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1、第二章有限元法第1页，共163页，编辑于2022年，星期三现代设计方法概论课程教案第第2 2章章 有限元法有限元法第2页，共163页，编辑于2022年，星期三1 1、掌握小位移弹性理论基本方程与力学原理、掌握小位移弹性理论基本方程与力学原理2 2、掌握平面问题有限元方法。、掌握平面问题有限元方法。3 3、掌握轴对称问题有限元方法。、掌握轴对称问题有限元方法。4 4、理解等参数单元的概念和特性。、理解等参数单元的概念和特性。第一节第一节 有限元法的概念与基本思想有限元法的概念与基本思想 第二节第二节 弹性力学的基本方程与力学原理弹性力学的基本方程与力学原理 第三节第三节 平面问题有限元法平面问题
2、有限元法 第四节第四节 轴对称问题有限元法轴对称问题有限元法 第五节第五节 等参数单元等参数单元 本本章章内内容容目目的的现代设计方法概论课程教案第3页，共163页，编辑于2022年，星期三第一节第一节 有限元法的概念与基本思想有限元法的概念与基本思想现代设计方法概论课程教案产品结构造型材料特性、几何特性及单元类型定义结构离散生成单元加载荷条件及边界条件单元分析整体分析分析结果可视化前置处理前置处理求解计算求解计算后置处理后置处理第4页，共163页，编辑于2022年，星期三有限元法的基本思路有限元法的基本思路（1）建建立立数数学学模模型型，包包括括确确定定基基本本变变量量、导出基本方程、确定求
3、解域和边界条件等。导出基本方程、确定求解域和边界条件等。（2）将将作作为为求求解解域域的的连连续续体体结结构构离离散散为为若若干干个个单单元元，并并通通过过这这些些单单元元边边界界上上的的节节点点相相互联结成为外形不变的单元组合体。互联结成为外形不变的单元组合体。第5页，共163页，编辑于2022年，星期三有限元法的基本思路有限元法的基本思路 二维多连通域的有限元离散模型二维多连通域的有限元离散模型 第6页，共163页，编辑于2022年，星期三有限元法的基本思路有限元法的基本思路（3）对于二维平面问题而言，每个单元节点处都有）对于二维平面问题而言，每个单元节点处都有x方向和方向和y方向两个位移
4、分量，单元上非节点处的位移通方向两个位移分量，单元上非节点处的位移通过线性插值给定。过线性插值给定。节点位移分已知和未知两类，已知位移的节点都位节点位移分已知和未知两类，已知位移的节点都位于位移已确定的边界段上，通过剔除已知节点位移，于位移已确定的边界段上，通过剔除已知节点位移，使有限元求解线性方程组具有惟一解，解之即得所有使有限元求解线性方程组具有惟一解，解之即得所有节点的位移，再利用位移与应变和应力之间的关系，节点的位移，再利用位移与应变和应力之间的关系，就可求得个单元应力。就可求得个单元应力。第7页，共163页，编辑于2022年，星期三第二节第二节 弹性力学的基本方程与力学原理弹性力学的
5、基本方程与力学原理现代设计方法概论课程教案2.2 弹性力学基本方程弹性力学基本方程第8页，共163页，编辑于2022年，星期三2.2.1 2.2.1 平衡微分方程平衡微分方程xyzOPABC在点在点 P 附近取一微元体，如图所示，附近取一微元体，如图所示，P 点的应力为：点的应力为：体力分量为：体力分量为：由微元体的平衡条件建立由微元体的平衡条件建立平衡微分方程。平衡微分方程。第9页，共163页，编辑于2022年，星期三xyzOPABC将上式同除以将上式同除以 dxdydz，化简得：，化简得：同理，由：同理，由：得到得到 x、y 方向的平衡微分方程。方向的平衡微分方程。第10页，共163页，编
6、辑于2022年，星期三xyzOPABC另外由三个方向轴的力矩平衡：另外由三个方向轴的力矩平衡：剪应力互等定理剪应力互等定理可得到：可得到：最后，得到微元体的平衡微分方程为：最后，得到微元体的平衡微分方程为：第11页，共163页，编辑于2022年，星期三空间问题的平衡微分方程为：空间问题的平衡微分方程为：第12页，共163页，编辑于2022年，星期三2.2 弹性力学基本方程弹性力学基本方程w2.2.2 几何方程几何方程w平面问题的几何方程也就是寻出应变分量与平面问题的几何方程也就是寻出应变分量与位移分量之间的关系式。位移分量之间的关系式。w经过弹性体内的任意一点经过弹性体内的任意一点P，沿，沿x
