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1、第二章平稳随机过程的谱分析第1页，共66页，编辑于2022年，星期二本章要解决的问题本章要解决的问题 v随机信号是否也可以应用频域分析方法随机信号是否也可以应用频域分析方法?v傅里叶变换能否应用于随机信号？傅里叶变换能否应用于随机信号？v相关函数与功率谱的关系相关函数与功率谱的关系 v功率谱的应用功率谱的应用 v采样定理采样定理 v白噪声的定义白噪声的定义 第2页，共66页，编辑于2022年，星期二2.1 随机过程的谱分析随机过程的谱分析 一、预备知识一、预备知识1.付氏变换付氏变换设设x(t)是时间是时间t的非周期实函数，且的非周期实函数，且x(t)满足满足 在在 范围内满足狄利赫利条件范围
2、内满足狄利赫利条件 绝对可积，即绝对可积，即 信号的总能量有限，即信号的总能量有限，即 有限个极值有限个极值有限个断点有限个断点断点为有限值断点为有限值第3页，共66页，编辑于2022年，星期二则则 的傅里叶变换为：的傅里叶变换为：其反变换为：其反变换为：称称 为为 的频谱密度，也简称为频谱。的频谱密度，也简称为频谱。包含：振幅谱包含：振幅谱 相位谱相位谱第4页，共66页，编辑于2022年，星期二常见的傅立叶变换常见的傅立叶变换第5页，共66页，编辑于2022年，星期二2.帕塞瓦等式帕塞瓦等式即即能量谱密度能量谱密度第6页，共66页，编辑于2022年，星期二二、随机过程的功率谱密度二、随机过程
3、的功率谱密度 应用截取函数应用截取函数 第7页，共66页，编辑于2022年，星期二当当x(t)为有限值时，为有限值时，的傅里叶变换存在的傅里叶变换存在 应用帕塞瓦等式应用帕塞瓦等式 除以除以2T取集合平均取集合平均第8页，共66页，编辑于2022年，星期二令令 ，再取极限，交换求数学期望和积分的次序，再取极限，交换求数学期望和积分的次序 功率功率Q 非负非负存在存在（1）Q为确定性值，不是随机变量为确定性值，不是随机变量（2）为确定性实函数。为确定性实函数。注意：注意：第9页，共66页，编辑于2022年，星期二两个结论：两个结论：1表示时间平均表示时间平均 若平稳若平稳2第10页，共66页，编
4、辑于2022年，星期二例例1：设随机过程：设随机过程 ，其中，其中 皆是实常数，皆是实常数，是服从是服从 上均匀分布的随上均匀分布的随机变量，求随机过程机变量，求随机过程 的平均功率。的平均功率。解：解：不是宽平稳的不是宽平稳的第11页，共66页，编辑于2022年，星期二第12页，共66页，编辑于2022年，星期二功率谱密度：功率谱密度：描述了随机过程描述了随机过程X(t)的的 功率在各个不同频率上的分布功率在各个不同频率上的分布 称为称为随机过程随机过程X(t)的功率谱密度。的功率谱密度。对对 在在X(t)的整个频率范围内积分，的整个频率范围内积分，便可得到便可得到X(t)的功率。的功率。对
5、于平稳随机过程，有：对于平稳随机过程，有：第13页，共66页，编辑于2022年，星期二三、功率谱密度与自相关函数之间的关系三、功率谱密度与自相关函数之间的关系 确定信号：确定信号：随机信号：平稳随机过程的自相关函数随机信号：平稳随机过程的自相关函数功率谱密度。功率谱密度。1.维纳维纳辛钦定理辛钦定理 若随机过程若随机过程X(t)是平稳的，自相关函数是平稳的，自相关函数R()以以及及 R()绝对可积，则自相关函数与功率谱密度构成一绝对可积，则自相关函数与功率谱密度构成一对付氏变换，即：对付氏变换，即：第14页，共66页，编辑于2022年，星期二2.证明：证明：我们允许自相关函数和功率谱密度中存在
6、我们允许自相关函数和功率谱密度中存在函数函数第15页，共66页，编辑于2022年，星期二设设则则所以：所以：第16页，共66页，编辑于2022年，星期二则则 (注意注意 绝对可积，第二项为绝对可积，第二项为0)0)第17页，共66页，编辑于2022年，星期二推论：对于一般的随机过程推论：对于一般的随机过程X(t)，有：，有：平均功率为：平均功率为：利用自相关函数和功率谱密度皆为偶函数的性利用自相关函数和功率谱密度皆为偶函数的性质，又可将维纳质，又可将维纳辛钦定理表示成：辛钦定理表示成：第18页，共66页，编辑于2022年，星期二3单边功率谱单边功率谱 由于实平稳过程由于实平稳过程x(t)的自相
