.2.本专题知识主要考查平抛类、本专题知识主要考查平抛类、平抛运动平抛运动及其相关联的及其相关联的综合问题综合问题匀速圆周运动及其重要公式匀速圆周运动及其重要公式；万有引力定律及万有引力定律及其在天体运行其在天体运行、航空航天中的应用、航空航天中的应用.平抛及圆周运知平抛及圆周运知 识识还经常与带电体在还经常与带
2、电体在电场、磁电场、磁 场、场、复合场中的运动问题复合场中的运动问题相相结合进行结合进行 综合考查综合考查.考情上线考情上线第2页，共44页，编辑于2022年，星期三曲线运动的特点曲线运动的特点1.运动特点：做曲线运动的物体，其运动特点：做曲线运动的物体，其速度的方向速度的方向时刻时刻 在变化，而在变化，而速度的大小不一定变化速度的大小不一定变化(如匀速圆周运动如匀速圆周运动).2.受力特点：由于曲线运动是变速运动，必然具有加受力特点：由于曲线运动是变速运动，必然具有加 速度，物体一定受外力作用，速度，物体一定受外力作用，而且合外力与速度不而且合外力与速度不 共线，其方向指向轨迹曲线的凹侧共线
3、，其方向指向轨迹曲线的凹侧.若将所有外力沿若将所有外力沿 速度方向和垂直于速度方向正交分解，则速度方向速度方向和垂直于速度方向正交分解，则速度方向 的合力改变速度的大小，产生切向加速度，垂直的合力改变速度的大小，产生切向加速度，垂直 于于 速度方向的合力改变速度的方向，产生向心加速度速度方向的合力改变速度的方向，产生向心加速度.知识扫描知识扫描第3页，共44页，编辑于2022年，星期三 做曲线运动的物体受到与速度不共线的合做曲线运动的物体受到与速度不共线的合外力，若合外力为恒力，加速度为一恒量，则外力，若合外力为恒力，加速度为一恒量，则物体做匀变速曲线运动物体做匀变速曲线运动(如抛体运动如抛体
4、运动)；若合外；若合外力是变力，则物体做变速曲线运动力是变力，则物体做变速曲线运动(如圆周运如圆周运动动).知识扫描知识扫描第4页，共44页，编辑于2022年，星期三v力与曲线运动力与曲线运动条条件件合力合力F与与v不在一条直线上不在一条直线上FFtFn牛顿第二牛顿第二定律定律运动的合运动的合成分解成分解Ftmat改变速度大小改变速度大小切线方向切线方向Fnman改变速度方向改变速度方向法线方向法线方向独立性独立性同时性同时性等效性等效性曲线曲线 两正交的直线运动两正交的直线运动第5页，共44页，编辑于2022年，星期三平抛运动规律平抛运动规律水平方向水平方向速度速度位移位移竖直方向竖直方向速
5、度速度位移位移合运动合运动速度速度位移位移xyOxysvxvyv轨迹方程轨迹方程v0第6页，共44页，编辑于2022年，星期三运动时间运动时间水平射程水平射程位移偏转角位移偏转角速度偏转角速度偏转角xyOxysvxvyv第7页，共44页，编辑于2022年，星期三 匀速圆周运动匀速圆周运动匀速圆周运匀速圆周运动的条件动的条件具有一定的线速度速度具有一定的线速度速度合力大小不变始终指向圆心合力大小不变始终指向圆心 向心力向心力匀速圆周运匀速圆周运动的规律动的规律线速度线速度周期周期 频率频率 转速转速向心加速度向心加速度角速度角速度向心力向心力知识扫描知识扫描第8页，共44页，编辑于2022年，星
6、期三竖直平面竖直平面内的圆周内的圆周运动特点运动特点两种模型两种模型绳绳圆环内侧圆环内侧杆杆圆环外侧圆环外侧两种模型在最高点的两种模型在最高点的临界条件临界条件线速度大小变化线速度大小变化切线方向的力改变速度大小切线方向的力改变速度大小合力不一般不是向心力合力不一般不是向心力沿半径方向的力提供向心力改变速度方向沿半径方向的力提供向心力改变速度方向两种模型在最高点两种模型在最高点及最低点的受力及最低点的受力绳、杆、光滑圆环、光滑绳、杆、光滑圆环、光滑环管形式下的竖直平面圆环管形式下的竖直平面圆周运动，只有重力做功，周运动，只有重力做功，机械能守恒机械能守恒基本基本题型题型第9页，共44页，编辑于
