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1、第四章最小拍控制与纯滞后补偿本讲稿第一页，共三十七页 在自动调节系统中，当偏差存在时，总是希望能尽快地消除偏差，使输出跟随输入变化，或者是在有限的几个采样周期内即可达到平衡。通常，在数字控制过程中一个采样周期称为一拍。最小拍控制是指系统在典型输入信号（如阶跃信号、速度信号、加速度信号等）作用下，经过最少个采样周期使系统输出的稳态误差为零。因此，最小拍控制实际上是时间最优控制。第一节第一节 最小拍控制系统设计最小拍控制系统设计本讲稿第二页，共三十七页（1）调节时间最短，即系统跟踪输入信号所需的采样周期数最少；（2）在采样点处无静差，即对特定的参考输入信号，在达到稳态后，系统在采样点能精确实现对输
2、入信号的跟踪；（3）设计出来的数字控制器必须是物理上可以实现的；（4）闭环系统必须是稳定的。对最小拍控制系统设计的要求是：本讲稿第三页，共三十七页一、最小拍闭环脉冲传递函数的确定一、最小拍闭环脉冲传递函数的确定 首先根据对控制系统性能指标的要求和其他约束条件，构造系统的闭环脉冲传递函数 。最小拍控制系统的设计要求是对特定的参考输入信号，在系统达到稳态后，系统在采样点处静差为零。根据此约束条件可以构造出系统的误差脉冲传递函数 。典型计算机控制系统结构图如图4-1所示。图4-1 典型计算机控制系统结构图本讲稿第四页，共三十七页由离散控制理论，最少拍控制系统的误差脉冲传递函数(4-1)系统输出的偏差
3、为:(4-2)一般控制系统有三种典型输入形式：（1）单位阶跃输入：（2）单位速度输入：（3）单位加速度输入：(T为采样周期)它们都可以表示为：(4-3)式中，是不包括 的 多项式。为正整数，对于不同的输入，只是 不同而已，一般只讨论 的情况。本讲稿第五页，共三十七页将式（4-3）代入式（4-2），得(4-4)利用Z变换的终值定理可以求出稳态误差为(4-5)由于 不包括 的因子，因此稳态误差为零的条件是 含有 ，则可为下列形式（4-6）式中 为 的有限多项式，即（4-7）本讲稿第六页，共三十七页 由最小拍控制系统的时间最短约束条件来确定 的形式。当取 1，不仅可以简化数字控制器，降低控制器阶数,
4、而且还可以使 的项数最少，调节时间最短。由式（4-6）得 为（4-8）那么期望的闭环脉冲传递函数 为（4-9）对于三种典型输入信号下，最小拍控制系统的 和 汇总于表4-1中。本讲稿第七页，共三十七页二、最小拍控制器二、最小拍控制器 的确定的确定 由离散控制系统理论，可以求出图4-1所示的计算机控制系统的闭环脉冲传递函数为：（4-10）由此可以得到数字控制器为（4-11）或（4-12）本讲稿第八页，共三十七页 例4-1 设最小拍控制系统如图4-1所示，被控对象的传递函数 ,采样周期 ，试设计在单 位速度输入时的最小拍控制器。解：根据图4-1可求出系统广义被控对象脉冲传递函数 本讲稿第九页，共三十
5、七页将 代入，有 根据题意，输入信号为单位速度输入，即 ，则有：代入式（4-12）求出最小拍控制器为下面对设计出来的最小拍控制器进行分析与校验。系统闭环脉冲传递函数为当输入为单位速度信号时，系统输出序列的 变换为 本讲稿第十页，共三十七页根据题意，输入信号为单位速度输入，即 ，则有：代入式（4-12）求出最小拍控制器为 下面对设计出来的最小拍控制器进行分析与校验。系统闭环脉冲传递函数为 当输入为单位速度信号时，系统输出序列的变换为本讲稿第十一页，共三十七页 即 输出响应如图4-2所示。从图中可以看出，当系统为单位速度输入时，经过两拍以后，输出量完全等于输入采样值，即 。但在各采样点之间还存在着
6、一定的误差，即存在着一定的波纹。图4-2 单位速度输入时最小拍控制系统输出响应曲线图本讲稿第十二页，共三十七页 当输入为单位阶跃信号时，系统输出序列的 变换为即 。其输出的响应曲线如图4-3所示 图4-3 单位阶跃输入时最小拍控制系统输出响应曲线图本讲稿第十三页，共三十七页 由图可见，按单位速度输入所设计的最小拍系统，当输入变为单位阶跃信号时，经过两个采样周期，。但当 时，系统输出响应将有100%超调量。当输入为单位加速度信号时，系统输出序列的 变换为本讲稿第十四页，共三十七页即 。此时，输入序列为 。可见，输出响应与输入之间始终存在偏差，如图4-4所示 图4-4 单位加速度输入时最小拍控制系