7、关函数的自相关函数 是是实偶函数，功率谱密度也一定是实偶函数。实偶函数，功率谱密度也一定是实偶函数。有时我们经常利用只有正频率部分的单边有时我们经常利用只有正频率部分的单边功率谱。功率谱。第19页，共66页，编辑于2022年，星期二X(t)变换的功率谱密度变换的功率谱密度第20页，共66页，编辑于2022年，星期二例例2：平稳随机过程的自相关函数为：平稳随机过程的自相关函数为 ，A0，求过程的功率谱密度。，求过程的功率谱密度。解：应将积分按解：应将积分按 和和 分成两部分进行分成两部分进行 第21页，共66页，编辑于2022年，星期二例例3：设：设 为随机相位随机过程为随机相位随机过程其中，其
8、中，为实常数为实常数 为随机相位，在为随机相位，在 均均匀分布。可以推导出这个过程为广义平稳随匀分布。可以推导出这个过程为广义平稳随机过程，自相关函数为机过程，自相关函数为 求求 的功率谱密度的功率谱密度 。第22页，共66页，编辑于2022年，星期二解：注意此时解：注意此时 不是有限值，即不可积，不是有限值，即不可积，因此因此 的付氏变换不存在，需要引入的付氏变换不存在，需要引入 函数。函数。第23页，共66页，编辑于2022年，星期二例例4：设随机过程：设随机过程 ，其中，其中 皆皆为常数，为常数，为具有功率谱密度为具有功率谱密度 的平稳随的平稳随机过程。求过程机过程。求过程 的功率谱密度
9、。的功率谱密度。解：解：第24页，共66页，编辑于2022年，星期二例例5：设随机过程：设随机过程 ，其中，其中 是概率密度是概率密度为为 的随机变量，的随机变量，a和和为实常数，求为实常数，求X(t)的功的功率谱密度。率谱密度。第25页，共66页，编辑于2022年，星期二四、平稳随机过程功率谱密度的性质四、平稳随机过程功率谱密度的性质 1.功率谱密度为非负的功率谱密度为非负的,即即 证明：证明：2.功率谱密度是功率谱密度是 的实函数的实函数 第26页，共66页，编辑于2022年，星期二3.对于实随机过程来说，功率谱密度是对于实随机过程来说，功率谱密度是 的偶函数，的偶函数，即即证明：证明：是
10、实函数是实函数又又第27页，共66页，编辑于2022年，星期二4.功率谱密度可积，即功率谱密度可积，即 证明：对于平稳随机过程，有：证明：对于平稳随机过程，有：平稳随机过程的均方值有限平稳随机过程的均方值有限第28页，共66页，编辑于2022年，星期二2.2 联合平稳随机过程的互谱密度联合平稳随机过程的互谱密度一、互谱密度一、互谱密度 考虑两个平稳实随机过程考虑两个平稳实随机过程X(t)、Y(t)，它们的样本它们的样本函数分别为函数分别为 和和 ，定义两个截取函数，定义两个截取函数 、为：为：第29页，共66页，编辑于2022年，星期二 因为因为 、都满足绝对可积的条件，都满足绝对可积的条件，
11、所以它们的傅里叶变换存在。在时间范围所以它们的傅里叶变换存在。在时间范围 (-T，T)内，两个随机过程的互功率内，两个随机过程的互功率 为为:（注意（注意 、为确定性函数，所以求平均为确定性函数，所以求平均功率只需取时间平均）功率只需取时间平均）由于由于 、的傅里叶变换存在，故帕塞瓦的傅里叶变换存在，故帕塞瓦定理对它们也适用，即定理对它们也适用，即:第30页，共66页，编辑于2022年，星期二 注意到上式中，注意到上式中，和和 是任一样本函数，因此具是任一样本函数，因此具有随机性，取数学期望，并令有随机性，取数学期望，并令 得：得：第31页，共66页，编辑于2022年，星期二 定义互功率谱密度
12、为：定义互功率谱密度为：则则第32页，共66页，编辑于2022年，星期二同理，有：同理，有：且且第33页，共66页，编辑于2022年，星期二二、互谱密度和互相关函数的关系二、互谱密度和互相关函数的关系若若X(t)、Y(t)各自平稳且联合平稳，则有各自平稳且联合平稳，则有即即对于两个联合平稳对于两个联合平稳(至少是广义联合平稳至少是广义联合平稳)的实随的实随机过程，它们的互谱密度与其互相关函数互为傅机过程，它们的互谱密度与其互相关函数互为傅里叶变换。里叶变换。第34页，共66页，编辑于2022年，星期二三、互谱密度的性质三、互谱密度的性质性质性质1 1：证明：证明：（令（令 ）第35页，共66页