7、轴和轴和y轴的轴的方向取两个微小长度的线段方向取两个微小长度的线段PA=dx和和PB=dy。w弹性体受力后，弹性体受力后，P、A、B分别移动到分别移动到P、A、B。第13页，共163页，编辑于2022年，星期三2.2 弹性力学基本方程弹性力学基本方程 结构体的位移和应变结构体的位移和应变 第14页，共163页，编辑于2022年，星期三2.2 弹性力学基本方程弹性力学基本方程w首先来求出线段首先来求出线段PA和和 PB的正应变，即的正应变，即x和和y，用位移分量来表示。，用位移分量来表示。w设设P点在点在x方向的位移分量是方向的位移分量是u，则，则A点在点在x方方向的位移分量由于向的位移分量由于
8、x坐标的改变坐标的改变dx，将是，将是 第15页，共163页，编辑于2022年，星期三2.2 弹性力学基本方程弹性力学基本方程 w可见线段PA的正应变是 （a）第16页，共163页，编辑于2022年，星期三2.2 弹性力学基本方程弹性力学基本方程w同同样样，设设P点点在在y方方向向的的位位移移分分量量是是v，则则B点点在在y方方向向的的位位移移分分量量由由于于y坐坐标标的的改改变变量量dy，将是，将是第17页，共163页，编辑于2022年，星期三2.2 弹性力学基本方程弹性力学基本方程 w则线段PB的正应变是 （b）第18页，共163页，编辑于2022年，星期三2.2 弹性力学基本方程弹性力学
9、基本方程w现在来求出线段现在来求出线段PA和和PB之间之间的直角的改变，即剪应变的直角的改变，即剪应变xy，用位移分量，用位移分量u和和v来表示。来表示。w由图可见，这个剪应变是由两部由图可见，这个剪应变是由两部分组成的：一部分是由分组成的：一部分是由y方向移方向移分分v引起的，即引起的，即x方向的线段方向的线段PA的转角的转角；另一部分是由；另一部分是由x方方向移分向移分u引起的，即引起的，即y方向线段方向线段PB的转角的转角。第19页，共163页，编辑于2022年，星期三2.2 弹性力学基本方程弹性力学基本方程 w设P点在y方向的位移分量是v，则A点在y方向的位移分量将是第20页，共163
10、页，编辑于2022年，星期三2.2 弹性力学基本方程弹性力学基本方程w因此线段因此线段PA的转角是的转角是第21页，共163页，编辑于2022年，星期三2.2 弹性力学基本方程弹性力学基本方程 w同样，可得线段PB的转角是第22页，共163页，编辑于2022年，星期三2.2 弹性力学基本方程弹性力学基本方程w可可见见，PA与与PB之之间间的的直直角角的的改改变变（以以减减小小时为正），也就是应变时为正），也就是应变xy为为 （c）第23页，共163页，编辑于2022年，星期三2.2 弹性力学基本方程弹性力学基本方程 w综合（a）、（b）、（c）三式，得出平面问题中表明应变分量与位移分量之间的关
11、系式，即几何方程为 第24页，共163页，编辑于2022年，星期三2.2 弹性力学基本方程弹性力学基本方程w由上列几何方程可见，当物体的位移分量完由上列几何方程可见，当物体的位移分量完全确定时（表示成全确定时（表示成x和和y的确定函数时），应的确定函数时），应变分量即完全确定。变分量即完全确定。w反之，当应变分量完全确定时，位移分量却反之，当应变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定，因为刚体位移是位移函数的不能完全确定，因为刚体位移是位移函数的常数项，不出现在微分形式的应变分量中。常数项，不出现在微分形式的应变分量中。第25页，共163页，编辑于2022年，星期三2.2.2 几何方程几何方程
12、几何方程几何方程dxdydzP 设任一点设任一点 P 的位移为：的位移为：u、v、w，考察，考察 P 点邻近线段点邻近线段 dx、dy、dz 的伸缩变形及夹角的改变。的伸缩变形及夹角的改变。类似于平面情形的分析推导，有类似于平面情形的分析推导，有第26页，共163页，编辑于2022年，星期三2.2.3 2.2.3 物理方程物理方程物理方程物理方程 材料的材料的本构关系本构关系：建立材料的建立材料的应力与应变关系应力与应变关系。讨论前题：讨论前题：弹性小变形。弹性小变形。1.物理方程的一般形式物理方程的一般形式 材料的应力与应变关系一般由材料的应力与应变关系一般由实验得到实验得到，最早的实验由虎
