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1、第四章 材料力学 截面的几何性质本讲稿第一页，共四十一页决如何用最少的材料，制造出能承担较大荷载的杆件的问题的.41 截面的静矩和形心截面的静矩和形心 一、静矩的定义 设平面图形，取zoy坐标系，取面积元dA，坐标为（z,y），整个截面对z、y轴的静矩为：整个截面对z轴的静矩；整个截面对y轴的静矩；本讲稿第二页，共四十一页 若将 理解为垂直于纸面的力，便是对z轴的力矩，则为对z轴的合力矩，故称为面积矩。若形心坐标为 ，静矩也可写成：性质：1、同一截面对不同轴的静矩亦不同；静矩可以是正、可以是负或零；2、单位：；3、当坐标轴原点过形心，；本讲稿第三页，共四十一页 反之，若 ，坐标轴原点必过截面形
2、心。二、形心位置的计算二、形心位置的计算形心位置：对面积连续分布的（非组合图形）图形：本讲稿第四页，共四十一页对组合图形：本讲稿第五页，共四十一页例1，求四分之一圆截面对z,y轴的形心位置 解：取如图示的坐标系,先求本讲稿第六页，共四十一页本讲稿第七页，共四十一页三、组合截面的静矩例1：如图由两个矩形截面组合成的T形截面，y轴为对称轴，对z，y轴的静矩。解：因为是组合图形,又关于轴对称，故有：本讲稿第八页，共四十一页4-2 惯性矩和惯性积惯性矩和惯性积 一、惯性矩的定义 -面积对坐标轴的二次矩.设一平面图形，取一元面积 ，坐 标为(z,y)，距原点的距离为 ，方位 角为 ，定义：平面图形对z,
3、y轴的惯性积;而 本讲稿第九页，共四十一页二、性质 1、恒为正，可正、可负、也可以为零，其正负值与坐标轴的位置有关。2、单位：（长度）4；例4-4：计算直径为d的圆截面对形心轴z,y的惯性矩和惯性积。解：用平面极坐标本讲稿第十页，共四十一页 由于对称：极惯性矩：对过形心的一对轴的惯性积 因坐标轴是对称轴，如对左右的 （如上图），结论：截面如有一根对称轴，则截面对这根轴与另一根与之垂直的轴的 .本讲稿第十一页，共四十一页 对矩形截面，过形心轴的惯性矩：若为组合图形，对z轴，y轴的惯性矩：因 ,元面积对z轴的惯性矩就等于将各元面积对z轴的惯性矩求和，因质量连续分布，求和则为积分。本讲稿第十二页，共
4、四十一页 应用于圆环的情形,可看成两个圆形截面，其他如表4.1.本讲稿第十三页，共四十一页 *惯性半径（回转半径）的概念：如以r表示某一截面对某轴的惯性半径，定义 例43中的矩形截面：本讲稿第十四页，共四十一页补充例子：试计算圆弧右上方阴影部分面积的惯性积 解：因为惯性矩与惯性积等于各微 元面积的惯性矩或惯性积之和，所 以 本讲稿第十五页，共四十一页4-3惯性矩和惯性积的平行移轴公式惯性矩和惯性积的平行移轴公式一、公式 如图示：任一平面过形心c的坐标系 ，截面对该轴的为 ,与 平行的坐标系为 ，截面对该 轴的为 由图知：,本讲稿第十六页，共四十一页结论：截面对与形心轴平行的任意 轴 的惯性矩等
