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1、第四章 控制系统的分析方法部分本讲稿第一页，共十九页第一节 控制系统的稳定性分析q对于连续时间系统，如果闭环极点全部在S平面左半平面，则系统是稳定的。q对于离散时间系统，如果系统全部极点都位于Z平面的单位圆内，则系统是稳定的。q若连续时间系统的全部零极点都位于S左半平面；或若离散时间系统的全部零极点都位于Z平面单位圆内，则系统是最小相位系统。一、系统稳定及最小相位系统判据本讲稿第二页，共十九页2、直接判别MATLAB提供了直接求取系统所有零极点的函数，因此可以直接根据零极点的分布情况对系统的稳定性及是否为最小相位系统进行判断。二、系统稳定及最小相位系统的判别方法1、间接判别（工程方法）劳斯判据
2、：劳斯表中第一列各值严格为正，则系统稳定，如果劳斯表第一列中出现小于零的数值，系统不稳定。胡尔维茨判据：当且仅当由系统分母多项式构成的胡尔维茨矩阵为正定矩阵时，系统稳定。本讲稿第三页，共十九页例exp4_1.m 已知某系统的闭环模型如右所示：要求判断系统的稳定性及系统是否为最小相位系统。例exp4_2.m系统闭环模型如下所示，判断系统的稳定性，以及系统是否为最小相位系统。本讲稿第四页，共十九页ii=find(条件式)用来求取满足条件的向量的下标向量，以列向量表示。例如 exp4_1.m中的条件式为real(p0)，其含义就是找出极点向量p中满足实部的值大于0的所有元素下标，并将结果返回到ii向
3、量中去。这样如果找到了实部大于0的极点，则会将该极点的序号返回到ii下。如果最终的结果里ii的元素个数大于0，则认为找到了不稳定极点，因而给出系统不稳定的提示，若产生的ii向量的元素个数为0，则认为没有找到不稳定的极点，因而得出系统稳定的结论。pzmap(p,z)根据系统已知的零极点p和z绘制出系统的零极点分布图本讲稿第五页，共十九页第二节 控制系统的时域分析 系统的过渡过程性能（如上升时间、调节时间、超调量及稳态误差）常用典型输入作用下的时间响应来描述。响应是指零初始值条件下某种典型的输入函数作用下对象的响应，控制系统常用的输入函数为单位阶跃函数和脉冲激励函数（即冲激函数）。在MATLAB的
4、控制系统工具箱中提供了求取这两种输入下系统响应的函数。一、时域分析的一般方法q求取系统单位阶跃响应：step()q求取系统的冲激响应：impulse()本讲稿第六页，共十九页1、step()函数的用法 exp4_3_.mqy=step(num,den,t)：其中num和den分别为系统传递函数描述中的分子和分母多项式系数，t为选定的仿真时间向量，一般可以由t=0:step:end等步长地产生出来。该函数返回值y为系统在仿真时刻各个输出所组成的矩阵。qy,x,t=step(A,B,C,D,iu)：其中A,B,C,D为系统的状态空间描述矩阵，iu用来指明输入变量的序号。x为系统返回的状态轨迹。q如
5、果对具体的响应值不感兴趣，而只想绘制系统的阶跃响应曲线，可调用以下的格式，自动输出响应曲线：step(num,den)；step(num,den,t)；step(A,B,C,D,iu,t)；step(A,B,C,D,iu)；q线性系统的稳态值可以通过函数dcgain()来求取，其调用格式为：dc=dcgain(num,den)或dc=dcgain(a,b,c,d)qy,x,t=step(num,den)：此时时间向量t由系统模型的特性自动生成,状态变量x返回为空矩阵。本讲稿第七页，共十九页2、impulse()函数的用法求取脉冲激励响应的调用方法与step()函数基本一致。y=impulse(
6、num,den,t)；y,x,t=impulse(num,den)；y,x,t=impulse(A,B,C,D,iu,t)impulse(num,den)；impulse(num,den,t)impulse(A,B,C,D,iu)；impulse(A,B,C,D,iu,t)本讲稿第八页，共十九页仿真时间t的选择：q对于典型二阶系统根据其响应时间的估算公式 可以确定。q对于高阶系统往往其响应时间很难估计，一般采用试探的方法，把t选大一些，看看响应曲线的结果，最后再确定其合适的仿真时间。q一般来说，先不指定仿真时间，由MATLAB自己确定，然后根据结果，最后确定合适的仿真时间。q在指定仿真时间时，
7、步长的不同会影响到输出曲线的光滑程度，一般不易取太大。q例exp4_6_.m本讲稿第九页，共十九页二、常用时域分析函数MATLAB除了提供前面介绍的对系统阶跃响应、冲激响应等进行仿真的函数外，还提供了大量对控制系统进行时域分析的函数，如：covar：连续系统对白噪声的方差响应initial：连续系统的零输入响应lsim：连续系统对任意输入的响应对于离散系统只需在连续系统对应函数前加d就可以，如dstep，dimpulse等。它们的调用格式与step、impulse类似，可以通过help命令来察看自学。本讲稿第十页，共十九页三、时域分析应用实例MATLAB的step()和impulse()函数本