13、克，最早的实验由虎克（Hooke,R.）的金属丝拉伸实验。）的金属丝拉伸实验。一般情况下，材料的应力与应变呈某一函数关系，可表示为：一般情况下，材料的应力与应变呈某一函数关系，可表示为：当式中的自变量：当式中的自变量：x、y、z、yz、zx、xy 为小量时，可为小量时，可对其按对其按Taylor级数展开，并略去级数展开，并略去二阶以上小量，如第一式，有二阶以上小量，如第一式，有第27页，共163页，编辑于2022年，星期三2.各向同性体广义虎克（各向同性体广义虎克（Hooke）定律的各种形式）定律的各种形式（1）一般形式（基本形式）一般形式（基本形式）空间问题物理方程的基本形式空间问题物理方程
14、的基本形式第28页，共163页，编辑于2022年，星期三2.2.4.空间问题基本方程总结空间问题基本方程总结空间问题的基本未知量空间问题的基本未知量：6个应力分量；个应力分量；6个形变分量；个形变分量；3个位移分量；个位移分量；共有共有15个基本未知量个基本未知量。第29页，共163页，编辑于2022年，星期三空间问题的基本未知量：空间问题的基本未知量：6个应力分量；个应力分量；6个形变分量；个形变分量；3个位移分量；个位移分量；共有共有15个基本未知量个基本未知量。空间问题的基本方程：空间问题的基本方程：（1）平衡微分方程）平衡微分方程用张量表示：用张量表示：（包含（包含3个方程个方程）2.
15、2.4.空间问题基本方程总结空间问题基本方程总结第30页，共163页，编辑于2022年，星期三（2）几何方程）几何方程张量表示：张量表示：（i，j=1，2，3）（几何方程包含（几何方程包含6个方程个方程）（3）物理方程）物理方程第31页，共163页，编辑于2022年，星期三（3）物理方程）物理方程张量表示：张量表示：式中：式中：E 为材料的弹性模量；为材料的弹性模量；为泊松比。为泊松比。（物理方程包含（物理方程包含6个方程个方程）第32页，共163页，编辑于2022年，星期三（4）边界条件）边界条件应力边界条件：应力边界条件：位移边界条件：位移边界条件：位移单值条件、应力有限条件。位移单值条件
16、、应力有限条件。第33页，共163页，编辑于2022年，星期三第三节第三节 弹性力学平面有限元法弹性力学平面有限元法w本节以三角形单元作为典型，讨论如何建立本节以三角形单元作为典型，讨论如何建立单元位移函数，以及如何建立有限元求解方单元位移函数，以及如何建立有限元求解方程的问题。程的问题。第34页，共163页，编辑于2022年，星期三2.3 单元刚度矩阵和结构整体刚度矩阵单元刚度矩阵和结构整体刚度矩阵w将一个二维域离散成有限个三角形单元，如图所示将一个二维域离散成有限个三角形单元，如图所示.w 二维域离散二维域离散w在边界上以若干段直线近似原来的曲线边界，随着单元增多，在边界上以若干段直线近似
17、原来的曲线边界，随着单元增多，这种拟合将趋于精确。这种拟合将趋于精确。第35页，共163页，编辑于2022年，星期三2.3.1 单元位移函数单元位移函数w首先，建立首先，建立xy坐标系，以三角形单元为研坐标系，以三角形单元为研究对象，其节点编码为究对象，其节点编码为i，j，m，并规定以，并规定以逆时针方向编码为正向，每个节点可以有逆时针方向编码为正向，每个节点可以有2个位移分量（个位移分量（ui i，vi i；uj j，vj j；um m，vm m），也），也称为具有称为具有2个节点自由度，如下图所示。个节点自由度，如下图所示。第36页，共163页，编辑于2022年，星期三2.3.1 单元位移
18、函数单元位移函数 3节点三角形单元节点三角形单元第37页，共163页，编辑于2022年，星期三2.3.1 单元位移函数单元位移函数w每个节点的位移分量还可以向量（列矩阵）每个节点的位移分量还可以向量（列矩阵）形式表示，即形式表示，即w每个单元共有每个单元共有6个节点位移，即个节点位移，即6个节点自由个节点自由度，统一写成矩阵形式为度，统一写成矩阵形式为第38页，共163页，编辑于2022年，星期三（1）广义坐标）广义坐标w单元的位移函数用于描述单元上任一点的位移。单元的位移函数用于描述单元上任一点的位移。w可以考虑采用多项式作为近似位移函数，多项式函数运可以考虑采用多项式作为近似位移函数，多项
