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1、第2节 排列与组合理第1页，共48页，编辑于2022年，星期一1.理解排列、组合的概念理解排列、组合的概念2能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式3能解决简单的实际问题能解决简单的实际问题第2页，共48页，编辑于2022年，星期一第3页，共48页，编辑于2022年，星期一1排列排列第4页，共48页，编辑于2022年，星期一2组合组合第5页，共48页，编辑于2022年，星期一思考探究思考探究如何区分某一问题是排列问题还是组合问题？如何区分某一问题是排列问题还是组合问题？提示：提示：区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键是看所选区分某一问题是排列问题还是
2、组合问题，关键是看所选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则是组合问题生影响，则是排列问题，否则是组合问题第6页，共48页，编辑于2022年，星期一1从从1,2,3,4,5,6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有()A9个个B24个个C36个个D54个个解析：解析：这样的三位数共有：这样的三位数共有：33654(个个)答案：答案：D第7页，共48页，编辑于2022年，星期一
3、2从从10名大学毕业生中选名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙人担任村长助理，则甲、乙至少有至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A85B56C49D28解析：解析：分两类计算，分两类计算，49.答案：答案：C第8页，共48页，编辑于2022年，星期一3数列数列an共有六项，其中四项为共有六项，其中四项为1，其余两项各不相同，其余两项各不相同，则满足上述条件的数列则满足上述条件的数列an共有共有()A30个个B31个个C60个个D61个个 解析：解析：在数列的六项中，只要考虑两个非在数列的六项中，只要考虑两个非1的项的位置，的项的位置，即
4、得不同数列，共有即得不同数列，共有30个不同的数列个不同的数列答案：答案：A第9页，共48页，编辑于2022年，星期一4的值为的值为_解析：解析：依题意得依题意得解得解得n且且n N*，n10.466.答案：答案：466第10页，共48页，编辑于2022年，星期一5电视台连续播放电视台连续播放6个广告，其中含个广告，其中含4个不同的商业广告和个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有共有_种不同的播放方式种不同的播放方式(结果用数值表示结果用数值表示)解析：解析：采用特殊位置法先让两个不同的公益广告排在首尾采用特殊位置法
5、先让两个不同的公益广告排在首尾两个位置，再让两个位置，再让4个商业广告排在剩下的个商业广告排在剩下的4个位置，据分步计数个位置，据分步计数原理可知共有原理可知共有248种播放方式种播放方式答案：答案：48第11页，共48页，编辑于2022年，星期一第12页，共48页，编辑于2022年，星期一1.排列数公式：右边第一个因数为排列数公式：右边第一个因数为n，后面每个因数都比它前，后面每个因数都比它前面那个因数少面那个因数少1，最后一个因数是，最后一个因数是nm1，共，共m个因个因数公式数公式主要用于含有字母的排列数的式子主要用于含有字母的排列数的式子的变形与论的变形与论证证2组合数公式有乘积形式与
6、阶乘形式两种，与排列数公式的组合数公式有乘积形式与阶乘形式两种，与排列数公式的应用一样，前者多用于数字计算，后者多用于对含有字母应用一样，前者多用于数字计算，后者多用于对含有字母的组合数的式子进行变形和论证还应注意组合数公式的的组合数的式子进行变形和论证还应注意组合数公式的逆用，即由逆用，即由写出写出.第13页，共48页，编辑于2022年，星期一特别警示特别警示在排列数、组合数计算过程中要注意阶乘的运算及组在排列数、组合数计算过程中要注意阶乘的运算及组合数性质的运用，注意含有排列数或组合数的方程都是在某个正整合数性质的运用，注意含有排列数或组合数的方程都是在某个正整数范围内求解数范围内求解第1
7、4页，共48页，编辑于2022年，星期一解方程或不等式：解方程或不等式：(1)326；(2)6；(3)已知已知，求，求.思路点拨思路点拨第15页，共48页，编辑于2022年，星期一课堂笔记课堂笔记(1)由题意得由题意得3x(x1)(x2)2(x1)x6x(x1)，x3，3(x1)(x2)2(x1)6(x1)，即即3x217x100，解得，解得x5或或x(舍舍)，x5.(2)由题意得由题意得解得解得2x8，根据排列数公式，原不等式化，根据排列数公式，原不等式化为为，即，即1.第16页，共48页，编辑于2022年，星期一又又 2x8，解得，解得2x8.原不等式的解集为原不等式的解集为x 2,3,4
8、,5,6,7,8(3)由题意由题意m的取值范围是的取值范围是0m5，且，且m N.由已知由已知得得m223m420，解得，解得m2或或m21.又又 0m5，m2.28.第17页，共48页，编辑于2022年，星期一求排列应用题的主要方法有：求排列应用题的主要方法有：1直接法：把符合条件的排列数直接列式计算直接法：把符合条件的排列数直接列式计算2特殊元素特殊元素(或位置或位置)优先安排的方法即先排特殊元素或特优先安排的方法即先排特殊元素或特殊位置殊位置3排列、组合混合问题先选后排的方法排列、组合混合问题先选后排的方法4相邻问题捆绑处理的方法即可以把相邻元素看作一个相邻问题捆绑处理的方法即可以把相邻