7、统输出响应曲线图本讲稿第十五页，共三十七页第二节第二节 Simth纯滞后补偿控制算法纯滞后补偿控制算法一、纯滞后对系统控制品质的影响一、纯滞后对系统控制品质的影响 常规控制系统的结构框图如图4-5所示。被控对象含有纯滞后特性，其传递函数为式中，为被控对象不含纯滞后特性的传递函数。图4-5 有纯滞后的常规反馈控制结构图本讲稿第十六页，共三十七页 系统的闭环传递函数（不考虑扰动时）为 （4-25）系统的特征方程为 （4-26）这是一个复变数 的超越方程，方程的根也就是系统闭环特征根，将受到纯滞后时间 的影响。通过对系统的频域分析可知，的增加不利于闭环系统的稳定性，使闭环系统的控制品质下降。因此，在
8、进行控制系统设计时，为了提高系统的控制品质，应设法努力减小处于闭环回路中的纯滞后。除了选择合适的被控变量来减小对象的纯滞后外，在控制方案上，也应该采用各种补偿的方法来减小或补偿纯滞后造成的不利影响。本讲稿第十七页，共三十七页 二、二、Smith补偿控制原理补偿控制原理 针对纯滞后系统闭环特征方程含的影响系统控制品质的纯滞后问题，1957年Smith提出了一种预估补偿控制方案，即在PID反馈控制基础上，引入一个预估补偿环节，使闭环特征方程不含有纯滞后项，以提高控制质量。如果能把图4-5中假想的变量B测量出来，那么就可以按照图4-6所示的那样，把B点信号反馈到控制器，这样就把纯滞后环节移到控制回路
9、外边。图4-6 反馈回路的理想结构示意图本讲稿第十八页，共三十七页 由图4-6可以得出闭环传递函数为 （4-27）由上式可见，由于反馈信号B没有延迟，闭环特征方程中不含有纯滞后项，所以系统的响应将会大大地改善。但是由于B点信号是一个不可测(假想)的信号，所以这种方案是无法实现的。为了实现上面的方案，假设构造了一个过程的模型，并按图4-7所示那样把控制量 加到该模型上去。在图 4-7中，如果模型是精确的，那么虽然假想的过程变量 是得不到的，但能够得到模型中的 。如果不存在建模误差和负荷扰动，那么 就会等于 ，可将 点信号作为反馈信号。本讲稿第十九页，共三十七页 但当有建模误差和负荷扰动时，则 ，
10、会降低过程的控制品质。为此，在图4-7中又用 实现第二条反馈回路，以弥补上述缺点。以上便是Smith预估器的控制策略。图4-7 Smith预估器控制系统结构图本讲稿第二十页，共三十七页 实际工程上设计Smith预估器时，将其并联在控制器 上，对图4-7作方框图等效变换，得到图4-8所示的形 式。图4-8 Smith预估器控制系统等效图本讲稿第二十一页，共三十七页 图中虚线部分是带纯滞后补偿控制的控制器，其传递函数为 (4-28)经过纯滞后补偿控制后系统的闭环传递函数为 本讲稿第二十二页，共三十七页 (4-29)由式(4-29)可见，带纯滞后补偿的闭环系统与图4-6所示的理想结构是一致的，其特征
11、方程为：。纯滞后环节 已经不出现在特征方程中，故不再影响闭环系统的稳定性。分子中的 并不影响系统输出量 的响应曲线和系统的其他性能指标，只是把控制过程推迟了时间 。换句话说，纯滞后补偿控制系统在单位阶跃输入时，输出量 的响应曲线和系统的其他性能指标与控制对象不含纯滞后特性时完全相同，只是在时间轴上滞后 ，闭环系统输出特性如图4-9所示。本讲稿第二十三页，共三十七页 图4-9 闭环系统输出特性示意图本讲稿第二十四页，共三十七页三、三、Smith补偿器的计算机实现补偿器的计算机实现 带有纯滞后Smith补偿器的计算机控制系统如图4-10所示。图4-10 纯滞后补偿计算机控制系统结构图 图中 为数字
12、PID控制器；Smith补偿器 与对象特性有关；为被控对象传递函数中不包含纯滞后环节的部分。本讲稿第二十五页，共三十七页 下面以一阶惯性纯滞后对象为例，说明Smith纯滞后补偿器的计算机实现过程。设被控对象的传递函数为(4-30)式中Smith补偿器为：（4-31）离散化处理为：（4-32）式中，（取整数）。本讲稿第二十六页，共三十七页 为了便于说明Smith补偿器的计算机实现过程，将图4-10中的虚框部分变换为图4-11所示形式。图4-11 Smith补偿器计算机实现结构图由图4-11有（4-33）为了便于计算机实现，由式（4-32），令可得到Smith补偿器的差分方程为（4-34）本讲稿第