19、式函数运算简便，且随其项数的增多，理论上可以逼近任何精确算简便，且随其项数的增多，理论上可以逼近任何精确函数。函数。w3节点三角形单元近似位移函数一般选取一次多项式，即将节点三角形单元近似位移函数一般选取一次多项式，即将单元上任意点（单元上任意点（x，y）的位移近似描述为该点坐标）的位移近似描述为该点坐标x和和y的的线性函数线性函数第39页，共163页，编辑于2022年，星期三（1）广义坐标）广义坐标 式中式中 16广义坐标。广义坐标。整理为矩阵形式，即有整理为矩阵形式，即有第40页，共163页，编辑于2022年，星期三（1）广义坐标）广义坐标 w代入节点代入节点i、j和和m的坐标（的坐标（x
20、i i，yi i）、（）、（xj j，yj j）和（）和（xm m，ym m），可得到节点），可得到节点i、j和和m在在x、y方向的位移为方向的位移为 第41页，共163页，编辑于2022年，星期三（1）广义坐标）广义坐标 w由于三个节点由于三个节点i、j和和m的位置坐标（的位置坐标（xi i，yi i）、（）、（xj j，yj j）和（）和（xm m，ym m）在单元划分工作完成后为已知常量，则上式成为求解广义坐标在单元划分工作完成后为已知常量，则上式成为求解广义坐标16的的线性方程组，两方程组的系数行列式均为线性方程组，两方程组的系数行列式均为 wA是三角形单元的面积。是三角形单元的面积。
21、第42页，共163页，编辑于2022年，星期三（1）广义坐标）广义坐标 w运用运用Gramer法则解这个线性方程组，就可以得到由节点位移法则解这个线性方程组，就可以得到由节点位移ui i、uj j和和um m表示的广义坐标表示的广义坐标13为为 第43页，共163页，编辑于2022年，星期三（1）广义坐标）广义坐标 w其中其中 w为系数行列式为系数行列式D按第一行展开的代数余子式，式中符号（按第一行展开的代数余子式，式中符号（i，j，m）表）表示下标轮换，用来概括按第二、三行展开求取示下标轮换，用来概括按第二、三行展开求取a j j、bj j、c j j和和am m、bm m、cm m的通用途
22、径，即（的通用途径，即（ij，jm，mi）。）。第44页，共163页，编辑于2022年，星期三（1）广义坐标）广义坐标 w同理，利用同理，利用3个节点个节点y方向的位移，可求得方向的位移，可求得 w广义坐标从此便以节点位移和节点坐标来代替广义坐标从此便以节点位移和节点坐标来代替了。了。第45页，共163页，编辑于2022年，星期三（2）形函数）形函数w将求得的广义坐标将求得的广义坐标16代入代入中，可将位移函数表示成节点位移的函数，即中，可将位移函数表示成节点位移的函数，即 第46页，共163页，编辑于2022年，星期三（2）形函数）形函数w其中其中 wNi i，Nj j，Nm m称为单元的形
23、函称为单元的形函数，是坐标数，是坐标x和和y的线性函数。的线性函数。w任意点（任意点（x，y）的位移函数）的位移函数可表示为矩阵形式，即可表示为矩阵形式，即 N称为形函数矩阵，称为形函数矩阵，q q e为单元节点位为单元节点位移列阵。移列阵。第47页，共163页，编辑于2022年，星期三2.3.2 单元位移形函数矩阵单元位移形函数矩阵w 形函数形函数N具有如下性质。具有如下性质。w在节点上，形函数值为在节点上，形函数值为 w即有即有 Ni i（xi i，yi i）=1，Ni i（xj j，yj j）=Ni i（xm m，ym m）=0，也就是说，在也就是说，在i节点上节点上Ni i=1，在，在
24、 j，m节点上节点上Ni i=0。第48页，共163页，编辑于2022年，星期三2.3.2 单元位移形函数矩阵单元位移形函数矩阵w在单元中任一点上，各形函数之和应等于在单元中任一点上，各形函数之和应等于1，即，即w w作为说明，设想使单元发生例如作为说明，设想使单元发生例如x方向的刚体位移方向的刚体位移u。，则在单元内。，则在单元内（包括节点）到处都应有相同位移（包括节点）到处都应有相同位移u。，即。，即wui i=uj j=um m=u。w又由又由第49页，共163页，编辑于2022年，星期三2.3.2 单元位移形函数矩阵单元位移形函数矩阵w因此必然要求因此必然要求w单元各节点位移形函数之和