13、，编辑于2022年，星期二性质性质2：证明：证明：同理可证同理可证第36页，共66页，编辑于2022年，星期二性质性质3：证明：类似性质证明：类似性质2证明。证明。性质性质4：若若X(t)与与Y(t)正交，则有正交，则有 证明：若证明：若X(t)与与Y(t)正交，则正交，则 所以所以第37页，共66页，编辑于2022年，星期二性质性质5 5：若若X(t)与与Y(t)不相关，不相关，X(t)、Y(t)分分别具有常数均值别具有常数均值 和和 ，则，则 证明：证明：因为因为X(t)与与Y(t)不相关，所以不相关，所以（）第38页，共66页，编辑于2022年，星期二例例6：设两个随机过程：设两个随机过
14、程X(t)和和Y(t)联合平稳，联合平稳，其互相关函数其互相关函数 为为:求互谱密度求互谱密度 ，。性质性质6 6：第39页，共66页，编辑于2022年，星期二解：解：第40页，共66页，编辑于2022年，星期二2.3 离散时间随机过程的功率谱密度离散时间随机过程的功率谱密度一、离散时间随机过程的功率谱密度一、离散时间随机过程的功率谱密度1.1.平稳离散时间随机过程的相关函数平稳离散时间随机过程的相关函数 设设X(n)为广义平稳离散时间随机过程，或简称为广义平稳离散时间随机过程，或简称为广义平稳随机序列，具有零均值，其自相关为广义平稳随机序列，具有零均值，其自相关函数为函数为:简写为：简写为：
15、第41页，共66页，编辑于2022年，星期二2.平稳离散时间随机过程的功率谱密度平稳离散时间随机过程的功率谱密度 当当 满足条件式满足条件式 时，我们定时，我们定义义 的功率谱密度为的功率谱密度为 的离散傅里叶变换，的离散傅里叶变换，并记为并记为 是频率为是频率为 的周期性连续函数，其周的周期性连续函数，其周期为期为 奈奎斯特频率奈奎斯特频率 第42页，共66页，编辑于2022年，星期二因为因为 为周期函数，周期为为周期函数，周期为 ，在在 时时第43页，共66页，编辑于2022年，星期二 在离散时间系统的分析中，常把广义平稳离散在离散时间系统的分析中，常把广义平稳离散时间随机过程的功率谱密度
16、定义为时间随机过程的功率谱密度定义为 的的z变换，变换，并记为并记为 ，即，即 式中式中式中，式中，D为在为在 的收敛域内环绕的收敛域内环绕z平面原点反时针平面原点反时针旋转的一条闭合围线。旋转的一条闭合围线。性质性质 第44页，共66页，编辑于2022年，星期二例例7：设：设 ，求，求 和和解：解：将将z=代人上式，即可求得代人上式，即可求得第45页，共66页，编辑于2022年，星期二其中，其中，T为采样周期，为采样周期，为在为在 时对时对 的采样。的采样。设设 为一确知、连续、限带、实信号，其频带范为一确知、连续、限带、实信号，其频带范围围 ，当采样周期，当采样周期T等于等于 时，可将时，
17、可将 展开为展开为二二 确定性信号的采样定理确定性信号的采样定理第46页，共66页，编辑于2022年，星期二连续时间连续时间确知信号确知信号离散时间离散时间确知信号确知信号采样采样香农采样定理香农采样定理第47页，共66页，编辑于2022年，星期二连续时间平稳随机过程离散时间平稳随机过程自相关函数功率谱密度功率谱密度自相关函数FTDFT第48页，共66页，编辑于2022年，星期二连续时间平连续时间平稳随机过程稳随机过程离散时间平离散时间平稳随机过程稳随机过程 采样采样三三 平稳随机过程的采样定理平稳随机过程的采样定理第49页，共66页，编辑于2022年，星期二 若若 为平稳随机过程，具有零均值
18、，其功率谱为平稳随机过程，具有零均值，其功率谱密度为密度为 ，则当满足条件，则当满足条件 时，可将时，可将 按它的振幅采样展开为按它的振幅采样展开为第50页，共66页，编辑于2022年，星期二第一步第一步第二步第二步第三步第三步(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(5)=0证明思路：证明思路：第51页，共66页，编辑于2022年，星期二连续时间平连续时间平稳随机过程稳随机过程离散时间平离散时间平稳随机过程稳随机过程采样采样=自相关函数自相关函数功率谱密度功率谱密度功率谱密度功率谱密度自相关函数自相关函数FTDFT 第52页，共66页，编辑于2022年，星期二 若平稳连续时间实随机过程若平