13、二十七页，共三十七页由式（4-34）可见，Smith补偿器的差分方程中有 项。那么如何用计算机产生该纯滞后信号，对纯滞后补偿控制的计算机实现是至关重要。下面介绍一种在计算机控制系统中常用的产生纯滞后信号的方法，即存储单元法。为了形成纯滞后 步的信号，需在内存中开辟 个存储单元，用来存储 的历史数据，其结构如图4-12示。图4-12 存储单元法产生纯滞后信号示意图本讲稿第二十八页，共三十七页 用上述方法产生纯滞后信号后，由式（4-34）即可求出 。Smith补偿控制算法的实现步骤为：（1）计算偏差（2）计算控制器输出式中，（取整数）。式中，为比例系数；为积分系数；为微分系数。（3）经D/A输出后
14、直接作用到执行机构上，以实现对被调量的纯滞后补偿。本讲稿第二十九页，共三十七页第三节第三节 Dahlin控制算法控制算法 按照计算机控制系统直接化设计方法，Dahlin算法根据纯滞后系统的主要控制要求，将期望的闭环脉冲传递函数设计为一个带有纯滞后的一阶惯性环节，且纯滞后时间与被控对象的纯滞后时间相同。Dahlin算法的设计目标是设计一个合适的数字控制器，使整个闭环系统的传递函数相当于一个一阶惯性纯滞后环节，即式中，为被控对象的纯滞后时间，。为简单起见，设 为采样周期的整数倍，即 为正整数。为期望闭环传递函数的时间常数，其值由设计者用试凑法给出。本讲稿第三十页，共三十七页一、一、Dahlin控制
15、器的基本形式控制器的基本形式 根据Dahlin算法的设计目标，采用带零阶保持器的变换方法，对期望的闭环传递函数进行离散化处理，有（4-36）由如图4-1所示的典型计算机控制系统结构图，可得Dahlin控制器 为(4-37)(4-38)本讲稿第三十一页，共三十七页1被控对象为带纯滞后的一阶惯性环节带纯滞后的一阶被控对象的传递函数为广义被控对象的脉冲传递函数为将式(4-39)代入式(4-37)，得(4-39)(4-40)(4-41)本讲稿第三十二页，共三十七页2被控对象为带纯滞后的二阶惯性环节带有纯滞后特性的二阶被控对象的传递函数为(4-42)广义被控对象的脉冲传递函数为式中，(4-43)将式(4
16、-42)代入式(4-37)，得本讲稿第三十三页，共三十七页二、振铃现象及消除方法二、振铃现象及消除方法 数字控制器的输出以接近二分之一的采样频率大幅度上下摆动，这称为振铃现象。它对系统的输出几乎是没有影响的，但会使执行机构因磨损而造成损坏。在有交互作用的多参数控制系统中，振铃现象还有可能影响到系统的稳定性，所以在系统设计中，应该设法消除振铃现象。1产生振铃现象的根源 振铃现象与被控对象的特性、闭环时间常数、采样周期、纯滞后时间的大小等有关。在计算机控制系统中，系统的输出和数字控制器的输出之间的关系为系统输出与闭环系统的输入的关系为本讲稿第三十四页，共三十七页可以得出 它描述了数字控制器的输出与
17、闭环系统的输入之间的关系，可进一步写作 表示的是数字控制器的输出与闭环系统输入之间的关系，它是分析振铃的基础。有 由分析可知，产生振铃现象的原因是数字控制器 在Z平面上 附近有极点。当 时，振铃现象最严重，在单位圆内离 越远，振铃现象越弱。本讲稿第三十五页，共三十七页2振铃幅度 用振铃幅度来衡量振铃程度的强弱。它的定义是，在单位阶跃输入作用下，数字控制器 的第0次输出减去第1次输出所得的差值，即3振铃现象的消除 通过上面对振铃现象产生原因的分析以及振铃幅度的计算，可以有两种方法用来消除振铃现象。（1）参数选择法 合理选择期望闭环传递函数的惯性时间常数和采样周期，最大程度地抑制振铃。（2）消除振铃因子法 找出数字控制器 中引起振铃现象的因子(即 附近的极点)，然后人为地令这个因子中的 ，消除这个极点。本讲稿第三十六页，共三十七页三、三、Dahlin算法的设计步骤算法的设计步骤 （1）根据系统性能要求，确定期望闭环系统的参数，给出振铃幅度的指标。（2）根据振铃幅度 的要求，确定采样周期 ，如果有多解，则选择较大的 。（3）确定整数 。（4）求广义对象的脉冲传递函数 及期望闭环系统的脉冲传递函数 。（5）求数字控制器的脉冲传递函数 。（6）将 变换为差分方程，以便于计算机编写相应算法程序。本讲稿第三十七页，共三十七页