25、等于单元各节点位移形函数之和等于1的性质称为的性质称为规一性。规一性。第50页，共163页，编辑于2022年，星期三2.3.2 单元位移形函数矩阵单元位移形函数矩阵w单元形函数是线性的，则单元内部及单元单元形函数是线性的，则单元内部及单元的边界上位移也就是线性的，可由已知节点的边界上位移也就是线性的，可由已知节点位移值惟一地确定。位移值惟一地确定。w由于相邻单元公共节点的节点位移是相等的，由于相邻单元公共节点的节点位移是相等的，因此保证了相邻单元在公共边界上位移的连因此保证了相邻单元在公共边界上位移的连续性。续性。第51页，共163页，编辑于2022年，星期三2.3.3 应变矩阵和应力矩阵应变
26、矩阵和应力矩阵w 确定了单元位移后，可以利用几何方程和物确定了单元位移后，可以利用几何方程和物理方程求得单元的应变和应力。理方程求得单元的应变和应力。w为此，将单元位移代入几何方程式中，得到单为此，将单元位移代入几何方程式中，得到单元应变为元应变为 第52页，共163页，编辑于2022年，星期三2.3.3 应变矩阵和应力矩阵应变矩阵和应力矩阵w式中式中 L平面问题的微分算子矩阵；平面问题的微分算子矩阵；wB应变矩阵，应变矩阵，B的分块子矩阵是的分块子矩阵是 第53页，共163页，编辑于2022年，星期三2.3.3 应变矩阵和应力矩阵应变矩阵和应力矩阵w对对Ni i求导可得求导可得w代入代入Bi
27、 i式中，得到式中，得到第54页，共163页，编辑于2022年，星期三2.3.3 应变矩阵和应力矩阵应变矩阵和应力矩阵w3节点单元的应变矩阵是节点单元的应变矩阵是 w式中：式中：bi i，bj j，bm m，ci i，cj j，cm m都是常量，因此都是常量，因此B是常量矩阵。是常量矩阵。w当单元的节点位移当单元的节点位移q q e确定后，由确定后，由B转换求得的单元应变都是转换求得的单元应变都是常量，单元各点具有同样的常量，单元各点具有同样的x x、y y及及xyxy值，值，3节点三角形单元节点三角形单元也称为常应变单元。也称为常应变单元。第55页，共163页，编辑于2022年，星期三2.3
28、.3 应变矩阵和应力矩阵应变矩阵和应力矩阵w因此，在应变梯度较大（即应力梯度较大）的因此，在应变梯度较大（即应力梯度较大）的部位，单元划分应适当密集，否则将不能反映部位，单元划分应适当密集，否则将不能反映应变的真实变化而导致较大的误差。应变的真实变化而导致较大的误差。w单元应力可以根据物理方程求得，即在前面物单元应力可以根据物理方程求得，即在前面物理方程中代入理方程中代入式，可以得到式，可以得到 第56页，共163页，编辑于2022年，星期三2.3.3 应变矩阵和应力矩阵应变矩阵和应力矩阵w其中其中 wS称为应力矩阵。称为应力矩阵。w将弹性矩阵将弹性矩阵D及矩阵及矩阵B代入上式，可以得到计算平
29、面应力问题的单元代入上式，可以得到计算平面应力问题的单元应力矩阵。应力矩阵。第57页，共163页，编辑于2022年，星期三2.3.3 应变矩阵和应力矩阵应变矩阵和应力矩阵wS的分块矩阵为的分块矩阵为 w 与应变矩阵与应变矩阵B相同，应力矩阵相同，应力矩阵S也是常量阵，也是常量阵，即即3节点单元中各点的应力是相同的。节点单元中各点的应力是相同的。第58页，共163页，编辑于2022年，星期三w单元刚度矩阵及其特性n单元刚度矩阵（单刚）2.3.4 单元刚度矩阵单元刚度矩阵第59页，共163页，编辑于2022年，星期三n单刚的力学意义w对角元素 的力学意义为：使单元第i个自由度（位移分量）产生单位位
30、移而其它位移分量均为零时需要在该自由度上所施加的力。w非对角元素 的力学意义为：使单元第j个自由度（位移分量）产生单位位移而其它位移分量均为零时第i个自由度上所产生的力。(1,2)(3,4)(5,6)自由度自由度编号编号不动不动1方向单位位移方向单位位移这里（这里（1方向）方向）要加多大的力要加多大的力(1,2)(3,4)(5,6)1方向单位位移方向单位位移不动不动这里（这里（5方向）方向）要加多大的力要加多大的力第60页，共163页，编辑于2022年，星期三n单刚的特性w单元刚度矩阵与位移模式有关w单元刚度矩阵与单元形状、大小和方位有关w单元刚度矩阵与单元的位置无关w单元刚度矩阵是对称矩阵w