19、稳连续时间实随机过程 ，其自相关函数和，其自相关函数和功率谱密度分别记为功率谱密度分别记为 和和 ，对，对 采样后所得采样后所得离散时间随机过程离散时间随机过程 ，的自相关函数和的自相关函数和功率谱密度分别记为功率谱密度分别记为 和和 ，则有，则有 三、三、功率谱密度的采样定理功率谱密度的采样定理第53页，共66页，编辑于2022年，星期二证明:(1)根据定义=由可见，即样可得=(2)进行等间隔的采对第54页，共66页，编辑于2022年，星期二连续时间平稳随机过程离散时间平稳随机过程采样自相关函数功率谱密度功率谱密度自相关函数F TDFT平稳随机过程的采样定理平稳随机过程的采样定理功率谱密度的
20、采样定理第55页，共66页，编辑于2022年，星期二2.4 白噪声白噪声一、理想白噪声一、理想白噪声定义：若定义：若N(t)为一个具有零均值的平稳随机为一个具有零均值的平稳随机过程，其功率谱密度均匀分布在过程，其功率谱密度均匀分布在 的整的整个频率区间，即个频率区间，即 其中其中 为一正实常数，则称为一正实常数，则称N(t)为白噪声过为白噪声过程或简称为白噪声。程或简称为白噪声。第56页，共66页，编辑于2022年，星期二自相关函数为自相关函数为 自相关系数为自相关系数为 第57页，共66页，编辑于2022年，星期二总结：总结：（1）白噪声只是一种理想化的模型，是不存在的。）白噪声只是一种理想
21、化的模型，是不存在的。（2）白噪声的均方值为无限大）白噪声的均方值为无限大而物理上存在的随机过程，其均方值总是有而物理上存在的随机过程，其均方值总是有限的。限的。（3）白噪声在数学处理上具有简单、方便等优点。）白噪声在数学处理上具有简单、方便等优点。第58页，共66页，编辑于2022年，星期二二、限带白噪声二、限带白噪声1低通型低通型定义：若过程的功率谱密度满足定义：若过程的功率谱密度满足 则称此过程为低通型限带白噪声。将白噪则称此过程为低通型限带白噪声。将白噪声通过一个理想低通滤波器，便可产生出声通过一个理想低通滤波器，便可产生出低通型限带白噪声。低通型限带白噪声。第59页，共66页，编辑于
22、2022年，星期二低通型限带白噪声的自相关函数为低通型限带白噪声的自相关函数为第60页，共66页，编辑于2022年，星期二图图3.11示出了低通型限带白噪声的示出了低通型限带白噪声的 和和 的图形，注意，时间间隔的图形，注意，时间间隔 为整数倍的那为整数倍的那些随机变量，彼此是不相关的（均值为些随机变量，彼此是不相关的（均值为0，相关函数值为相关函数值为0）。）。第61页，共66页，编辑于2022年，星期二2.带通型带通型带通型限带白噪声的功率谱密度为带通型限带白噪声的功率谱密度为 由维纳由维纳辛钦定理，得到相应的自相关函数为辛钦定理，得到相应的自相关函数为 第62页，共66页，编辑于2022
23、年，星期二 带通型限带带通型限带白噪声的白噪声的 和和 的图形的图形 第63页，共66页，编辑于2022年，星期二三、色噪声三、色噪声 按功率谱度函数形式来区别随机过程，我按功率谱度函数形式来区别随机过程，我们将把除了白噪声以外的所有噪声都称为有们将把除了白噪声以外的所有噪声都称为有色噪声或简称色噪声。色噪声或简称色噪声。第64页，共66页，编辑于2022年，星期二小小 结结 1.随机过程的时间无限性，导致能量无限，因而随随机过程的时间无限性，导致能量无限，因而随机过程的付氏变换不存在，但其功率存在。所以，机过程的付氏变换不存在，但其功率存在。所以，不能对随机过程直接求付氏变换，即：不能对随机过程直接求付氏变换，即：但相关函数与功率谱密度构成一对付氏变换，但相关函数与功率谱密度构成一对付氏变换，即即若随机过程若随机过程X(t)平稳，则平稳，则 第65页，共66页，编辑于2022年，星期二2.平均功率的四种求法：平均功率的四种求法：查表；留数；对功率谱密度求积分（有查表；留数；对功率谱密度求积分（有个个 系数）；求相关函数后令系数）；求相关函数后令 .一般过程：一般过程：3.随机过程的平均功率：随机过程的平均功率：即集合平均统计平均。即集合平均统计平均。4.特定函数的付氏变换需记忆。特定函数的付氏变换需记忆。第66页，共66页，编辑于2022年，星期二