9、元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列第18页，共48页，编辑于2022年，星期一5不相邻问题插空处理的方法即先考虑不受限制的元素的不相邻问题插空处理的方法即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中6分排问题直排处理的方法分排问题直排处理的方法7“小集团小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法排列问题中先集体后局部的处理方法8定序问题除法处理的方法即可以先不考虑顺序限制，排定序问题除法处理的方法即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列列后再
10、除以定序元素的全排列9正难则反，等价转化的方法正难则反，等价转化的方法第19页，共48页，编辑于2022年，星期一有有3名男生，名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数：排列方法总数：(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置；全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置；(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边；全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边；(3)全体排成一行，其中男生必须排在一起；全体排成一行，其中男生必须排在一起；(4)全体排成一行，男、女各不相邻；全体排成一行，男、女各不相邻；第20页，共48页，编辑于20
11、22年，星期一(5)全体排成一行，男生不能排在一起；全体排成一行，男生不能排在一起；(6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变；全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变；(7)排成前后二排，前排排成前后二排，前排3人，后排人，后排4人；人；(8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人人第21页，共48页，编辑于2022年，星期一思路点拨思路点拨第22页，共48页，编辑于2022年，星期一课堂笔记课堂笔记(1)利用元素分析法利用元素分析法(特殊元素优先安排特殊元素优先安排)，甲为特殊，甲为特殊元素，故先安排甲，左、右、中共三个位置可供甲选
12、择，有元素，故先安排甲，左、右、中共三个位置可供甲选择，有种，种，其余其余6人全排列，有人全排列，有种种由乘法原理得由乘法原理得2160种种(2)位置分析法位置分析法(特殊位置优先安排特殊位置优先安排)，先排最左边，除去甲外，有，先排最左边，除去甲外，有种，余下的种，余下的6个位置全排有个位置全排有种，但应剔除乙在最右边的排种，但应剔除乙在最右边的排法数法数种种则符合条件的排法共有则符合条件的排法共有3720种种第23页，共48页，编辑于2022年，星期一(3)捆绑法将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元捆绑法将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列，共有素进行全排列，共有7
13、20种种(4)插空法先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，共插空法先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有有144种种(5)插空法先排女生，然后在空位中插入男生，共有插空法先排女生，然后在空位中插入男生，共有1440种种第24页，共48页，编辑于2022年，星期一(6)定序排列第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数定序排列第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为为N；第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为七个人的全排列，因此；第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为七个人的全排列，因此N，N840种种(7)与无任何限制的排列相同，有与无任何限制的排列相同，有5040种种(8
14、)从除甲、乙以外的从除甲、乙以外的5人中选人中选3人排在甲、乙中间的排法有人排在甲、乙中间的排法有种，甲、乙和其余种，甲、乙和其余2人排成一排且甲、乙相邻的排法有人排成一排且甲、乙相邻的排法有种，最种，最后再把选出的后再把选出的3人的排列插入到甲、乙之间即可，共有人的排列插入到甲、乙之间即可，共有720种种第25页，共48页，编辑于2022年，星期一1.组合问题常有以下两类题型：组合问题常有以下两类题型：(1)“含有含有”或或“不含有不含有”某些元素的组合题型：某些元素的组合题型：“含含”，则先将这，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；些元素取出，再由另外元素补足；“不含不含”，则先将这些，