31、刚度矩阵是奇异矩阵,不存在逆矩阵第61页，共163页，编辑于2022年，星期三w通过对弹性体离散化总位能中的单元刚度矩阵和结点等效载荷列阵实行尺寸扩充变换，增加其阶数和行数，就可形成一个简洁非离散形式的总位能表达式，而且总位能p值保持不变。w平面三角形三结点单元的刚度矩阵为6阶矩阵，结点等效载荷列阵为6行列阵，这与单元三结点共有23=6个位移相对应，也就是说，单元刚度矩阵的阶数和结点等效载荷列阵的行数要与单元结点位移数相等。2.3.5 结构整体刚度矩阵结构整体刚度矩阵第62页，共163页，编辑于2022年，星期三结构整体刚度矩阵结构整体刚度矩阵w同样，具有n个离散结点的平面弹性体的总刚度矩阵是
32、一个2n阶的矩阵。因此，其单元刚度矩阵和结点等效载荷列阵分别要扩充为2n阶和2n行。w以图所示的有5个结点和3个单元的弹性平板受集中力p作用情况为例，说明尺寸扩充的具体做法。第63页，共163页，编辑于2022年，星期三结构整体刚度矩阵结构整体刚度矩阵5结点3单元平板的有限元模型w该弹性平板的3个单元分别由3组结点构成：w第一单元（结点1、2、3）；w第二单元（结点1、3、4）；w第三单元（结点3、5、4）。第64页，共163页，编辑于2022年，星期三结构整体刚度矩阵结构整体刚度矩阵w第一、二、三单元结点位移列阵为第一、二、三单元结点位移列阵为第65页，共163页，编辑于2022年，星期三结
33、构整体刚度矩阵结构整体刚度矩阵w第一、二、三单元刚度矩阵为（行列序号为单元第一、二、三单元刚度矩阵为（行列序号为单元结点序号）结点序号）第66页，共163页，编辑于2022年，星期三结构整体刚度矩阵结构整体刚度矩阵w第一、二、三单元结点载荷列阵为第一、二、三单元结点载荷列阵为w从各单元矩阵可以看出：矩阵元素都以所属结点从各单元矩阵可以看出：矩阵元素都以所属结点序号为下标，以所属单元序号为上标；序号为下标，以所属单元序号为上标；第67页，共163页，编辑于2022年，星期三结构整体刚度矩阵结构整体刚度矩阵w单元矩阵和列阵尺寸扩充的做法：单元矩阵和列阵尺寸扩充的做法：w按结点数的按结点数的2倍确定
34、所有矩阵和列阵的阶数和倍确定所有矩阵和列阵的阶数和行数，本弹性体共有行数，本弹性体共有5个结点，因此阶数和行个结点，因此阶数和行数为数为10；w单元结点位移列阵改写为本弹性体全部结点的单元结点位移列阵改写为本弹性体全部结点的10阶位移列阵阶位移列阵第68页，共163页，编辑于2022年，星期三结构整体刚度矩阵结构整体刚度矩阵w单元结点载荷列阵扩充改写为单元结点载荷列阵扩充改写为10阶的载荷列阵阶的载荷列阵 第69页，共163页，编辑于2022年，星期三结构整体刚度矩阵结构整体刚度矩阵w对扩充为对扩充为10阶的单元刚度矩阵元素实行阶的单元刚度矩阵元素实行“对号入座对号入座”式的填式的填写，即只填
35、写与所属结点序号对应的行列位置上的元素，其余写，即只填写与所属结点序号对应的行列位置上的元素，其余位置上的元素写零，具体做法（按位置上的元素写零，具体做法（按22子块方式）子块方式）第70页，共163页，编辑于2022年，星期三结构整体刚度矩阵结构整体刚度矩阵w即w虽然总体单元数和结点数很多，结构刚度矩阵的阶数很高，但刚度系数中非零系数却很少，这就是刚度矩阵的大型和稀疏性。第71页，共163页，编辑于2022年，星期三结构整体刚度矩阵结构整体刚度矩阵w实际上，只要结点编号合理，这些稀疏的非零元素将集中分布在以主对角线为中心的一条带状区域内，具有带状分布的特点，如图所示。结构刚度矩阵的带状分布图
36、第72页，共163页，编辑于2022年，星期三结构整体刚度矩阵结构整体刚度矩阵w结构刚度矩阵K具有以下性质：w（1）对称性；w（2）奇异性；w（3）稀疏性；w（4）非零元素呈带状分布。第73页，共163页，编辑于2022年，星期三w非节点载荷的移植（静力等效）n集中力w等效集中力w最好在集中力处设置节点n分布面力n分布体力ijmxyPijmq2.3.6 节点等效载荷节点等效载荷第74页，共163页，编辑于2022年，星期三2.3.7 引入位移边界条件引入位移边界条件w有限元法中，几何边界条件的形式是给定若干个边界节点上有限元法中，几何边界条件的形式是给定若干个边界节点上的位移值，即的位移值，即