7、2022年，星期三绳模型绳模型(内环模型内环模型)过最高点，绳的拉力过最高点，绳的拉力T(环的压力环的压力)只能指向圆心只能指向圆心临界条件：临界条件：T 0 0第10页，共44页，编辑于2022年，星期三临界条件：临界条件：N mg杆模型杆模型(环管模型环管模型)过过最最高高点点，杆杆可可以以施施加加的的指指向向圆圆心心拉拉力力(环环管管的的压压力力)和背向圆心的支持力和背向圆心的支持力(环管的支持力环管的支持力)mgNmgmgN第11页，共44页，编辑于2022年，星期三人造人造卫星卫星发射：第一宇宙速度发射：第一宇宙速度运行：引力提供向心力运行：引力提供向心力变轨：变轨：同步同步卫星卫星
8、脱轨脱轨变轨变轨新轨新轨原轨道发动机加速或减速原轨道发动机加速或减速低低高高 引力做负功引力做负功 减速减速高高低低 引力做正功引力做正功 加速加速稳定运行稳定运行知识扫描知识扫描第12页，共44页，编辑于2022年，星期三考点一考点一 平抛平抛(类平抛类平抛)运动问题运动问题例例1.(2009芜湖模拟芜湖模拟)如图如图38所示，在所示，在x xOy y平平面上第面上第象限内有平行于象限内有平行于y y轴的有界匀强电场，轴的有界匀强电场，方向如图所示，方向如图所示，y y轴上一点轴上一点P的坐标为的坐标为(0，y y0)，有一电子以垂直于，有一电子以垂直于y y轴的初速度轴的初速度v v0从从
9、P点点垂直射入电场中，当匀强电场的场强为垂直射入电场中，当匀强电场的场强为E1时，时，电子从电子从A点射出，点射出，A点坐标为点坐标为(x xA,0)，当电，当电场强度为场强度为E2时，电子从时，电子从B点射出，点射出，B点坐标点坐标为为(x xB,0)，已知电子的电荷量为，已知电子的电荷量为e，质量为，质量为m m，不计电子的重力，不计电子的重力，E1、E2未知未知.第13页，共44页，编辑于2022年，星期三(1)求匀强电场的场强求匀强电场的场强E1、E2之比；之比；(2)若在第若在第象限过象限过Q点放一张垂直于点放一张垂直于x xOy y平面的感光平面的感光胶片，胶片，Q点的坐标为点的坐
10、标为(0，y y0)，求感光胶片上两曝，求感光胶片上两曝光点的横坐标光点的横坐标x xA、x xB之比之比.思路点拨思路点拨解答本题时应注意把握以解答本题时应注意把握以下三点：下三点：(1)电子的重力不计；电子的重力不计；(2)电子受的电场力沿电子受的电场力沿y轴负方向，且轴负方向，且在电场中做类平抛运动；在电场中做类平抛运动；(3)电子出电场以后做匀速直线运动电子出电场以后做匀速直线运动.第14页，共44页，编辑于2022年，星期三第15页，共44页，编辑于2022年，星期三(2)第16页，共44页，编辑于2022年，星期三研究平抛运动和类平抛运动的基本方法是把平抛研究平抛运动和类平抛运动的
11、基本方法是把平抛或类平抛运动沿速度方向和垂直速度方向进行分解，或类平抛运动沿速度方向和垂直速度方向进行分解，然后分别在这两个方向上应用直线运动的相关规律列然后分别在这两个方向上应用直线运动的相关规律列方程求解方程求解.方法小结方法小结第17页，共44页，编辑于2022年，星期三1.如图如图39所示，在水平地面所示，在水平地面A处以初速度处以初速度v v0抛出一抛出一 小球，恰好水平经过光滑的半圆形轨道的最低点小球，恰好水平经过光滑的半圆形轨道的最低点 B，已知半圆形轨道半径，已知半圆形轨道半径R0.2 m，B点离地面的点离地面的 高度也为高度也为R，A点到点到B点的水平距离为点的水平距离为2R
12、，重力加，重力加 速度速度g g10 m/s2，求：，求：(1)小球从小球从A运动到运动到B的时间；的时间；(2)小球的初速度小球的初速度v v0；(3)小球能否到达半圆形轨道的最高点小球能否到达半圆形轨道的最高点C.第18页，共44页，编辑于2022年，星期三考点二考点二 圆周运动问题分析圆周运动问题分析9.(2009昆明模拟昆明模拟)如图如图8所示，斜轨道与半径为所示，斜轨道与半径为R的半圆的半圆 轨道平滑连接，点轨道平滑连接，点A与半圆轨道最高点与半圆轨道最高点C等高，等高，B为轨为轨 道最低点道最低点.现让小滑块现让小滑块(可视为质点可视为质点)从从A点开始以速度点开始以速度v0 沿斜