15、则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取元素剔除，再从剩下的元素中去选取(2)“至少至少”或或“最多最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视分重视“至少至少”与与“最多最多”这两个关键词的含义，谨防重复这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法与漏解用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理第26页，共48页，编辑于2022年，星期一2解答组合应用问题的基本思路：解答组合应用问题的基本思路：(1)整体分类，从集合的角度来讲，分类要做到各类的并集整体
16、分类，从集合的角度来讲，分类要做到各类的并集等于全集，即等于全集，即“不漏不漏”，任意两类的交集为空集，即，任意两类的交集为空集，即“不重不重”；(2)局部分步，整体分类后，对每类进行局部分步，分步要局部分步，整体分类后，对每类进行局部分步，分步要做到步骤连续，保证分步不遗漏，同时步骤要独立做到步骤连续，保证分步不遗漏，同时步骤要独立第27页，共48页，编辑于2022年，星期一从从7名男生名男生5名女生中选取名女生中选取5人，分别求符合下列条件的人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？选法总数有多少种？(1)A，B必须当选；必须当选；(2)A，B必不当选；必不当选；(3)A，B不全当选；不全
17、当选；(4)至少有至少有2名女生当选；名女生当选；(5)选取选取3名男生和名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任第28页，共48页，编辑于2022年，星期一思路点拨思路点拨第29页，共48页，编辑于2022年，星期一课堂笔记课堂笔记(1)由于由于A，B必须当选，那么从剩下的必须当选，那么从剩下的10人中选取人中选取3人即可，人即可，有有120种种(2)从除去的从除去的A，B两人的两人的10人中选人中选5人即可，人即可，有有252种种(3)全部选法
18、有全部选法有种，种，A，B全当选有全当选有种，种，故故A，B不全当选有不全当选有672种种第30页，共48页，编辑于2022年，星期一(4)注意到注意到“至少有至少有2名女生名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行，故可用间接法进行，有有596种种(5)分三步进行：分三步进行：第一步：选第一步：选1男男1女分别担任两个职务为女分别担任两个职务为；第二步：选第二步：选2男男1女补足女补足5人有人有种；种；第三步：为这第三步：为这3人安排工作有人安排工作有.由分步乘法计数原理共有由分步乘法计数原理共有12600种种第31页，共48页，编辑于2022年
19、，星期一以选择题或填空题的形式考查排列与组合的应用是高以选择题或填空题的形式考查排列与组合的应用是高考对本讲内容的常规考法考对本讲内容的常规考法.09年广东、辽宁等高考将排列、年广东、辽宁等高考将排列、组合及两个计数原理综合考查，是一个新的考查方向组合及两个计数原理综合考查，是一个新的考查方向第32页，共48页，编辑于2022年，星期一考题印证考题印证(2009广东高考广东高考)2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张
20、和小赵只能从事游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有方案共有()A48种种B12种种C18种种D36种种第33页，共48页，编辑于2022年，星期一【解析解析】若小张和小赵恰有若小张和小赵恰有1人入选，则共有：人入选，则共有：24种方案；若小张和小赵两人都入选，则共有种方案；若小张和小赵两人都入选，则共有12，故总共有，故总共有241236种方案种方案【答案答案】D第34页，共48页，编辑于2022年，星期一自主体验自主体验(2009辽宁高考辽宁高考)从从5名男医生、名
21、男医生、4名女医生中选名女医生中选3名医生名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有组队方案共有()A70种种B80种种C100种种D140种种第35页，共48页，编辑于2022年，星期一解析：解析：当选择的当选择的3名医生都是男医生或都是女医生时，名医生都是男医生或都是女医生时，共有共有14种组法，从种组法，从9人中选择人中选择3人一共有人一共有84种种组法，所以要求男、女医生都有的情况共有组法，所以要求男、女医生都有的情况共有841470种组队方法种组队方法答案：答案：A第36页，共48页，编辑于2022年，星