37、 可以是零值或非零值。可以是零值或非零值。w这样一来有限元方程中出现了恒等式，可以采取简单地去掉这样一来有限元方程中出现了恒等式，可以采取简单地去掉这些恒等式的方法，求解只含有未知节点位移的有限元方程，这些恒等式的方法，求解只含有未知节点位移的有限元方程，对于刚度矩阵，只需划掉与已知节点位移对应的行列，对于对于刚度矩阵，只需划掉与已知节点位移对应的行列，对于节点位移和节点载荷列阵只需划掉对应行即可。但那样做却节点位移和节点载荷列阵只需划掉对应行即可。但那样做却不利于编程，因此通常是采取一种不用改变原方程尺寸的对不利于编程，因此通常是采取一种不用改变原方程尺寸的对角元素乘大数法引入边界条件。角元
38、素乘大数法引入边界条件。第75页，共163页，编辑于2022年，星期三n边界条件的处理w划零置一法n设已知边界条件为n总刚的处理对角元充对角元充1对应的行和列充对应的行和列充0第76页，共163页，编辑于2022年，星期三w充大数法n已知边界条件为M是很大的数，远大于是很大的数，远大于其它元素如其它元素如M=1.0E+30第77页，共163页，编辑于2022年，星期三w应力计算及结果整理n求解整体结构平衡方程的结构节点位移w总刚用一维变带宽存储技术w常采用波阵法求解n根据节点位移求单元应力w3节点三角形单元为常应力单元w可以理解应力为单元中心处的应力n结果的整理w采用绕节点平均法求节点应力w插
39、值法求边界节点应力n3点的应力可由2点和4点插值而得12341324第78页，共163页，编辑于2022年，星期三w平面应力问题特点（Plane stress)n结构特点w载荷沿厚度方向不变化，其合力在中面内w板的两面为自由面（无载荷作用）w板关于中面对称w板可以是变厚度的ta或tChange Jobname 输入Modal（1）定义单元类型并输入实际参数 选择单元类型为Beam3，输入梁单元的截面参数（2）定义材料性质 材料为弹性线性各项同性，输入相应的参数E=210 及 =0.3。（3）建立几何模型。由于钢架较大，因此需要划分较多的单元，建模思路为先产生关键点，由点形成直线，对线进行单元划
40、分。输入的关键点坐标为：1（0，0），2（0，10），3（10，10），操作如下 11 第151页，共163页，编辑于2022年，星期三2.7 2.7 动力问题动力问题 2.7.42.7.4结构的动力问题分析实例结构的动力问题分析实例GUI：PreprocessorModelingCreateKeypointIn Active CS；PreprocessorModelingCreateLinestraight Line。(4)划分网格。为了能得到较精确的解，需对钢架进行较多单元的划分。首先定义每条直线要划分的网格数，然后进行单元划分GUI：PreprocessorMeshingMeshTool
41、。在“MeshTool”对话框中选“1”所指的【Set】按钮，弹出一个选择直线的对话框，在选择了直线后，在“NDIV”的空白处输入100，表明每一条直线上要划分100个单元。再利用Mesh进行划分网格。此时钢架共有200个单元、201个节点 第152页，共163页，编辑于2022年，星期三2.7 2.7 动力问题动力问题 2.7.42.7.4结构的动力问题分析实例结构的动力问题分析实例 第153页，共163页，编辑于2022年，星期三2.7 2.7 动力问题动力问题 2.7.42.7.4结构的动力问题分析实例结构的动力问题分析实例（5）加载与施加边界条件。根据题目的要求，分别在钢架的1点加全约
42、束，3点加垂直方向的力。操作如下：GUIGUI：SolutionDefine LoadsApplyStructuralDisplacementOn NodeSolutionDefine LoadsApplyStructuralDisplacementOn Node；SolutionDefine LoadsApplyStructuralForce/MomentOn Key points SolutionDefine LoadsApplyStructuralForce/MomentOn Key points(6)设置模态分析。第一步，设置结构的自振频率。在选择模态分析的前提下，用简化计算方法，输入