13、面向下运动，不计一切摩擦，关于滑块运动情况沿斜面向下运动，不计一切摩擦，关于滑块运动情况 的分析，正确的是的分析，正确的是()第19页，共44页，编辑于2022年，星期三A.若若v00，小滑块恰能通过，小滑块恰能通过C点，且离开点，且离开C点后做自点后做自 由落体运动由落体运动B.若若v00，小滑块恰能通过，小滑块恰能通过C点，且离开点，且离开C点后做平点后做平 抛运动抛运动C.若若v0 ，小滑块能到达，小滑块能到达C点，且离开点，且离开C点后做点后做 自由落体运动自由落体运动D.若若v0 ，小滑块能到达，小滑块能到达C点，且离开点，且离开C点后做点后做 平抛运动平抛运动第20页，共44页，编
14、辑于2022年，星期三9.(2009徐州模拟徐州模拟)如图如图315所示，一个所示，一个 圆弧形光滑细圆圆弧形光滑细圆 管轨道管轨道ABC放置在竖直平面内，轨道半径为放置在竖直平面内，轨道半径为R，在，在A点与点与 水平地面水平地面AD相接，地面与圆心相接，地面与圆心O等高，等高，MN是放在水平地是放在水平地 面上长为面上长为3R、厚度不计的垫子，左端、厚度不计的垫子，左端M正好位于正好位于A点点.将将 一个质量为一个质量为m、直径略小于圆管直径的小球从、直径略小于圆管直径的小球从A处管口处管口 正上方某处由静止释放，不考虑空气阻力正上方某处由静止释放，不考虑空气阻力.(1)若小球从若小球从C
15、点射出后恰好能打到垫子的点射出后恰好能打到垫子的M端，端，则小球经过则小球经过C点时对管的作用力大小和方向如点时对管的作用力大小和方向如何？何？(2)欲使小球能通过欲使小球能通过C点落到垫子上，小球离点落到垫子上，小球离A点的最大高度是多少？点的最大高度是多少？第21页，共44页，编辑于2022年，星期三第22页，共44页，编辑于2022年，星期三ABC ABC的角速度大小相等，所受静摩的角速度大小相等，所受静摩擦力提供向心力转速擦力提供向心力转速n增加（即角增加（即角速度速度增加），当向心力大于最大增加），当向心力大于最大静摩擦力，物体做离心运动静摩擦力，物体做离心运动则，则，aA=aBfB
16、相对滑动时的角速度相对滑动时的角速度 则则C先滑动先滑动第23页，共44页，编辑于2022年，星期三求解圆周运动问题时，经常遇到临界问题求解圆周运动问题时，经常遇到临界问题(1)绳模型中小球通过圆周最高点的临界条件是绳模型中小球通过圆周最高点的临界条件是FN0，向心力完全由重力提供向心力完全由重力提供.(2)对于竖直平面内的圆周运动要注意区分对于竖直平面内的圆周运动要注意区分“绳模型绳模型”和和“杆模型杆模型”，两种模型在最高点的临界条件不同，两种模型在最高点的临界条件不同.方法小结方法小结第24页，共44页，编辑于2022年，星期三等量同种点电荷电场的电场线等量同种点电荷电场的电场线非均匀分
17、布非均匀分布在此电场中，任何带电粒子在此电场中，任何带电粒子均不可能做匀速运动或匀变均不可能做匀速运动或匀变速运动速运动第25页，共44页，编辑于2022年，星期三第26页，共44页，编辑于2022年，星期三EEqmg思考：绝缘杆支撑一个带负电的小球如图，思考：绝缘杆支撑一个带负电的小球如图，另一带正电的小球（重力不能忽略）能否另一带正电的小球（重力不能忽略）能否在地面上空做匀速圆周运动？在地面上空做匀速圆周运动？第27页，共44页，编辑于2022年，星期三考点三考点三 万有引力定律在航天问题中的应用万有引力定律在航天问题中的应用5.(2009安徽高考安徽高考)2009年年2月月11日，俄罗斯