22、期一第37页，共48页，编辑于2022年，星期一1在数字在数字1,2,3与符号与符号“”，“”五个元素的所有全排列中，五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列的个数是任意两个数字都不相邻的全排列的个数是()A6B12C18D24第38页，共48页，编辑于2022年，星期一解析：解析：先排列先排列1,2,3，有，有6种排法，再将种排法，再将“”，“”两个符号两个符号插入，有插入，有2种方法，共有种方法，共有6212种方法种方法答案：答案：B第39页，共48页，编辑于2022年，星期一2(2009四川高考四川高考)3位男生和位男生和3位女生共位女生共6位同学站成一排，位同学站成一排，若
23、男生甲不站两端，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是则不同排法的种数是()A360B288C216D96解析：解析：先保证先保证3位女生中有且只有两位女生相邻，位女生中有且只有两位女生相邻，则有则有种排法，再从中排除甲站两端，种排法，再从中排除甲站两端，所求所求N(2)6(61224)288.答案：答案：B第40页，共48页，编辑于2022年，星期一3(2010深圳模拟深圳模拟)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙
24、两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为不能分到同一个班，则不同分法的种数为()A18B24C30D36第41页，共48页，编辑于2022年，星期一解析：解析：由四名学生分到三个班，每个班至少分到一名学生可知，有一由四名学生分到三个班，每个班至少分到一名学生可知，有一个班有个班有2个人，另外两个班各个人，另外两个班各1人，故共有人，故共有种不同分法，其中甲、种不同分法，其中甲、乙两名学生分到同一个班有乙两名学生分到同一个班有种不同分法，所以满足题意的不同种不同分法，所以满足题意的不同分法为分法为30种种答案：答案：C第42页，共48页，编辑于2022年，星期一4若把英语单词若把英语单词“g
25、ood”的字母顺序写错了，则可能出现的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有的错误共有_种种解析：解析：由于有两个由于有两个o，只要在，只要在4个位置选个位置选2个安排即可，余下两个安排即可，余下两个字母全排列，故所有的数目为个字母全排列，故所有的数目为12，写对的只有，写对的只有1种，种，故共有故共有11种错误的可能种错误的可能答案：答案：11第43页，共48页，编辑于2022年，星期一5已知已知Ax|1log2x3，x N，Bx|x6|3，x N从集合从集合A中取中取1个元素，从个元素，从B中取中取3个元素，可个元素，可以组成无重复数字且比以组成无重复数字且比4000大的自然数的个数为大的自
26、然数的个数为_第44页，共48页，编辑于2022年，星期一解析：解析：由题意得由题意得A3,4,5,6,7，B4,5,6,7,8，若若A中取中取3，则先从，则先从B中任意取中任意取3个并排好，故有个并排好，故有60种排法，第二步将种排法，第二步将A中的中的3以插空的以插空的形式插入，有形式插入，有种方法，故有种方法，故有180个个若若A中不取中不取3，A中的元素中的元素4,5,6,7集合集合B中全部含有，故只需从中全部含有，故只需从B中任意取中任意取4个并排好个并排好即可，故有即可，故有120个，个，共有共有300个个答案：答案：300第45页，共48页，编辑于2022年，星期一6有编号分别为
27、有编号分别为1、2、3、4的四个盒子和四个小球，把的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子问：小球全部放入盒子问：(1)共有多少种放法？共有多少种放法？(2)恰有一个空盒，有多少种放法？恰有一个空盒，有多少种放法？(3)恰有恰有2个盒子内不放球，有多少种放法？个盒子内不放球，有多少种放法？第46页，共48页，编辑于2022年，星期一解：解：(1)1号小球可放入任意一个盒子内，有号小球可放入任意一个盒子内，有4种放法同理，种放法同理，2、3、4号小球也各有号小球也各有4种放法，故共有种放法，故共有44256种放法种放法(2)恰有一个空盒，则这恰有一个空盒，则这4个盒子中只有个盒子中只有3个盒子内
28、有小球，且小球数个盒子内有小球，且小球数只能是只能是1、1、2.先从先从4个小球中任选个小球中任选2个放在一起，有个放在一起，有种方法，然种方法，然后与其余后与其余2个小球看成三组，分别放入个小球看成三组，分别放入4个盒子中的个盒子中的3个盒子中，有个盒子中，有种放法由分步乘法计数原理，知共有种放法由分步乘法计数原理，知共有144种不同的放法种不同的放法第47页，共48页，编辑于2022年，星期一(3)恰有恰有2个盒子内不放球，也就是把个盒子内不放球，也就是把4个小球只放入个小球只放入2个盒子内，有两类个盒子内，有两类放法：放法：一个盒子内放一个盒子内放1个球，另一个盒子内放个球，另一个盒子内放3个球先把小球分为两组个球先把小球分为两组，一组，一组1个，另一组个，另一组3个，有个，有种分法，再放到种分法，再放到2个盒子内，有个盒子内，有种种放法，共有放法，共有种方法；种方法；2个盒子内各放个盒子内各放2个小球先从个小球先从4个盒子中选出个盒子中选出2个盒子，有个盒子，有C种选法，种选法，然后把然后把4个小球平均分成个小球平均分成2组，每组组，每组2个，放入个，放入2个盒子内，也有个盒子内，也有种选种选法，共有法，共有种方法种方法由分类加法计数原理，知共有由分类加法计数原理，知共有84种不同的放法种不同的放法第48页，共48页，编辑于2022年，星期一