43、频率范围和结构的自由度等参数来进行。操作如下：GUIGUI：SolutionAnalysis TypeNew AnalysisSolutionAnalysis TypeNew Analysis，选【，选【ModalModal】；】；第154页，共163页，编辑于2022年，星期三2.7 2.7 动力问题动力问题 2.7.42.7.4结构的动力问题分析实例结构的动力问题分析实例SolutionAnalysis Type Analysis Option SolutionAnalysis Type Analysis Option 选【选【ReducedReduced】弹出如图所示的对话框，输入频率值
44、是010000。第155页，共163页，编辑于2022年，星期三2.7 2.7 动力问题动力问题 2.7.42.7.4结构的动力问题分析实例结构的动力问题分析实例SolutionMaster DOFsProgram SelectedSolutionMaster DOFsProgram Selected,输入402，即节点数的2倍如图所示 第156页，共163页，编辑于2022年，星期三2.7 2.7 动力问题动力问题 2.7.42.7.4结构的动力问题分析实例结构的动力问题分析实例第二步，设置谐响应分析。选择谐响应类型，选择题目中所给出的频率，即可得到GUIGUI：SolutionAnalys
45、is TypeNew Analysis SolutionAnalysis TypeNew Analysis 选选 Harmonic Harmonic；SolutionAnalysis Type Analysis Option SolutionAnalysis Type Analysis Option，第157页，共163页，编辑于2022年，星期三2.7 2.7 动力问题动力问题 2.7.42.7.4结构的动力问题分析实例结构的动力问题分析实例选择频率和子步，操作如下：GUIGUI：SolutionLoad Steps OptsTime FrequencFreq SubstpsSolution
46、Load Steps OptsTime FrequencFreq Substps，按照图中输入频率010，子步分100步完成。第158页，共163页，编辑于2022年，星期三2.7 2.7 动力问题动力问题 2.7.42.7.4结构的动力问题分析实例结构的动力问题分析实例(7)求解。操作如下：GUIGUI：SolutionSolveCurrent LSSolutionSolveCurrent LS(8)查看结果 1）查看模态分析中自振频率的值，如图所示。操作如下：GUI：General Postproc Results Summary。第159页，共163页，编辑于2022年，星期三2.7 2
47、.7 动力问题动力问题 2.7.42.7.4结构的动力问题分析实例结构的动力问题分析实例2）查看加载点的响应。操作如下：GUIGUI：Main MenuTimehist Postpro Define VariableMain MenuTimehist Postpro Define Variable，弹出对话框，选【Add】，选节点的位移如图所示，弹出窗口后在提示下选出加载点，即第3点，再选择【Nodal DOF result】。第160页，共163页，编辑于2022年，星期三2.7 2.7 动力问题动力问题 2.7.42.7.4结构的动力问题分析实例结构的动力问题分析实例定义加载点的位移方向，
48、在此选y方向 第161页，共163页，编辑于2022年，星期三2.7 2.7 动力问题动力问题 2.7.42.7.4结构的动力问题分析实例结构的动力问题分析实例确定数据的存在。操作如下：GUI为：Main MenuTimehist PostproStore Data。用图形表示位移时间曲线。操作如下 GUIGUI：Main MenuTimehist PostproGraph VariableMain MenuTimehist PostproGraph Variable，如图所示，在NAVR2 行中选择2，确定后即可得到加载点3在y方向的位移随时间变化的曲线，如图所示。第162页，共163页，编辑于2022年，星期三2.7 2.7 动力问题动力问题 2.7.42.7.4结构的动力问题分析实例结构的动力问题分析实例 加载点3在y方向随时间变化的曲线 第163页，共163页，编辑于2022年，星期三