8、身可以处理多输入多输出的情况，因此编写MATLAB程序并不因为系统输入输出的增加而变得复杂。本讲稿第十一页，共十九页对比exp4_9_.m本讲稿第十二页，共十九页第三节 控制系统的根轨迹分析方法q所谓根轨迹是指，当开环系统某一参数从零变到无穷大时，闭环系统特征方程的根在s平面上的轨迹。一般来说，这一参数选作开环系统的增益K，而在无零极点对消时，闭环系统特征方程的根就是闭环传递函数的极点。q根轨迹分析方法是分析和设计线性定常控制系统的图解方法，使用十分简便。利用它可以对系统进行各种性能分析，例exp4_18.m一、根轨迹分析方法的概念本讲稿第十三页，共十九页（1）稳定性当开环增益K从零到无穷大变
9、化时，图中的根轨迹不会越过虚轴进入右半s平面，因此这个系统对所有的K值都是稳定的。如果根轨迹越过虚轴进入右半s平面，则其交点的K值就是临界稳定开环增益。（2）稳态性能开环系统在坐标原点有一个极点，因此根轨迹上的K值就是静态速度误差系数，如果给定系统的稳态误差要求，则可由根轨迹确定闭环极点容许的范围。（3）动态性能当0K0.5时，闭环极点为复数极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程，且超调量与K成正比。本讲稿第十四页，共十九页二、根轨迹分析函数通常来说，绘制系统的根轨迹是很繁琐的事情，因此在教科书中介绍的是一种按照一定规则进行绘制的概略根轨迹。在MATLAB中，专门提供了绘制根轨迹的
10、有关函数。pzmap：绘制线性系统的零极点图rlocus：求系统根轨迹。rlocfind：计算给定一组根的根轨迹增益。sgrid：在连续系统根轨迹图和零极点图中绘制出阻尼系数和自然频率栅格。本讲稿第十五页，共十九页1、零极点图绘制 exp4_19.mMATLAB提供了函数pzmap()来绘制系统的零极点图，其用法如下：qp,z=pzmap(a,b,c,d)：返回状态空间描述系统的极点矢量和零点矢量，而不在屏幕上绘制出零极点图。qp,z=pzmap(num,den)：返回传递函数描述系统的极点矢量和零点矢量，而不在屏幕上绘制出零极点图。qpzmap(a,b,c,d)或pzmap(num,den)
11、：不带输出参数项，则直接在s复平面上绘制出系统对应的零极点位置，极点用表示，零点用o表示。qpzmap(p,z)：根据系统已知的零极点列向量或行向量直接在s复平面上绘制出对应的零极点位置，极点用表示，零点用o表示。本讲稿第十六页，共十九页2、根轨迹图绘制 exp4_20.mMATLAB提供了函数rlocus()来绘制系统的根轨迹图，其用法如下：qrlocus(a,b,c,d)或者rlocus(num,den)：根据SISO开环系统的状态空间描述模型和传递函数模型，直接在屏幕上绘制出系统的根轨迹图。开环增益的值从零到无穷大变化。qrlocus(a,b,c,d,k)或rlocus(num,den,
12、k)：通过指定开环增益k的变化范围来绘制系统的根轨迹图。qr=rlocus(num,den,k)或者r,k=rlocus(num,den)：不在屏幕上直接绘出系统的根轨迹图，而根据开环增益变化矢量k，返回闭环系统特征方程1k*num(s)/den(s)=0的根r，它有length(k)行，length(den)-1列，每行对应某个k值时的所有闭环极点。或者同时返回k与r。q对于参数根轨迹，可以通过传递函数的等效变换而进行绘制。若给出传递函数描述系统的分子项num为负，则利用rlocus函数绘制的是系统的零度根轨迹（正反馈系统或非最小相位系统）。本讲稿第十七页，共十九页3、rlocfind()函
13、数MATLAB提供了函数rlocfind()来找出给定的一组根（闭环极点）对应的根轨迹增益。其用法如下：qk,p=rlocfind(a,b,c,d)或者k,p=rlocfind(num,den)它要求在屏幕上先已经绘制好有关的根轨迹图。然后，此命令将产生一个光标以用来选择希望的闭环极点。命令执行结果：k为对应选择点处根轨迹开环增益；p为对应K的系统闭环特征根。q不带输出参数项k,p时，同样可以执行，只是此时只将k的值返回到缺省变量ans中。4、sgrid()函数qsgrid：在现存的屏幕根轨迹或零极点图上绘制出自然振荡频率wn、阻尼比矢量z对应的格线。qsgrid(new)：是先清屏，再画格线。qsgrid(z,wn)：则绘制由用户指定的阻尼比矢量z、自然振荡频率wn的格线。本讲稿第十八页，共十九页三、根轨迹分析应用实例例exp4_23.m例exp4_24.m本讲稿第十九页，共十九页