5、于截面对过形心轴y 的惯性矩加上 .同理可得：平行移轴定理：截面对平行于形心轴的其它任意轴平行移轴定理：截面对平行于形心轴的其它任意轴的惯性矩等于该截面对形心轴的惯性矩加上其面积乘以的惯性矩等于该截面对形心轴的惯性矩加上其面积乘以两轴之间距离的平方。两轴之间距离的平方。本讲稿第十七页，共四十一页意义:提供了计算平面图形对平行于形心轴的其它轴的 的方法;也可反算对形心轴的惯性矩及惯性积。例子:求矩形截面对边界轴z 轴的惯 性矩和截面对z轴的惯性半径.解：本讲稿第十八页，共四十一页二、组合截面的惯性矩及惯性积公式:例子:求下平面图形的 解：图由一个矩形和两个半圆组成,设矩形 的惯性矩为 ，每个半圆
6、的为 ,半圆对过形心 轴的惯性矩 ,本讲稿第十九页，共四十一页所以本讲稿第二十页，共四十一页45 惯性矩和惯性积的转轴公式惯性矩和惯性积的转轴公式 讨论的问题：两组坐标系共原点，且旋转了一角度 ，平面对这两组坐标系的惯性矩或惯性积之间的关系。如图：相对 转过一角度 ,平面对 坐标系的 与对 的 之间的关系-本讲稿第二十一页，共四十一页概念：一、主惯性轴与主惯性矩定义：截面对一对坐标轴的惯性积为零，则这一对坐标轴称为主惯性轴，截面对主惯性轴的惯性矩即为主惯性矩。二、形心主惯性轴和主惯性矩定义：截面对过形心的一对坐标轴（互相垂直）的惯性积为零，则这一对轴称为形心主惯性轴，平面对形心主惯性轴的惯性矩
7、称为形心主惯性矩。由上知要确定形心惯性轴，必须先求 再令其为零。为方便，先求平面对 z、y轴的 由此计算相对它转过一个角度 的 。本讲稿第二十二页，共四十一页转轴公式的推导：面元 的坐标（z、y）与 二者之间的关系为：本讲稿第二十三页，共四十一页同理有本讲稿第二十四页，共四十一页利用本讲稿第二十五页，共四十一页 将 与 相加得：结论：平面对同一原点的不同的一组互相垂直的坐标轴的惯性矩之和是一常数。三、主惯性轴及主惯性矩的求解-由 求解：即 因 在 内变化，不同对应不同的坐标系，从而有不同的 ，其中必有一对值最大,对惯性轴的惯性矩最大。本讲稿第二十六页，共四十一页可由 及 确定.且因 ,其中1个
8、极大，1个为极小。在 内有两个 值满足上式，的具体确定：（1）先设一角度（2）再由分子 及 的正负，判断 在哪一个象限;如:;本讲稿第二十七页，共四十一页 ;确定了 后，再将 代入式411中求得对主惯性轴的主惯性矩 （极大）本讲稿第二十八页，共四十一页 说明：主轴的惯性矩是图形对一点的所有坐标轴惯性矩中的极大值和极小值。证明：利用 ，本讲稿第二十九页，共四十一页本讲稿第三十页，共四十一页 本讲稿第三十一页，共四十一页本讲稿第三十二页，共四十一页实际上，求出了 ，本讲稿第三十三页，共四十一页 五、组合图形截面的形心主惯性轴及五、组合图形截面的形心主惯性轴及形心主惯性矩的计算形心主惯性矩的计算 1
9、、求形心位置，定初始参考轴z、y，将图形拆开，求各自的形心坐标，再在形心c处作两根平行于z、y的 轴，不一定为主轴；2、求各图形对自己形心轴的 进而求组合图形的-。3、由 求 ，即确定主轴；4、求对主轴的 。本讲稿第三十四页，共四十一页例48：求形心主惯性矩 解：图分成两块，取参考坐 标 系 zoy ，、两块的形 心如图示；1、求组合图形的形心坐标本讲稿第三十五页，共四十一页 2、取形心坐标系 ，利用平行轴定理求 本讲稿第三十六页，共四十一页 本讲稿第三十七页，共四十一页 3、求形心主惯性轴的位置因分子分母均为负，故 （在第三象限）本讲稿第三十八页，共四十一页4、求对形心主惯性轴的惯性矩 本讲稿第三十九页，共四十一页 本讲稿第四十页，共四十一页 本讲稿第四十一页，共四十一页