18、的日，俄罗斯的“宇宙宇宙2251”卫星和美国的卫星和美国的“铱铱33”卫星在西伯利亚上空约卫星在西伯利亚上空约805 km处处 发生碰撞发生碰撞.这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件 .碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境.假定假定 有甲、乙两块碎片，绕地球运动的轨道都是圆，甲的运有甲、乙两块碎片，绕地球运动的轨道都是圆，甲的运 行速率比乙的大，则下列说法中正确的是行速率比乙的大，则下列说法中正确的是()A.甲的运行周期一定比乙的长甲的运行周期一定比乙的长 B.甲距地面的高度一定比乙的高甲距地面的高度一
19、定比乙的高 C.甲的向心力一定比乙的小甲的向心力一定比乙的小 D.甲的加速度一定比乙的大甲的加速度一定比乙的大第28页，共44页，编辑于2022年，星期三4.(2009山东高考山东高考)2008年年9月月25日至日至28日，我国成功实施了日，我国成功实施了“神神舟舟”七号载人航天飞行并实现了航天员首次出舱七号载人航天飞行并实现了航天员首次出舱.飞船先飞船先 沿椭圆沿椭圆轨道飞行，后在远地点轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由千米处点火加速，由 圆轨道变成高度圆轨道变成高度为为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船 运行周期约为运行周期约为90分钟分钟.下列判
20、断正确的是下列判断正确的是()A.飞船变轨前后的机械能相等飞船变轨前后的机械能相等B.飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态C.飞船在此圆轨道上运动的角速度大于同步卫星运飞船在此圆轨道上运动的角速度大于同步卫星运 动的角速度动的角速度D.飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于 变轨后沿圆轨道运动的加速度变轨后沿圆轨道运动的加速度第29页，共44页，编辑于2022年，星期三7.探月卫星沿地月转移轨道到达月球探月卫星沿地月转移轨道到达月球 附近，在附近，在P P点进行第一次点进行第一次“刹车制动刹车制动
21、”后被月球捕获，进入椭圆轨道绕月飞行，如图后被月球捕获，进入椭圆轨道绕月飞行，如图313所示所示.若卫星的质量为若卫星的质量为m m远月远月点点Q距月球表面的高度为距月球表面的高度为h h，运行到，运行到Q点时它的角速度为点时它的角速度为,向心加速度为向心加速度为a a，月球的质量为，月球的质量为 M M，半径为，半径为R R，月球表面的重力加速度为，月球表面的重力加速度为g g，引力常量为，引力常量为G.G.则它在远月点时对月球的万有引力大小为则它在远月点时对月球的万有引力大小为()第30页，共44页，编辑于2022年，星期三.卫星变轨问题的分析方法卫星变轨问题的分析方法 卫星绕天体稳定运行
22、时，万有引力提供了卫星做匀速卫星绕天体稳定运行时，万有引力提供了卫星做匀速 圆周运动的向心力圆周运动的向心力.由此由此 可知轨道半径可知轨道半径r(卫星到地心的距离卫星到地心的距离)越大，卫星的速度越大，卫星的速度v 越小越小.当卫星由于某种原因速度当卫星由于某种原因速度v突然改变时，突然改变时，F引引和和m 不再相等，因此就不能再根据不再相等，因此就不能再根据v 来确定来确定r的大的大 小小.当当F引引 时，卫星做近心运动；当时，卫星做近心运动；当F引引 时，时，卫星卫星做离心运动做离心运动.注意：卫星在变轨瞬间其万有引力不变，但是速度瞬间注意：卫星在变轨瞬间其万有引力不变，但是速度瞬间变化
23、，变化，离心则速度变大离心则速度变大，向心速度变小，所以导致引力不等于向心力，向心速度变小，所以导致引力不等于向心力第31页，共44页，编辑于2022年，星期三10.(2009北京高考北京高考)已知地球半径为已知地球半径为R，地球表，地球表面重面重 力加速度为力加速度为g，不考虑地球自转的影响，不考虑地球自转的影响.(1)推导第一宇宙速度推导第一宇宙速度v v1的表达式；的表达式；(2)若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离 地面高度为地面高度为h h，求卫星的运行周期，求卫星的运行周期T T.第32页，共44页，编辑于2022年，星期三第33页，共4
24、4页，编辑于2022年，星期三（09天津天津12）（）（20分）分）2008年年12月，天文学家们通月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座人马座A*”的质量与太阳质量的倍数关系。研究发现，有一星体的质量与太阳质量的倍数关系。研究发现，有一星体S2绕人马座绕人马座A*做椭圆运动，其轨道半长轴为做椭圆运动，其轨道半长轴为9.5x102天天文单位（地球公转轨道的半径为一个天文单位），人马文单位（地球公转轨道的半径为一个天文单位），人马座座A*就处在该椭圆的一个焦点上。观测得到就处在该椭圆的一个焦点上。观测得到S2星的运星的运行周期为行周期为15.
25、2年。年。（1）若将）若将S2星的运行轨道视为半径星的运行轨道视为半径r=9.5x102天文单位天文单位的圆轨道，试估算人马座的圆轨道，试估算人马座A*的质量的质量MA是太阳质量是太阳质量Ms的多少倍的多少倍(结果保留一位有效数字结果保留一位有效数字)；第34页，共44页，编辑于2022年，星期三（1）S2星星绕绕人人马马座座A*做做圆圆周运周运动动的向心力由人的向心力由人马马座座A*对对S2星的万有引力提供，星的万有引力提供，设设S2星的星的质质量量为为mS2，角速度角速度为为，周期，周期为为T，则则设设地球地球质质量量为为mE，公，公转轨转轨道半径道半径为为rE，周期，周期为为TE，则则第
26、35页，共44页，编辑于2022年，星期三综综合上述三式得合上述三式得式中式中 TE=1年年 rE=1天文天文单单位位代入数据可得代入数据可得第36页，共44页，编辑于2022年，星期三（2）黑洞的第二宇宙速度极大，）黑洞的第二宇宙速度极大，处处于黑洞表面的粒于黑洞表面的粒子即使以光速运子即使以光速运动动，其具有的，其具有的动动能也不足以克服黑能也不足以克服黑洞洞对对它的引力束它的引力束缚缚。由于引力的作用，黑洞表面。由于引力的作用，黑洞表面处处质质量量为为m的粒子具有的粒子具有势势能能为为Ep=-GMm/R(设设粒子在离黑洞无限粒子在离黑洞无限远处远处的的势势能能为为零零)，式中，式中M、R
27、分分别别表示黑洞的表示黑洞的质质量和半径。已知引力量和半径。已知引力常量常量G=6.710-11Nm2/kg2，光速，光速c=3x108m/s，太阳，太阳质质量量Ms=2.01030kg，太阳半径，太阳半径Rs=7x108m，不考，不考虑虑相相对对论论效效应应，利用上，利用上问结问结果，在果，在经经典力学范典力学范围围内求人内求人马马座座A*的半径的半径RA与太阳半径之比与太阳半径之比应应小于多少（小于多少（结结果果按四舍五入保留整数）。按四舍五入保留整数）。第37页，共44页，编辑于2022年，星期三（2 2）引力）引力对对粒子作用不到的地方即粒子作用不到的地方即为为无限无限远远，此，此时时
28、粒粒子的子的势势能能为为零。零。“处处于黑洞表面的粒子即使以光速运于黑洞表面的粒子即使以光速运动动，其具有的其具有的动动能也不足以克服黑洞能也不足以克服黑洞对对它的引力束它的引力束缚缚”，说说明了黑洞表面明了黑洞表面处处以光速运以光速运动动的粒子在的粒子在远远离黑洞的离黑洞的过过程中程中克服引力做功，粒子在到达无限克服引力做功，粒子在到达无限远远之前，其之前，其动动能便减小能便减小为为零，此零，此时势时势能仍能仍为负值为负值，则则其能量其能量总总和小于零，和小于零，则则有有依依题题意可知意可知可得可得 第38页，共44页，编辑于2022年，星期三【解析】本题考查天体运动的知识。【解析】本题考查
29、天体运动的知识。其中第其中第2小题为信息题，如小题为信息题，如“黑洞黑洞”“引力势能引力势能”等陌生的知识都在题目中给出，考查学生提等陌生的知识都在题目中给出，考查学生提取信息，处理信息的能力，体现了能力立意取信息，处理信息的能力，体现了能力立意 第39页，共44页，编辑于2022年，星期三（2 2）引力）引力对对粒子作用不到的地方即粒子作用不到的地方即为为无限无限远远，此，此时时粒子的粒子的势势能能为为零。零。“处处于黑洞表面的粒子即使以光速于黑洞表面的粒子即使以光速运运动动，其具有的，其具有的动动能也不足以克服黑洞能也不足以克服黑洞对对它的引力束它的引力束缚缚”，说说明了黑洞表面明了黑洞表
30、面处处以光速运以光速运动动的粒子在的粒子在远远离黑离黑洞的洞的过过程中克服引力做功，粒子在到达无限程中克服引力做功，粒子在到达无限远远之前，之前，其其动动能便减小能便减小为为零，此零，此时势时势能仍能仍为负值为负值，则则其能量其能量总总和小于零，和小于零，则则有有依依题题意可知意可知可得可得第40页，共44页，编辑于2022年，星期三信息题处理方法信息题处理方法 对于天文方面的信息题，不少学生解题时往往大致看一下题对于天文方面的信息题，不少学生解题时往往大致看一下题目后，觉得从没见过就丧失信心，自动放弃，不愿仔细阅读，认目后，觉得从没见过就丧失信心，自动放弃，不愿仔细阅读，认真分析真分析.实际
31、上这类题目给出的文字中大部分为无用信息，有些实际上这类题目给出的文字中大部分为无用信息，有些文字对解题无关，文字对解题无关，只有几句有用信息只有几句有用信息，我们只要仔细阅读，找出，我们只要仔细阅读，找出与解题有关的文字即可与解题有关的文字即可.仔细阅读，明确题意，善于提取题中的仔细阅读，明确题意，善于提取题中的有用信息有用信息，这当然要看题，这当然要看题目要我们做什么，求哪些物理量目要我们做什么，求哪些物理量.把有用信息提取出来，把有用信息提取出来，建立模型建立模型，这就，这就是我们常见的题目了，然后分析其过程，看看有是我们常见的题目了，然后分析其过程，看看有哪些物理规律适用哪些物理规律适用
32、，列出方程，求解即可列出方程，求解即可.温馨提示温馨提示第41页，共44页，编辑于2022年，星期三QxdPRO(1)如果将近地表的球形空腔填满密度为的岩石如果将近地表的球形空腔填满密度为的岩石,则该地区重力加速度便回到正常值则该地区重力加速度便回到正常值.因此因此,重力加重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力力 来计算式中的来计算式中的m是是Q点点处某质点的质量处某质点的质量,M是填充后球形区域的质量是填充后球形区域的质量,16.第42页，共44页，编辑于2022年，星期三而而r是球形空腔中心是球形空腔中心O至至Q点的距离点的距离 在数值
33、上等于由于存在球形空腔所引起的在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q点处重力加速度改变的大小点处重力加速度改变的大小.Q点处重力加速点处重力加速度改变的方向沿度改变的方向沿OQ方向方向,重力加速度反常是重力加速度反常是这一改变在竖直方向上的投影这一改变在竖直方向上的投影 联立联立以上式子得以上式子得 QxdPRO第43页，共44页，编辑于2022年，星期三(2)由由式得式得,重力加速度反常的最大值和最小值分重力加速度反常的最大值和最小值分别为别为 由提设有、由提设有、联立以上式子得联立以上式子得,地下球形空腔球心的深度和空地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为腔的体积分别为、,第44页，共44页，编辑于2022年，星期三